方大俊，崔國民，萬義群，許海珠

（上海理工大學(xué)新能源研究所，上海 200093）

換熱網(wǎng)絡(luò)是化工過程中一個重要的子系統(tǒng)，換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的節(jié)能效果也一直是該行業(yè)重要的研究熱點。雖然各國學(xué)者已經(jīng)過數(shù)十年深入研究，然而，換熱網(wǎng)絡(luò)的全局最優(yōu)化仍然是過程系統(tǒng)優(yōu)化的疑難問題。一是由于換熱網(wǎng)絡(luò)本身模型是屬于一種混合整數(shù)非線性問題（MINLP）[1]，具有嚴(yán)重的非凸、非線性等特性，導(dǎo)致在整個可行解領(lǐng)域內(nèi)局部最優(yōu)解星羅棋布。二是優(yōu)化理論與優(yōu)化方法還不完善?，F(xiàn)有的針對換熱網(wǎng)絡(luò)問題的優(yōu)化方法主要分為數(shù)學(xué)規(guī)劃法[2-4]與啟發(fā)式方法[5-6]。數(shù)學(xué)規(guī)劃法在用于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化時，隨著換熱網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，局部最優(yōu)解的組合呈現(xiàn)著指數(shù)形式的增長，數(shù)學(xué)規(guī)劃法很容易陷入質(zhì)量不好的局部最優(yōu)解當(dāng)中。其次，數(shù)學(xué)規(guī)劃法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)時，跟初始點的關(guān)系十分密切。即使同一個網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在初始點不同時，不但優(yōu)化得到的局部最優(yōu)解不同[7]，而且很難得到該結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)解。

啟發(fā)式方法是一種全局優(yōu)化方法，能夠跳出局部最優(yōu)解，具有很強的全局搜索能力，近年來，來越多的研究者研究與應(yīng)用。微分進化算法[8-9]是啟發(fā)式算法的一種，是Storn和Price在1995年首次提出應(yīng)用。微分進化算法搜索引擎極其簡單，但十分有效。尤其是針對連續(xù)性變量，已被證明是一種有效的全局優(yōu)化方法。

本文作者首先針對一給定結(jié)構(gòu)，通過改變換熱器面積證明了換熱網(wǎng)絡(luò)在在著嚴(yán)重的非線性特性及局部最優(yōu)解眾多的特點；其次通過實例，給定不同的初始點下，分別用牛頓法和微分進化算法進行優(yōu)化，結(jié)果證明傳統(tǒng)的牛頓法在不同的初始點下優(yōu)化得到不同的局部最優(yōu)解，而本研究所采用的微分進化算法在優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)問題時，不但不受初始點的影響，而且優(yōu)化精度得到進一步的提高，該算法在求解換熱網(wǎng)絡(luò)問題時收斂穩(wěn)定，具有很好的魯棒性及全局搜索能力。

1 換熱網(wǎng)絡(luò)模型

假設(shè)有Nc股冷流體需要加熱，Nh股熱流體需要冷卻而達到各自的目標(biāo)溫度。換熱網(wǎng)絡(luò)為達到節(jié)能并且減少費用投資的情況下，在冷、熱物流之間加換熱器的能量回收網(wǎng)絡(luò)。已知物流參數(shù)包括物流入口溫度、熱容流率入各換熱器的換熱系數(shù)。同時，有一組固定的冷公用工程與一組熱公用工程，用來冷卻與加熱未達到目標(biāo)溫度的流體，公用工程的換熱系數(shù)與進出口溫度已知。以二股熱流體，三股冷流體Grossmann分級超結(jié)構(gòu)[10]為例，其結(jié)構(gòu)表達方式如圖1所示，級數(shù)Sk=max(Nc，Nh)。

換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化以綜合費用為目標(biāo)函數(shù)，包括年操作費用與投資費用。操作費用主要與公用工程消耗量有關(guān)，而投資費用主要與換熱面積及換熱設(shè)備臺數(shù)有關(guān)。在不考慮固定投資的情況下，目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)形式如式（1）。

式中，z代表換熱器存在與否的邏輯變量；C1、C2分別為換熱器面積費用系數(shù)與公用工程的費用系數(shù)；A表示換熱器面積；Q為公用工程的換熱量；N為流體數(shù)目；Sk為級數(shù)；b為面積費用指數(shù)；c、h代表冷、熱流體；u代表公用工程；k代表第k級；i、j分別代表位于第i與第j股流體。例如式(zC2Q)cu2中，z、C2、Q分別表示位于第2股熱流體上換熱器邏輯變量、冷公用工程費用系數(shù)、冷公用工程換熱量。

2 換熱網(wǎng)絡(luò)的非線性特性分析

換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化屬于 MINLP問題，其嚴(yán)重的非線性不僅與對數(shù)平均溫差、換熱系數(shù)及非線性函數(shù)有關(guān)，而且跟目標(biāo)函數(shù)中的換熱器面積的非線性形式有很大的關(guān)系。即使在固定的結(jié)構(gòu)下，由于可行域內(nèi)換熱器面積的眾多組合變化，將會導(dǎo)致?lián)Q熱網(wǎng)絡(luò)在最優(yōu)化過程中存在著大量的局部最優(yōu)解，給數(shù)學(xué)規(guī)劃法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)帶來巨大障礙。本節(jié)針對具體的算例，在固定換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的條件下，分析換熱器面積與綜合費用之間的非線性關(guān)系。

