田麗娟 楊 平

（中國船舶重工集團(tuán)公司第七二二研究所 武漢 430079）

1 引言

在數(shù)字通信系統(tǒng)中，符號(hào)同步不僅要求準(zhǔn)確檢測(cè)到數(shù)據(jù)的起始位置，還需要確定在每個(gè)碼元間隔的什么時(shí)刻以符號(hào)速率進(jìn)行周期性地采樣和判決，符號(hào)同步算法的優(yōu)劣對(duì)降低接收端的誤碼率起到了至關(guān)重要的作用。對(duì)于數(shù)據(jù)起始位置的確定一般是通過集中插入特殊的訓(xùn)練序列，利用局部自相關(guān)函數(shù)的單峰特性來識(shí)別同步頭。在碼元周期間隔內(nèi)，最佳采樣時(shí)刻由信號(hào)波形決定，可能位于碼元中間時(shí)刻，也可能是碼元起始時(shí)刻或終止時(shí)刻，實(shí)際可行的方法層出不窮，如傳統(tǒng)的鎖相環(huán)法、早遲門同步法、Gardner算法［1］、數(shù)字濾波平方算法［2］、內(nèi)插估值法［3］等。其中，內(nèi)插估值法源于數(shù)值分析中多項(xiàng)式插值的思想，是指利用定時(shí)誤差來控制內(nèi)插濾波器［4～5］對(duì)采樣數(shù)值進(jìn)行某種插值運(yùn)算，以使其逼近最佳采樣時(shí)刻的信號(hào)值。

本文首先針對(duì)數(shù)據(jù)起始時(shí)刻的確定，提出一種能有效降低虛警概率的多同步頭聯(lián)合檢測(cè)算法，并通過Matlab仿真比較其性能。接著簡(jiǎn)要介紹通常所用的內(nèi)插估值方法的基本原理。最后討論一種基于最大似然估計(jì)的等分內(nèi)插逼近法，并在存在一定頻偏的情況下，通過Matlab仿真討論分析了過采樣數(shù)及訓(xùn)練序列長度對(duì)誤碼性能的影響。

2 同步頭聯(lián)合檢測(cè)方法

通常數(shù)據(jù)以幀為基本單位進(jìn)行傳輸，對(duì)于數(shù)據(jù)起始位置的確定一般是集中插入特定的訓(xùn)練序列，利用其具有尖銳單峰特性的局部自相關(guān)函數(shù)來判別。為了提高正確檢測(cè)概率pc和降低虛警概率pf，可以增長訓(xùn)練序列長度，但同時(shí)傳輸?shù)拈_銷會(huì)增大，使得傳輸信息的有效性降低。在確定同步頭長度時(shí)，需要兼顧檢測(cè)的可靠性和傳輸?shù)挠行?，兩者折中處理，一般同步頭長度選取為數(shù)據(jù)長度的5%～10%較為合理［6］。 鑒 于 此，提出了多同步頭聯(lián)合檢測(cè)的算法，其原理如圖1所示。

圖1 多同步頭聯(lián)合檢測(cè)示意圖

其具體做法是對(duì)于連續(xù)m幀數(shù)據(jù)，將每幀數(shù)據(jù)的同步頭提取出來，并行檢測(cè)這m幀數(shù)據(jù)內(nèi)總共能識(shí)別出多少個(gè)同步頭，將累加結(jié)果與一預(yù)先設(shè)定的門限值Nth進(jìn)行比較，這種做法可以在不增加每幀數(shù)據(jù)同步頭長度的前提下大幅度提高檢測(cè)的可靠性。

對(duì)于單個(gè)同步頭檢測(cè)方法，作如下性能仿真：

在誤碼率p＝0.1的條件下，同步頭為8個(gè)比特碼元，通過仿真得出pc、pf相對(duì)于門限值的性能曲線如圖2所示。

對(duì)于多個(gè)同步頭聯(lián)合檢測(cè)方法，作如下性能仿真：

在誤碼率p＝0.1的條件下，同步頭為8個(gè)比特碼元，單同步頭檢測(cè)的判決門限設(shè)為6，檢測(cè)的數(shù)據(jù)幀數(shù)m設(shè)為16，則通過仿真得出pc、pf相對(duì)于門限值的性能曲線如圖3所示。

