陶 珍，田昌炳，熊春明，劉保磊，彭緩緩

(中油勘探開發(fā)研究院，北京 100083)

1 多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法簡(jiǎn)介

多目標(biāo)優(yōu)化問題與單目標(biāo)優(yōu)化問題不同，單目標(biāo)優(yōu)化是研究單個(gè)函數(shù)極值問題，多目標(biāo)優(yōu)化則可能要同時(shí)優(yōu)化多個(gè)相互沖突的目標(biāo)函數(shù)。多目標(biāo)優(yōu)化存在非劣解集(又稱 Pareto最優(yōu)解集)[1－4]。一般情況下，不可能使多個(gè)目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，只能在Pareto最優(yōu)解集中進(jìn)行協(xié)調(diào)，得到協(xié)調(diào)解。

1個(gè)大型的多目標(biāo)優(yōu)化問題一般如下[5]:

式中:目標(biāo)函數(shù)f(x)∈Rm;決策向量x∈Rn，即x=(x1，x2，…，xn)。

這里給出的是極小化問題，對(duì)于極大化問題與上述形式類似。為了比較多目標(biāo)優(yōu)化問題的解，下面給出Pareto最優(yōu)解的定義。

如果不存在 y∈[a，b]使 fi(y)≤fi(x)(i=1，2，…，m)，且至少有1 個(gè)不等式成立，則 x∈[a，b]是多目標(biāo)優(yōu)化問題的Pareto最優(yōu)解。由該定義可知，Pareto最優(yōu)解集中的解彼此是不可比較的，解集分布越廣泛，解的數(shù)量越多，越能合理求解實(shí)際的多目標(biāo)問題。

多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法很多，本文主要采用Deb于2000年提出的多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法NSGA－Ⅱ[6－7]。

2 壓裂水平井裂縫參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)多目標(biāo)遺傳算法

2.1 采出程度－含水率二維多目標(biāo)優(yōu)化模型建立

在低滲透油藏壓裂水平井注水開發(fā)中，裂縫條數(shù)、裂縫半長(zhǎng)、裂縫間距、裂縫與水平井筒間夾角、裂縫導(dǎo)流能力等參數(shù)對(duì)壓裂水平井的采出程度和含水率都會(huì)產(chǎn)生顯著的影響。為了研究各個(gè)裂縫參數(shù)的最佳取值范圍，需要選取待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。油田生產(chǎn)中為了效益最大化，往往是采出程度越大越好，在采出程度相同的情況下，含水率越低越好。但是這2個(gè)目標(biāo)函數(shù)又是相互沖突的，往往采出程度高時(shí)含水率也很高，為了能在獲取較高采收程度的同時(shí)控制含水率的快速上升，需要對(duì)壓裂水平井裂縫參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

待優(yōu)化的2個(gè)目標(biāo)函數(shù)為采出程度η和含水率fw，為了統(tǒng)一研究目標(biāo)函數(shù)的最大化問題，取fo=1－fw，待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?

式中:N為裂縫條數(shù);Lf為裂縫半長(zhǎng)，m;Df為裂縫間距，m;θ為裂縫與水平井筒間夾角，(°);KfW為裂縫導(dǎo)流能力，μm2·cm;fo為含油率。

2.2 適應(yīng)度計(jì)算

個(gè)體適應(yīng)度由Pareto等級(jí)和擁擠距離共同決定，每個(gè)個(gè)體所對(duì)應(yīng)的是優(yōu)先級(jí)，不是確定的適應(yīng)度值。

(1)Pareto等級(jí)。先通過編制的軟件求出種群中每個(gè)個(gè)體的目標(biāo)函數(shù)值。再通過非支配分類法確定個(gè)體的非支配等級(jí)即Pareto等級(jí)。對(duì)于1個(gè)解i，其Pareto等級(jí)ri等于1加上優(yōu)于其解的個(gè)數(shù)ni，即ri=ni+1。所有非支配最優(yōu)解構(gòu)成了第1個(gè)非支配最優(yōu)解層，該層個(gè)體的Pareto等級(jí)為1，然后以相同的方法對(duì)種群中剩下的個(gè)體進(jìn)行排序，直至種群中的個(gè)體都被歸類完畢(level=2，3，…)。