算例取自文獻[11-14]，由6股熱流體與4股冷流體組成，參數(shù)與文獻相同。所有流體的流股參數(shù)與計算公式如表1所示。換熱器面積費用計算式為60×A$/(m2·a)，熱公用工程費用為 100×Qh$/(kW·a)，冷公用工程費用為 15×Qc$/(kW·a)，所有換熱器換熱系數(shù)為0.025 kW/(m2·℃)。

為研究換熱器面積與綜合費用之間的非線性關(guān)系，給換熱網(wǎng)絡(luò)任意匹配12個換熱器并保持結(jié)構(gòu)不變，給定所有換熱器面積為200 m2，如圖2所示。在固定該結(jié)構(gòu)與給定面積的條件下，變動 1號、4號換熱器的面積，得到面積變化與綜合費用變化如圖3所示。

表1 流體參數(shù)

由圖3可以看出，僅僅變動兩個換熱器面積，在限定范圍內(nèi)，就存在一個極值點，可見換熱器面積的變化使得換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題存在著大量的局部最優(yōu)解，這將給全局尋優(yōu)過程帶來很大障礙。

3 微分進化算法

微分進化算法是一種基于群體進化的算法，具有記憶個體最優(yōu)解和種群內(nèi)信息共享的特點，即通過種群內(nèi)個體間的合作與競爭來實現(xiàn)對優(yōu)化問題的求解，是一種有效的無約束全局最優(yōu)化方法。優(yōu)化過程主要分為3個部分。設(shè)定一定規(guī)模的種群數(shù)量后，不斷地經(jīng)過變異、交叉、選擇的進化過程向最優(yōu)解逼近。而換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題為有約束問題，設(shè)利用懲罰函數(shù)法轉(zhuǎn)化后的無約束問題為M(X)，應(yīng)用微分進化算法求解換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題步驟如下所述。

（1）初始化參數(shù)。種群規(guī)模N，交叉概率P，縮放因子C，最大迭代步數(shù)g（初始為0）。隨機產(chǎn)生N組換熱網(wǎng)絡(luò)初始解，每一組解中包含n個需要優(yōu)化的換熱器面積。種群表示為：X={X1，g，··，Xi，g··，Xn，g}。其中，Xi,g={xi,g(1),xi,g(2),··xi,g(j)··，xi,g(n)}，Xi，g為第g代第i個個體；xi,g(j)為第g代種群中第i個個體的第j個換熱器面積。其中P、C∈[0，1]。

（2）變異。對種群中每個個體的每個換熱器面積采用變異機制如式（2）。

式中，vi,g(j)為第g代種群中第i組的第j個換熱器變異面積，其中，n1、n2、n3為隨機產(chǎn)生互不相同的整數(shù)。

因為換熱器面積不能為負(fù)，因此，增加邊界限制條件，對變異后的換熱器面積處理如式（3）。

（3）交叉。對種群中所有個體的變量逐個產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)cr∈[0，1]，采用二項交叉。執(zhí)行方式如式（4）。

式中，xi,g'(j)：第g次迭代第i組中第j個換熱器的試驗面積；rnd為隨機產(chǎn)生位于[1，n]的整數(shù)。

（4）選擇。當(dāng)該初始點的所有換熱器面積執(zhí)行完變異與交叉過程，生成試驗個體。比較該試驗個體年綜合費用與該個體上一輪的年綜合費用，按貪婪選擇的方式，選擇較好的個體進代下一代搜索。如式（5）。

（5）終止條件。g達到最大進化代數(shù)時，終止優(yōu)化。

相對于其它算法而言，微分進化算法是一種高效的并行算法，基于種群的全局搜索策略，具有獨特的記憶能力，能夠動態(tài)跟蹤當(dāng)前個體的搜索情況來調(diào)整逼近全局最優(yōu)解的方向，不依賴于目標(biāo)函數(shù)的梯度信息。因此，不易陷入換熱網(wǎng)絡(luò)局部最優(yōu)解，具有較強的全局收斂能力與魯棒的性能，因此能有效應(yīng)用于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化[15]。

4 微分進化算法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)問題的穩(wěn)定性

由于換熱網(wǎng)絡(luò)問題嚴(yán)重的非線性特征，即使在固定換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的條件下，也具有大量的局部最優(yōu)解。而傳統(tǒng)的局部優(yōu)化方法常常依賴于目標(biāo)函數(shù)的梯度信息，不僅容易陷入局部最優(yōu)解；并且難以擺脫初始點的影響，在不同的初始點下，會陷入不同的局部最優(yōu)解。本節(jié)通過實例，在不同的初始點下，分別運用牛頓法與微分進化算法優(yōu)化換熱網(wǎng)絡(luò)問題，比較結(jié)果證明，牛頓法容易受初始點的影響，陷入不同的局部最優(yōu)解，而微分進化算法具有很好的魯棒性，不受所給初始點的影響，解的穩(wěn)定性較強。