圖2 單同步頭檢測(cè)

圖3 多同步頭檢測(cè)

比較原始的與改進(jìn)后的仿真結(jié)果：圖3相對(duì)于圖2，其正確檢測(cè)概率pc隨著門限值Nth增大有明顯提高，而虛警概率pf隨著門限值Nth增大大幅度降低。由此可得出如下結(jié)論：多同步頭聯(lián)合累加檢測(cè)算法的檢測(cè)性能明顯優(yōu)于單一同步頭檢測(cè)方法。

3 內(nèi)插估值的基本原理

內(nèi)插的基本思想是接收端采用獨(dú)立于碼元周期T的固定采樣時(shí)鐘周期Ts采樣，正確的定時(shí)樣值點(diǎn)是通過對(duì)連續(xù)幾個(gè)采樣點(diǎn)做插值計(jì)算得到的近似值，如圖4所示：樣值點(diǎn)kT的值是通過對(duì)（mk－1）Ts，mkTs，（mk＋1）Ts，（mk＋2）Ts這四個(gè)原始采樣值作內(nèi)插運(yùn)算獲得的。其中mk稱為基本指針，用于決定參與計(jì)算內(nèi)插值R（kT）的信號(hào)樣點(diǎn)集；uk稱為分?jǐn)?shù)間隔，用于指示內(nèi)插估值點(diǎn)并用來確定內(nèi)插濾波器的樣點(diǎn)值［7］。

圖4 固定采樣點(diǎn)與定時(shí)樣值點(diǎn)關(guān)系圖

數(shù)字內(nèi)插濾波器的基本方程為

式（1）中uk的提取是有效實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確內(nèi)插同步的關(guān)鍵，通常由NCO控制器來完成。每次進(jìn)行內(nèi)插運(yùn)算時(shí)，都需要根據(jù)不同的uk值來更新內(nèi)插濾波器的系數(shù)。

4 最大似然估計(jì)

4.1 最大似然估計(jì)原理

4.2 最大似然估計(jì)器

基于判決修正方法（DD）的最大似然誤差估計(jì)是利用數(shù)據(jù)符號(hào)的估計(jì)來使定時(shí)估計(jì)的似然函數(shù)最大化，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（6）：

基于非判決修正方法 （NDD）的最大似然誤差估計(jì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

文獻(xiàn)［9］給出了式（7）兩種非線性替換形式：一種采用絕對(duì)值近似的非線性形式（AVN）：

另一種采用平方率近似的非線性形式（SLN）：

文獻(xiàn)［10］給出了另一種非線性形式（FLN）；

5 內(nèi)插逼近方法

5.1 基本原理及實(shí)現(xiàn)步驟

采用基于判決修正方法（DD）的最大似然估計(jì)，即運(yùn)用式（6）計(jì)算ΛL。等分內(nèi)插逼近法的具體步驟歸納如下：

1）將接收信號(hào)經(jīng)過匹配濾波器后以K倍速率進(jìn)行采樣，在一個(gè)符號(hào)周期內(nèi)得到K個(gè)采樣值分別為x（1），x（2），…，x（k），逐個(gè)計(jì)算每個(gè)樣本的似然函數(shù)值ΛL，找到較大的兩個(gè)ΛL值所對(duì)應(yīng)的樣本值，分別標(biāo)示為x1（a）和x1（b）。從理論上講，在一個(gè)符號(hào)間隔內(nèi)以兩倍的符號(hào)速率采兩個(gè)樣值，只要保持這兩個(gè)樣值分別位于峰值兩側(cè)即可實(shí)現(xiàn)逐次內(nèi)插逼近最佳定時(shí)時(shí)刻。當(dāng)內(nèi)插逼近次數(shù)n＝1時(shí)，取x1（a）和x1（b）等分點(diǎn)，記為x1（c）；

2）當(dāng)內(nèi)插逼近次數(shù)n＝2時(shí)，在完成1）的基礎(chǔ)上，計(jì)算x1（a）、x1（b）和x1（c）的似然函數(shù)值ΛL，找到較大的兩個(gè)ΛL值，例如此時(shí)x1（b）和x1（c）的ΛL值較大，則將x1（b）標(biāo)記為x2（a），x1（c）標(biāo)記為x2（b），再取這兩個(gè)值的等分點(diǎn)得到最佳定時(shí)位置，記為x2（c）；

