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        基于形態(tài)學(xué)理論的土體裂隙邊緣分形維數(shù)計(jì)算

        2013-10-11 09:12:26興,王媛,馮
        關(guān)鍵詞:維數(shù)分形裂隙

        劉 興,王 媛,馮 迪

        (1.河海大學(xué)巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇南京 210098;2.河海大學(xué)土木與交通學(xué)院,江蘇南京 210098)

        土體中廣泛發(fā)育著裂隙,裂隙是影響土體強(qiáng)度和滲透性的主要因素。定量描述裂隙形態(tài)是進(jìn)一步揭示土體裂隙開展機(jī)理及其演化規(guī)律的前提。長期以來,由于裂隙擴(kuò)展的隨機(jī)性和非均勻性,導(dǎo)致其定量化程度較低。

        土體裂隙具有很強(qiáng)的非線性特征。已有研究表明[1-4]土體表面的裂隙符合分形理論所要求的“自相似性”,因此很多學(xué)者嘗試應(yīng)用分形理論對土體的力學(xué)效應(yīng)及工程性質(zhì)展開相關(guān)研究[5-8]。有效利用分形理論進(jìn)行裂隙參數(shù)定量化統(tǒng)計(jì)的前提是能夠準(zhǔn)確提取裂隙的發(fā)育形態(tài)。研究初期,對土體裂隙形態(tài)的獲取多是以手工描繪為主[9]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,例如AutoCAD這樣的繪圖輔助軟件逐漸被應(yīng)用到裂隙形態(tài)的描繪中[10-11],但無論是手工繪制還是軟件繪圖均易受人為因素的影響,引起的隨機(jī)誤差較大,并且精度較低。數(shù)碼圖像信息處理技術(shù)的發(fā)展有望克服這些不足。已有學(xué)者應(yīng)用這種技術(shù)在相關(guān)領(lǐng)域進(jìn)行研究,譬如:彭瑞東等[12]借助數(shù)字圖像技術(shù)從SEM圖中提取巖石開裂面裂紋的擴(kuò)展曲線;劉春等[13]提出一套裂隙圖像計(jì)算機(jī)識別和定量分析方法,對裂隙圖像進(jìn)行形態(tài)學(xué)操作,獲取裂隙長度、寬度、走向等裂隙形態(tài)參數(shù)。

        以上研究多側(cè)重于裂隙單一基本參數(shù)的提取,僅憑某幾個(gè)孤立的指標(biāo)還不足以反映復(fù)雜裂隙的幾何形態(tài),難以全面體現(xiàn)裂隙發(fā)育的隨機(jī)行為和細(xì)節(jié)特征,但目前對綜合反映裂隙整體形態(tài)的指標(biāo)鮮有研究。鑒于此,筆者基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論,對裂隙圖像進(jìn)行處理,獲取裂隙邊緣曲線,把裂隙邊緣的分形維數(shù)作為裂隙發(fā)育程度的表征指標(biāo),建立了邊緣分形維數(shù)與裂隙寬度之間的關(guān)系,并嘗試將裂隙邊緣的分形維數(shù)應(yīng)用到立方定律的修正中。

        1 裂隙邊緣分析方法

        數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)不僅是一種理論,而且是一門強(qiáng)大的圖像分析技術(shù)。邊緣檢測是進(jìn)行圖像信息提取的基本手段,它可以剔除非相關(guān)信息,保留圖像的重要屬性。邊緣檢測通常借用微分算子利用卷積來實(shí)現(xiàn),筆者采用的Sobel算子對噪聲具有平滑作用,可以提供較精確的邊緣方向信息,且計(jì)算簡單、速度快。

        1.1 Sobel算子

        Sobel算子是一階導(dǎo)數(shù)的邊緣檢測算子,該算子包含一對3×3矩陣,分別用來檢測水平邊緣和垂直邊緣,利用式(1)計(jì)算某一像素鄰近區(qū)域的梯度值來確定該像素的梯度,通過梯度值的大小與設(shè)定的閾值(T)進(jìn)行比較、取舍,結(jié)果大于設(shè)定閾值的便是邊緣部分。

