張超超

（中航工業(yè)洪都，江西南昌330024）

0 引言

雷達(dá)罩是電磁波的窗口，其作用是保護(hù)天線，防止環(huán)境對(duì)雷達(dá)天線工作狀態(tài)的影響和干擾，從而減少驅(qū)動(dòng)天線運(yùn)轉(zhuǎn)的功率，提高其工作可靠性，保證雷達(dá)天線全天候工作。雷達(dá)罩的存在，延長(zhǎng)了天線的使用壽命，簡(jiǎn)化了天線的結(jié)構(gòu)，減輕了結(jié)構(gòu)的重量。雷達(dá)罩作為雷達(dá)系統(tǒng)的重要組成部分，其性能好壞直接影響到雷達(dá)系統(tǒng)的能?？梢哉f，雷達(dá)罩與天線同等重要。要求雷達(dá)罩對(duì)天線的電磁輻射特性的影響最小，并且滿足戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)的要求。雷達(dá)罩技術(shù)綜合了材料、工藝、機(jī)械、電磁、空氣動(dòng)力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)等學(xué)科的知識(shí)，設(shè)計(jì)和制造難度較大。由于雷達(dá)罩工作在一種復(fù)雜的特殊環(huán)境中，對(duì)材料的要求十分苛刻，主要使用玻璃纖維復(fù)合材料。國(guó)外出現(xiàn)了抵御反輻射導(dǎo)彈襲擊的防彈天線罩，能抗高速破片和沖擊波的打擊。

由于空基天線罩是空基電子系統(tǒng)不可缺少的組成部分，其電磁特性的優(yōu)劣與系統(tǒng)的整體性能密切相關(guān)，長(zhǎng)期以來，帶罩天線的特性分析和天線罩的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)一直受到人們廣泛的關(guān)注。解析法(AM)以幾何光學(xué)(GO)為基礎(chǔ)，通過射線對(duì)罩壁入射角的加權(quán)平均等效來計(jì)算各站位點(diǎn)的罩壁厚度，方法簡(jiǎn)便有效，并適用于非均勻壁厚天線罩的設(shè)計(jì)，是一種工程中普遍采用的設(shè)計(jì)方法。

本文主要運(yùn)用投影、向量、曲線擬合等數(shù)學(xué)思想，通過MATLAB工具計(jì)算分析機(jī)載天線的入射角大小，與雷達(dá)罩的標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)進(jìn)行比較，確定雷達(dá)罩的電性能是否最佳。并應(yīng)用于某型教練機(jī)XXX火控雷達(dá)罩。

1 問題來源描述

某型教練機(jī)火控雷達(dá)罩如圖1所示，其雷達(dá)罩表面點(diǎn)的三維坐標(biāo)見圖2。

圖1 某型教練機(jī)火控雷達(dá)罩

圖2 原始數(shù)據(jù)點(diǎn)的三維空間分布

將橢圓處放大，我們可以清晰地看到4種顏色的點(diǎn)，即為4個(gè)數(shù)據(jù)文件在空間中的表示，如圖3所示。

現(xiàn)需要求得初始點(diǎn)（即為機(jī)載天線上的點(diǎn)）到所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的連線與所給數(shù)據(jù)點(diǎn)所在切面的法線所成的夾角，要求對(duì)于所給范圍內(nèi)任意的初始點(diǎn)，每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度小于70°。但是切面無法求得，故而把問題轉(zhuǎn)化為求初始點(diǎn)到所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的連線與所給數(shù)據(jù)點(diǎn)所在擬合曲線的切線的法線所成的夾角,如圖4所示。

圖3 橢圓處放大圖

圖4 所求夾角示意圖

2 問題詳細(xì)解決方案

2.1 數(shù)學(xué)思想

2.1.1 二維空間的曲線擬合

曲線擬合(curve fitting)（見圖5）是指選擇適當(dāng)?shù)那€類型來擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關(guān)系，用解析表達(dá)式逼近離散數(shù)據(jù)的一種方法。

圖5 二維曲線擬合

在科學(xué)實(shí)驗(yàn)或社會(huì)活動(dòng)中，通過實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到量x與y的一組數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)(i=1,2,…,m)，其中各xi是彼此不同的。人們希望用一類與數(shù)據(jù)的背景材料規(guī)律相適應(yīng)的解析表達(dá)式，y=f(x,c)來反映量x和y之間的依賴關(guān)系，即在一定意義下“最佳”地逼近或擬合已知數(shù)據(jù)。f(x,c)常稱作擬合模型，式中c=(c1,c2,…cn)是一些待定參數(shù)。當(dāng)c在f中線性出現(xiàn)時(shí)，稱為線性模型，否則稱為非線性模型。

最小二乘法是曲線擬合的核心算法，是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，它通過最小化誤差的平方和找到一組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。很多其他的優(yōu)化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘形式表達(dá)。

比如從最簡(jiǎn)單的一次函數(shù)y=kx+b講起，已知坐標(biāo)軸上有些點(diǎn)(1.1,2.0),(2.1,3.2),(3,4.0),(4,6),(5.1,6.0),求經(jīng)過這些點(diǎn)的圖像的一次函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)然這條直線不可能經(jīng)過每一個(gè)點(diǎn)，我們只要做到5個(gè)點(diǎn)到這條直線的距離的平方和最小即可，這就需要用到最小二乘法的思想。