圖1 二維多目標(biāo)優(yōu)化中個(gè)體擁擠距離示意圖

(2)擁擠距離。擁擠距離用來表征非劣解中解的多樣性，擁擠距離指目標(biāo)空間上某一點(diǎn)與其同等級(jí)相鄰的2點(diǎn)在各目標(biāo)函數(shù)上相對(duì)距離之和(圖1)。如圖中實(shí)心圓點(diǎn)代表等級(jí)L，空心圓點(diǎn)代表等級(jí)M。以等級(jí)L為例，各點(diǎn)擁擠距離的算法如下:①等級(jí)L中個(gè)體的擁擠距離初始化為L(zhǎng)[s]dis(s=1，2，…，k，其中，s代表第 s個(gè)個(gè)體，k 代表等級(jí) L中個(gè)體數(shù)目);②同等級(jí)的個(gè)體，根據(jù)第p目標(biāo)函數(shù)值的大小升序排列，令L=sort(L，p);③對(duì)邊緣上的個(gè)體1和k都賦予1個(gè)極大值;④對(duì)于中間的個(gè)體(s=2，…，k－1)，擁擠距離計(jì)算式為:

式中:L[s+1]p為第s+1個(gè)個(gè)體的第p個(gè)目標(biāo)函數(shù)值;L[s－1]p為第s－1個(gè)個(gè)體的第p個(gè)目標(biāo)函數(shù)值;q表示目標(biāo)函數(shù)值的個(gè)數(shù)。

2.3 個(gè)體選擇

在進(jìn)行壓裂水平井裂縫參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中，需要按目標(biāo)函數(shù)(即適應(yīng)度)的大小對(duì)父代中的個(gè)體進(jìn)行排序，從小到大編排序號(hào)(1，2，3，…i，…N)，則個(gè)體 i的概率區(qū)間為，其中:，這樣既能體現(xiàn)優(yōu)勝劣汰法則，同時(shí)又兼顧了個(gè)體的多樣性。

2.4 交叉系數(shù)和變異系數(shù)的優(yōu)選

交叉和變異操作是多目標(biāo)遺傳算法的核心，決定著新個(gè)體的產(chǎn)生。交叉系數(shù)和變異系數(shù)的取值有一定的范圍，一般情況交叉系數(shù)變化范圍為0.40～0.99，變異系數(shù)變化范圍為0.0001 ～0.1000[8]。利用該算法對(duì)研究區(qū)塊某注水開發(fā)壓裂水平井裂縫參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，直井注水，水平井采油。從表1中可以看出，循環(huán)代數(shù)越多，算法優(yōu)化效果越好，而采用適中的交叉系數(shù)0.65和變異系數(shù)0.0050有利于優(yōu)化設(shè)計(jì)[9－12]。

表1 不同遺傳組合的標(biāo)準(zhǔn)偏差

2.5 多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化步驟

根據(jù)多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法的規(guī)則，按照?qǐng)D2所示優(yōu)化步驟對(duì)低滲透油藏壓裂水平井裂縫參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。當(dāng)達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)且所得Pareto最優(yōu)解集具有良好的收斂性和多樣性時(shí)，所得的參數(shù)組合就是最佳裂縫參數(shù)組合。應(yīng)用Visual Basic軟件編制的多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法計(jì)算程序，可實(shí)現(xiàn)數(shù)模軟件自動(dòng)運(yùn)算和數(shù)據(jù)圖表自動(dòng)顯示功能，降低人工工作量，且該算法受優(yōu)化對(duì)象數(shù)目的影響小。