        式中:G(x,y)——(x,y)像素點(diǎn)的梯度值;S'x,S'y——檢測水平方向與垂直方向的有向算子;T——程序調(diào)試過程中確定的合理閾值。

        1.2 裂隙邊緣提取

        邊緣檢測是要計(jì)算圖像每一像素的梯度值,數(shù)字圖像中的每個(gè)像素都對應(yīng)一個(gè)灰度值,若將每一像素的灰度值預(yù)先處理成簡單數(shù)值,便會(huì)給梯度的計(jì)算帶來方便。二值圖像中所有元素的灰度值只能從0和1中取值,其灰度值沒有中間過渡,圖像二值化在圖像處理中相當(dāng)于將被關(guān)注的區(qū)域與背景相分離,所以在圖像邊緣提取之前將圖像二值化往往會(huì)達(dá)到更好的效果。筆者在程序編制過程中亦遵循這種順序。

        裂隙圖像處理結(jié)果如圖1所示。圖1(a)為待處理圖像,先處理成圖1(b)所示的二值圖像(黑色區(qū)域表示土體裂隙,純白色表示非裂隙區(qū)域)。圖1(c)中白色曲線即裂隙邊緣,與圖1(a)比較,基于Sobel算子提取的裂隙邊緣能準(zhǔn)確地反映原始裂隙的寬度、走向,以及邊緣曲折等幾何形態(tài)。

        圖1 裂隙圖像處理示意圖Fig.1 Sketch map of cracking image processing

        2 裂隙邊緣分形維數(shù)計(jì)算

        2.1 盒維數(shù)

        很多數(shù)學(xué)家雖然在分形維數(shù)的定義方法上做過卓有成效的工作,但由于存在于自然界中的物理分形往往表現(xiàn)出某種隨機(jī)性和尺度性,分形的確切定義仍未給出,有的定義在理論上比較科學(xué),但實(shí)際計(jì)算中卻很困難,如Hausdorff維數(shù)、相似維數(shù),因此很多等價(jià)的或近似的分形維數(shù)定義被提出來,盒維數(shù)是目前廣泛采用的一種分形維數(shù)計(jì)算方法。

        設(shè)F是Rn上任意非空的有界子集,Nδ是邊長最大為δ,可以覆蓋F集的最少盒子數(shù),逐漸減小邊長δ,相對應(yīng)地,統(tǒng)計(jì)能夠覆蓋F集的盒子數(shù)Nδ,即可用式(2)計(jì)算盒維數(shù):

        根據(jù)盒維數(shù)的定義可知,通過逐漸細(xì)分盒子邊長可對應(yīng)得到一系列覆蓋原圖像所需的盒子數(shù),以獲取足夠多的數(shù)據(jù)點(diǎn)(δi,Nδi)。但在實(shí)際計(jì)算中受圖像的分辨率限制,只能劃分到一個(gè)像素點(diǎn)尺寸。原則上,圖像分辨率越高,計(jì)算精度也越高,δ的取值與圖像的大小以及形狀有很大關(guān)系,當(dāng)圖像較大并且為正方形時(shí),為避免出現(xiàn)半個(gè)盒子的情況,δ可以取能被正方形邊長所整除的數(shù)字,而當(dāng)圖像為矩形時(shí)δ可取矩形兩邊長度的公約數(shù)。

        采集數(shù)據(jù)點(diǎn)(δi,Nδi),并在雙對數(shù)坐標(biāo)平面內(nèi)用最小二乘法線性擬合,所得直線斜率的絕對值即該圖像的盒維數(shù)D。

        2.2 分形維數(shù)計(jì)算軟件設(shè)計(jì)

        通過以上對盒維數(shù)的概念分析,基于VisualC++語言編制了盒維數(shù)的計(jì)算軟件,該軟件具有可實(shí)現(xiàn)圖像讀取、圖像二值化、輸出“盒子”邊長、計(jì)算盒維數(shù)、得出最小二乘法擬合曲線等一系列功能。軟件界面見圖2。