2.1.2 空間曲線投影

空間曲線投影就是通過空間曲線每一點(diǎn)向坐標(biāo)作垂線，這個(gè)垂線與坐標(biāo)面的交點(diǎn)集合就是投影，投影是一條曲線，如果想投影到xy平面，只需令。

一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：空間直線方程：x=y=z，投影到xy和xz平面后，如圖6所示。

圖6 在xy、xz平面的投影

2.2 設(shè)計(jì)解決方法

2.2.1 角度求解方法

眾所周知，要求得兩條線段之間的角度，有很多種方法，最簡(jiǎn)單的比如：用量角器、三角形的余弦公式。顯然用量角器的方法過于笨重和簡(jiǎn)單，余弦公式過于復(fù)雜，在這里都不方便。這是抽象的數(shù)據(jù)，而且需要批量式的得到入射角，所以需要用到工程化編程的思想，把問題細(xì)化、簡(jiǎn)單化，把這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為求兩條線段之間夾角。

為了使得到的結(jié)果更加高效、快速、簡(jiǎn)便，在這里運(yùn)用數(shù)組的思想，把三維數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)放到一個(gè)數(shù)組中，即一個(gè)向量，通過求解兩個(gè)向量之間的夾角（見圖7）來得到所需結(jié)果。

求得，即

在MATLAB中可通過內(nèi)置的函數(shù)dot，norm，

求得α角。

圖7 兩向量之間的夾角示意圖

2.2.2 三維空間的擬合曲線

二維空間的擬合曲線方程在MATLAB上可以通過polyfit，polyval命令得到，但是沒有關(guān)于三維空間擬合曲線的求解函數(shù)。運(yùn)用投影的思想，我們先將三維空間曲線投影到xy平面，得到xy平面的擬合曲線方程，有了擬合曲線方程，通過求導(dǎo)法，就能得到關(guān)于xy平面在擬合點(diǎn)的切線斜率，同理，再將三維空間曲線投影到xz平面，得到關(guān)于xz平面在擬合點(diǎn)的切線斜率，由此可得，關(guān)于空間曲線在擬合點(diǎn)的切線向量為

有了擬合曲線方程，就可以通過原始數(shù)據(jù)的x坐標(biāo)，求出擬合點(diǎn)的坐標(biāo)，然后得到初始點(diǎn)到擬合點(diǎn)的向量vectorinitial，我們稱之為初始向量。

曲線擬合后，“問題來源描述”一節(jié)中的橢圓處放大見圖8。

圖8 曲線擬合后，橢圓處放大圖

2.3 最終計(jì)算結(jié)果及分析

通過向量求角公式，可以得到初始向量與切線向量的夾角α，但是我們需要的最終計(jì)算結(jié)果是初始向量與切線的法線做成的夾角vectorα，所以還需要做一個(gè)判斷，如果α＜90°，則vectorα=90°｜α，如果α＞90°，則vectorα=α｜90°。

最終角度結(jié)果趨勢(shì)見圖9。

圖9 最終角度結(jié)果趨勢(shì)圖

由圖可知，雷達(dá)罩長(zhǎng)度60之后，4條數(shù)據(jù)線都超過了70°，故此雷達(dá)罩沒達(dá)到要求。整個(gè)計(jì)算過程所需時(shí)間如圖10所示，t_end=8.3118s。

圖10 最終計(jì)算時(shí)間

2.4 誤差分析

因?yàn)槌跏键c(diǎn)與擬合點(diǎn)的差異，誤差必然是存在的。經(jīng)初步分析，如果初始點(diǎn)與擬合點(diǎn)距離越大，數(shù)據(jù)點(diǎn)所覆蓋的雷達(dá)罩跨度越短，允許的角度上限α越小， 那么誤差越大。令k=1，則誤差在允許范圍內(nèi)。 誤差分析見圖11。

圖11 誤差分析圖

3 結(jié)語

對(duì)型號(hào)雷達(dá)罩進(jìn)行初始數(shù)據(jù)錄入后，再對(duì)機(jī)載天線與雷達(dá)罩的射線入射角進(jìn)行計(jì)算分析。該方法具有普遍性，幾乎對(duì)所有型號(hào)教練機(jī)的雷達(dá)罩都能適用；而且還具有快速性，對(duì)于大量的成批數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)導(dǎo)入，圖形、誤差分析，到最終結(jié)果一目了然只需短短8.3秒就能完成；同時(shí)還具有實(shí)用性，雷達(dá)罩價(jià)格昂貴，將該方法應(yīng)用于檢測(cè)性能環(huán)節(jié)上，可以有效判斷其性能是否符合指標(biāo)，減少?gòu)U品率，從而節(jié)約成本，有效控制了機(jī)載雷達(dá)罩的選擇，保證了飛機(jī)質(zhì)量。以后還可以作進(jìn)一步的改進(jìn)，如提供友好的人機(jī)交互界面、完整的數(shù)據(jù)輸入和圖形顯示，以方便用戶的使用，提高工作效率；或者通過后臺(tái)編程，把此功能直接嵌入到CATIA中，讓用戶在使用CATIA分析飛機(jī)雷達(dá)參數(shù)時(shí)直接得到所需結(jié)果；使誤差分析更準(zhǔn)確或者將誤差降至更低。

[1]萬國(guó)賓，趙惠玲.機(jī)載天線與天線罩的設(shè)計(jì)與電磁特性分析.制造業(yè)自動(dòng)化，2009.

[2]陳杰.MATLAB寶典,2007.1.