以牛頓法為例，在不同的初始點下，優(yōu)化上節(jié)的換熱網(wǎng)絡(luò)固定結(jié)構(gòu)。給定全部換熱器的初始面積分別為A1=200 m2與A2=1000 m2進行優(yōu)化，牛頓法優(yōu)化得到的局部最優(yōu)年綜合費用分別為$ 5645133和$ 5644129，優(yōu)化后各換熱器面積見表2與表3。在相同結(jié)構(gòu)的條件下，利用微分進化算法進行優(yōu)化，分別設(shè)定隨機產(chǎn)生初始個體面積在200 m2與1000 m2附近，所產(chǎn)生不同的初始面積優(yōu)化后均能得到年綜合費用為$ 5631282，所得面積如表4所示。有力地證明了該算法不僅魯棒性強、求解穩(wěn)定、不受初始點的影響，而且能在一定的程度上提高優(yōu)化精度，降低換熱網(wǎng)絡(luò)的年綜合費用，節(jié)約生產(chǎn)成本。

表2 初始點為200 m2優(yōu)化結(jié)果換熱器面積

表3 初始點為1000 m2優(yōu)化結(jié)果換熱器面積

表4 微分進化算法優(yōu)化所得換熱器面積

5 結(jié) 論

本研究首先通過改變換熱器面積，分析了求解換熱網(wǎng)絡(luò)的障礙在于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題嚴(yán)重的非線性特性、局部最優(yōu)解眾多的特點，同時，傳統(tǒng)的局部優(yōu)化方法優(yōu)化時容易受初始點的影響，優(yōu)化時陷入不同的局部最優(yōu)解，收斂穩(wěn)定性很差。因此，基于換熱網(wǎng)絡(luò)分級超結(jié)構(gòu)模型，在給定不同初始面積的條件下，分別采用牛頓法及微分進化算法對換熱網(wǎng)絡(luò)實例進行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果表明，牛頓法在不同的初始面積下得到不同的優(yōu)化結(jié)果，而微分進化算法求解換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題時，優(yōu)化結(jié)果不受初始點的影響，穩(wěn)定性強，魯棒性好，而且能進一步提高優(yōu)化精度，降低年綜合費用，節(jié)約生產(chǎn)成本。

[1]Furman，K C，Sahinidis N V.Computational complexity of heat exchanger network synthesis[J].Computer Chemical Engineering，2001，25：1371-1390.

[2]Linnhoff B，Hindmarsh E.The pinch design method for heat exchanger networks[J].Chemical Engineering Science，1983，38（5）：745-763.

[3]Kesler M G，Parker R.O.Optimal networks of heat exchange[J].Chemical Engineering Process Symposium Series，1969，65：111 -120.

[4]Ignacio E Grossmann，Jose Antonio Caballero，Hector Yeomans.Mathematical programming approaches to the synthesis of chemical process systems[J].Korean Chemical Engineering，1999，16（4）：407-426.

[5]Lewin D R，Wang H，Shalev O.A generalized method for HEN synthesis using stochastic optimization—Ⅰ.General framework and MER optimal synthesis[J].Computers and Chemical Engineering，1998，22（10）：1503-1513.

[6]Lewin D R.A generalized method for HEN synthesis using stochastic optimization—ⅡThe synthesis of cost-optimal networks[J].Computers and Chemical Engineering，1998，20（10）：1387-1405.

[7]胡山鷹，陳丙珍，何小榮.連續(xù)性變量全局優(yōu)化的模型退火法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，1995，9（9）：73-80.

[8]Price K，Storn R，Lampinen J A.Differential evolution：A practical approach to global optimization[M].Berlin Heidelberg：Springer-Verlag，2005.

[9]Rainer Stron，Kenneth Price.Differential evolution——A simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces[J].Journal of Global Optimization，1997，11：341–359.

[10]Yee T F，Grossmann I E，Kravanja Z.Simultaneous optimization models for heat integration I.Area and energy targeting and modeling of multi-stream exchangers[J].ComputersandChemical Engineering，1990，14（10）：1151-1164.

[11]Ahmad S.Heat exchanger networks：Cost trade-offs in energy and capital[D].PhD thesis，UMIST，Manchester，UK，1985.

[12]Ravagnani M A，Silva A P，Arroyo P A Constantino.Heat exchanger network synthesis and optimisation using genetic algorithm[J].Applied Thermal Engineering， 2005， 25（7）：1003–1017.

[13]Yerramsetty K M，Murty C V S.Synthesis of cost-optimal heat exchanger networks using differential evolution[J].Computers and Chemical Engineering，2008，32（8）：1861-1876.

[14]Mohammadhasani Khorasany R，F(xiàn)esanghary M.A novel approach for synthesis of cost-optimal heat exchanger networks[J].Computers and Chemical Engineering，2009，33（8）：1363-1370.

[15]方大俊，崔國民.微分進化算法應(yīng)用于換熱網(wǎng)絡(luò)全局最優(yōu)化[J].化工學(xué)報，2013，64（9）：3285-3290.