        軟件可自動(dòng)計(jì)算圖像兩邊長度的公約數(shù),并將其作為“盒子”的邊長,有效避免了格子數(shù)無法除盡導(dǎo)致的統(tǒng)計(jì)誤差,并且不再局限于處理正方形圖像。

        圖2 軟件界面Fig.2 Software interface

        3 實(shí)例分析

        為再現(xiàn)土體在自然條件下裂隙的發(fā)育過程,進(jìn)一步研究裂隙邊緣分形維數(shù)與裂隙寬度之間的關(guān)系,進(jìn)行了土體開裂觀測試驗(yàn)。土樣取自鎮(zhèn)江南徐大道黃山邊坡原狀土樣,取土深度為地表下3 m,從取樣表觀分析可知,土樣裂隙發(fā)育、顏色多為棕黃色,經(jīng)刀片切削后呈現(xiàn)的土體表面呈蠟狀光滑,具有典型的裂隙土特征。土樣的基本物理力學(xué)指標(biāo)如下:液限wL=41.3%,塑限wP=24.8%,自由膨脹率r=50% ~90%,密度ρ=1930 kg/m3,黏聚力 c=37.3 kPa,內(nèi)摩擦角 θ=14.4°。

        試驗(yàn)在四五月份完成,水分蒸發(fā)過程較均勻,試驗(yàn)開始后第2天出現(xiàn)裂隙,以后每24 h拍照記錄1次,待裂隙寬度波動(dòng)量持續(xù)3 d小于2%時(shí)認(rèn)為裂隙不再開展。為避免邊界效應(yīng)對裂隙開展的影響,選取中間區(qū)域?yàn)橛^測研究區(qū)域,用上述方法提取每張圖片的裂隙邊緣曲線,部分結(jié)果如圖3所示。

        拍攝圖片的同時(shí),取觀測區(qū)域外的土體進(jìn)行含水率測定,并統(tǒng)計(jì)裂隙平均寬度、分形維數(shù)等參數(shù),試驗(yàn)結(jié)果如圖4、圖5所示。

        試驗(yàn)結(jié)果分析如下:如圖4所示,含水率隨著試驗(yàn)進(jìn)行呈逐漸減少趨勢,試驗(yàn)進(jìn)行到第8天趨于穩(wěn)定,第12天認(rèn)為干縮完成;裂隙寬度在土體開裂初期增長較快,隨著干縮時(shí)間的推移其增勢減緩,最終穩(wěn)定在65像素左右;初始裂隙邊緣呈齒狀形態(tài),盒維數(shù)值開始較大,隨后逐漸減小,說明裂隙邊緣逐漸趨于平緩。對比圖4(a)和圖4(b)可知,含水率的微小波動(dòng)會(huì)引起裂隙寬度的增減,說明將形態(tài)學(xué)理論應(yīng)用于裂隙邊緣提取及對裂隙寬度的統(tǒng)計(jì)是足夠精確的。

        圖3 提取得到的不同干縮狀態(tài)下的裂隙邊緣Fig.3 Extraction of crack edge in different shrinking states

        圖4 含水率、裂隙寬度像素、盒維數(shù)隨時(shí)間變化曲線Fig.4 Changes of water content,crack width pixel,and box dimension with time

        在現(xiàn)有的研究成果中,普遍認(rèn)為基質(zhì)吸力是引起土體開裂的主要因素,由非飽和土的土-水特征曲線可知,基質(zhì)吸力與含水率密切相關(guān)。本文試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果也驗(yàn)證了這一理論。如圖5(a)所示,含水率隨干縮時(shí)間的增長而逐漸降低,體現(xiàn)在非飽和土力學(xué)中即反映了基質(zhì)吸力的增加,進(jìn)而引起土體開裂,裂隙寬度不斷增大。裂隙邊緣盒維數(shù)值隨含水率的降低呈現(xiàn)減小趨勢,如圖5(b)所示。需要指出的是,在試驗(yàn)過程中并未控制濕度的變化,期間含水率會(huì)有小幅度變動(dòng)。