3）當(dāng)內(nèi)插逼近次數(shù)n＝3時(shí)，完成上述1）2）后，計(jì)算x2（a）、x2（b）和x2（c）的似然函數(shù)值ΛL，找到較大的兩個(gè)，依次標(biāo)記為x3（a）和x3（b），再在這兩個(gè)值之間進(jìn)行等分內(nèi)插得到最佳定時(shí)位置x3（c）；

當(dāng)n＞3時(shí)，重復(fù)執(zhí)行步驟3）即可。由上述逐次內(nèi)插逼近的步驟可知，最佳定時(shí)位置的精確度主要由逼近的次數(shù)n決定。經(jīng)觀察得出：逼近次數(shù)n與相鄰估值點(diǎn)的間距Δ的關(guān)系為：Δ＝2－（n＋2）T，n＝1、2、…。所以，當(dāng)逼近次數(shù)n＝4時(shí)，定時(shí)同步可達(dá)到的精度為碼元周期的1／64，此時(shí)計(jì)算似然函數(shù)的總次數(shù)為n＋1＝5，其運(yùn)算量?jī)H等價(jià)于對(duì)5個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行似然函數(shù)計(jì)算，通常達(dá)到同樣的精度則需要對(duì)64個(gè)采樣點(diǎn)的似然函數(shù)都進(jìn)行計(jì)算并作比較。于是可看出此算法在取得同樣定時(shí)精度的情況下，能明顯減少運(yùn)算量。

5.2 仿真結(jié)果與分析

使用matlab軟件對(duì)本算法進(jìn)行仿真分析，仿真參數(shù)設(shè)置如下：

目標(biāo)價(jià)格水平發(fā)生變化時(shí)，上述市場(chǎng)均衡會(huì)發(fā)生一系列反應(yīng)從而達(dá)到新的均衡。根據(jù)Muth和Gardner的方法，我們將上述結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行全微分，并利用克萊姆法則將其求解后得到模型的最終形式，即外生變量變化引起的內(nèi)生變量變化率。

調(diào)制方式：GMSK（同樣也適用于MSK、MPSK等其他調(diào)制方式）；

濾波器：發(fā)送端高斯低通濾波器BT＝0.3，接收端高斯低通濾波器BT＝0.5（如選用其他調(diào)制方式，如MPSK，可選用升余弦根濾波器）；

載波頻率：正弦載波fc＝2800Hz；

符號(hào)速率：f＝3200bps；

過采樣因子：K＝8、16，即抽樣頻率fs＝Kf；同步頭長度：L＝32、256；

頻偏：Δf＝70Hz；

所加噪聲：加性高斯白噪聲；

逼近次數(shù)：n＝4（相當(dāng)于每個(gè)符號(hào)過采樣64個(gè)樣值點(diǎn)）。

圖5 Δf＝70Hz，L＝32和256時(shí)過采樣數(shù)K對(duì)誤碼率的影響

采用基于判決修正方法（DD）的最大似然估計(jì)方法，仿真結(jié)果如圖5所示。

不難發(fā)現(xiàn)：過采樣因子K和同步頭長度L的增大都會(huì)使誤碼率降低，但對(duì)于相同長度的同步頭，過采樣數(shù)K的增加，對(duì)誤碼率性能改善并不大，而該性能更多的是受同步頭長度的影響。運(yùn)用此方法時(shí)，提高過采樣率對(duì)提高定時(shí)同步的精度意義并不大，可以通過不斷增加內(nèi)插逼近次數(shù)來獲得更好的誤碼性能。

6 結(jié)語

本文提出的符號(hào)同步算法具有性能優(yōu)良，算法高效，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)。運(yùn)用多同步頭聯(lián)合累加檢測(cè)方法，能更加有效地提高正確檢測(cè)概率，同時(shí)具有良好的數(shù)據(jù)傳輸開銷；此同步頭同時(shí)作為訓(xùn)練序列，利用最大似然估計(jì)的思想，通過等分內(nèi)插逼近的方法準(zhǔn)確找到每個(gè)碼元內(nèi)的最佳采樣時(shí)刻，只要內(nèi)插逼近的次數(shù)足夠多，就能達(dá)到滿意的誤碼性能。

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