圖2 多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化流程示意圖

3 實(shí)例計(jì)算

根據(jù)研究區(qū)塊實(shí)際地質(zhì)資料以七點(diǎn)法直井－水平井組合井網(wǎng)壓裂水平井為研究對(duì)象?；炯僭O(shè):①人工裂縫垂直于水平井井筒且延伸方向不存在偏轉(zhuǎn);②不考慮裂縫時(shí)效性對(duì)產(chǎn)能造成的影響。

該油藏相關(guān)數(shù)據(jù)如下:油層頂深為2250 m，地層平均絕對(duì)滲透率為0.306×10－3μm2，滲透率各向異性取值:Kx=2Ky，Ky=3Kz，平均孔隙度為12%，屬于典型的低孔、特低滲儲(chǔ)層。原始油藏壓力為18.5 MPa，地層平均有效厚度為10 m，原始含油飽和度為80%，地層原油黏度為1.415 mPa·s，原油密度為0.852 g/cm3，原油體積系數(shù)為1.15，原油壓縮系數(shù)為12.56×10－4MPa－1。直井注水，壓裂水平井采油，井距為650 m，排距為300 m，水平井段長(zhǎng)度為1000 m(圖3)。以生產(chǎn)25 a之后的采出程度和含水率為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，各裂縫參數(shù)優(yōu)化情況如表2所示。

圖3 七點(diǎn)法直井－水平井混合壓裂井網(wǎng)示意圖

表2 裂縫優(yōu)化參數(shù)

以定井底流壓方式生產(chǎn)，保持注采壓差為20 MPa。理論上待優(yōu)化的個(gè)體有1537910(11×41×31×11×10)個(gè)，如果采用枚舉法，軟件運(yùn)行時(shí)間將會(huì)非常長(zhǎng)，在實(shí)際中是很難實(shí)現(xiàn)。利用多目標(biāo)遺傳算法NSGA－Ⅱ進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，種群規(guī)模取40，當(dāng)交叉概率為0.65，變異概率為0.0050，循環(huán)代數(shù)為55代時(shí)，能得出Pareto最優(yōu)解集。對(duì)實(shí)例隨機(jī)運(yùn)行15次，這15次運(yùn)行得到的Pareto最優(yōu)解集的分布區(qū)域是相同的。圖4為實(shí)例第1次運(yùn)行的結(jié)果，散點(diǎn)為軟件運(yùn)行結(jié)果。由圖4可知，所得最優(yōu)解集在Pareto前沿分布均勻，具有良好的多樣性和收斂性。利用多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化出的結(jié)果為:裂縫條數(shù)為8～10條、裂縫半長(zhǎng)為120～150 m、裂縫間距為100～150 m、裂縫與水平井筒間夾角為90°、裂縫導(dǎo)流能力為25～35 μm2·cm的參數(shù)組合時(shí)，能達(dá)到最佳生產(chǎn)效果。

圖4 實(shí)例分析Pareto曲線與軟件優(yōu)化

采用多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果和常規(guī)優(yōu)化方法基本一致，但是比專家系統(tǒng)法和模糊數(shù)學(xué)法擴(kuò)展了搜索空間，相比枚舉法提高了優(yōu)化速度，適用優(yōu)勢(shì)明顯。

4 結(jié)論

(1)提出了應(yīng)用多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法對(duì)低滲透油藏注水開發(fā)壓裂水平井裂縫條數(shù)、裂縫半長(zhǎng)、裂縫間距、裂縫與水平井筒間夾角和裂縫導(dǎo)流能力進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的新方案。

(2)引入Pareto最優(yōu)解集概念，將采出程度和含水率作為2個(gè)目標(biāo)函數(shù)，利用開發(fā)軟件結(jié)合多目標(biāo)遺傳算法NSGA－Ⅱ?qū)α芽p參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。該方法新穎可靠，所需資料較少，運(yùn)算快捷。

(3)多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法在搜索過程從種群參數(shù)成員(一般由多個(gè)個(gè)體構(gòu)成)開始，搜索效率更高，當(dāng)所求解的問題為非連續(xù)、多峰等情況，能以較大概率收斂到最優(yōu)解，具有較好尋優(yōu)能力。

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