        圖5 含水率、裂隙寬度像素、盒維數(shù)之間的關(guān)系Fig.5 Relationships between water content,crack width pixel,and box dimension

        含水率、裂隙寬度像素、盒維數(shù)三者之間均有較好的線性關(guān)系。裂隙邊緣D隨裂隙寬度像素b的增加而減小,如圖5(c)所示,兩者有如下負(fù)相關(guān)線性關(guān)系:

        D和b兩者相關(guān)系數(shù)為0.9663,裂隙邊緣盒維數(shù)能夠作為表征裂隙寬度的度量指標(biāo)。一般來說,表面越粗糙,盒維數(shù)越大,式(3)揭示土體裂隙寬度越大,盒維數(shù)越小,也就是說隨著裂隙開展,裂隙表面越平滑,這與文獻(xiàn)[14]所述的有關(guān)壓裂巖體裂隙分形規(guī)律有所出入,究其原因,可能與巖土體開裂機(jī)理不同有關(guān)。土體開展多屬張拉破壞,且土體抗拉強(qiáng)度較小,一旦開裂易被拉伸,導(dǎo)致裂隙表面較平展;前述巖體為壓裂破壞,隨著壓力不斷增大,裂隙咬合面越粗糙。

        4 立方定律的修正

        立方定律是裂隙滲流研究的基礎(chǔ)理論,根據(jù)光滑平行板裂隙水力學(xué)試驗(yàn)推導(dǎo)而來。但天然裂隙表面往往是凹凸起伏的,粗糙程度極大地影響了裂隙的水力特性。若將立方定律應(yīng)用到實(shí)際中必須對它進(jìn)行修正,修正需建立在裂隙面粗糙性的定量描述上。Barton等[15]建議的節(jié)理粗糙度系數(shù)JRC已經(jīng)被國際巖石力學(xué)學(xué)會(huì)所推薦使用。

        許多學(xué)者[16-20]已經(jīng)注意到可以采用分形維數(shù)的大小來表征裂隙面的粗糙程度并試圖將分形數(shù)維與JRC之間建立某種關(guān)系,以達(dá)到定量化研究裂隙面形態(tài)的目的,兩者之間的關(guān)系在理論研究上已經(jīng)較成熟,但如何準(zhǔn)確獲取現(xiàn)場實(shí)際裂隙的分形維數(shù)是目前面臨的主要問題。以形態(tài)學(xué)理論提取的裂隙邊緣曲線能較好地反映裂隙形態(tài),其分形維數(shù)亦能準(zhǔn)確表征裂隙的粗糙程度,并與裂隙寬度有較好的線性關(guān)系,這就為立方定律的修正提供了可靠參數(shù)。

        必須指出,現(xiàn)有的研究成果均是描述裂隙表面的曲線形態(tài),由于裂隙張開度很小,曲面形態(tài)的研究尚存在困難。如何將分形理論運(yùn)用到曲面粗糙度的描述上將是下一步要進(jìn)行的工作。

        5 結(jié) 論

        a.基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論,利用Sobel算子對裂隙邊緣曲線進(jìn)行提取,經(jīng)過與原始圖像對比,發(fā)現(xiàn)所提取的邊緣符合裂隙開展形態(tài),并能較好地反映裂隙邊緣的粗糙程度。

        b.編制了計(jì)算數(shù)字圖像盒維數(shù)的軟件,該軟件具有良好的人機(jī)交互界面,只需讀入256色原始BMP圖像即可實(shí)現(xiàn)盒維數(shù)的計(jì)算過程。

        c.試驗(yàn)表明,裂隙邊緣分形維數(shù)與裂隙寬度有較好的負(fù)線性關(guān)系,因此分形維數(shù)可以被用來刻畫裂隙的發(fā)育程度,進(jìn)一步研究將有助于邊緣分形維數(shù)與粗糙度系數(shù)JRC建立關(guān)系,從而達(dá)到對立方定律修正的目的。

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