唐曉明，錢玉萍，陳雪蓮

中國(guó)石油大學(xué)（華東）地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，青島 266555

1 引 言

描述在實(shí)際巖石中傳播的彈性波理論一直是地球物理學(xué)研究的重要課題，實(shí)際巖石中往往是既含孔隙又含裂隙，這對(duì)彈性波傳播產(chǎn)生重大影響.綜合經(jīng)典的Biot孔隙介質(zhì)彈性波理論和O′Connell和Budiansky［1］的裂隙彈性力學(xué)，及 Thomsen［2］的低頻的孔、裂隙介質(zhì)相恰理論，唐［3］最近提出了“含孔隙、裂隙介質(zhì)彈性波動(dòng)理論”并進(jìn)一步將其完善［4］.相對(duì)于經(jīng)典的Biot理論，新的理論增加了裂隙密度和裂隙縱橫比這兩個(gè)描述裂隙介質(zhì)的重要參數(shù).該理論能很好地解釋波在實(shí)際巖石中的衰減和頻散，并被用來(lái)模擬孔、裂隙地層中的井孔聲場(chǎng)［5］和解釋致密性砂巖和頁(yè)巖地層聲波測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)中的油氣顯示［4］.本文的目的在于運(yùn)用該理論來(lái)模擬和解釋實(shí)驗(yàn)室壓力條件下彈性波的超聲測(cè)量數(shù)據(jù)，并由此來(lái)估計(jì)巖石中裂隙密度和裂隙縱橫比這兩個(gè)重要參數(shù)及其隨壓力的變化.

孔隙、裂隙介質(zhì)彈性波動(dòng)理論中描述的裂隙的尺度很小，與巖石顆粒的尺度相當(dāng).用縱橫比這個(gè)參數(shù)來(lái)度量，把巖石顆粒中縱向與橫向尺度差別不超過(guò)一個(gè)數(shù)量級(jí)，或縱橫比約等于1的空間稱為孔隙，而把縱橫比遠(yuǎn)小于1的空間稱為裂隙.相對(duì)于孔隙而言，形狀狹小而扁平的裂隙在外力（如彈性波動(dòng)）作用下很容易變形，把其中的流體擠入相鄰的孔隙，這種局部的流體流動(dòng)稱為擠噴流［3］，是造成彈性波衰減和頻散的重要原因.顯然，控制擠噴流發(fā)生的時(shí)間尺度（稱為弛豫時(shí)間）是裂隙的縱橫比，而控制擠噴流效應(yīng)的大小的重要參數(shù)是巖石中的裂隙密度.此外，裂隙密度還直接影響巖石的彈性模量，這種影響在Thomsen［2］的理論中有很好的描述，并被包括在孔隙、裂隙彈性波理論之中.

由于該理論中巖石的裂隙對(duì)彈性波速具有靈敏度很高的控制作用，可以將此理論用來(lái)預(yù)測(cè)和模擬裂隙變化條件下的彈性波速測(cè)量數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)室中所做的巖石超聲彈性波速隨壓力的變化曲線提供了所需的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).巖石受壓時(shí)，狹長(zhǎng)和扁平的裂隙首先閉合，造成裂隙尺度（或縱橫比）的減少和裂隙密度的降低.與此相應(yīng)，測(cè)得的縱、橫波速度隨著壓力的增加而上升.相比而言，縱橫比約等于1的孔隙在壓力作用下很少變化，作為近似，可以認(rèn)為這類孔隙的孔隙度是不隨壓力變化的［6］，故隨著壓力增加及縱橫比很小的裂隙閉合后，彈性波速的增加趨緩，甚至不再變化，這一點(diǎn)可以從以下實(shí)際數(shù)據(jù)中看到.

上述的巖石波速隨壓力的變化曲線由裂隙彈性理論得到了很好的模擬和解釋［7－8］.值得一提的是，Cheng［7］用 Kuster ＆ Toks?z［9］裂隙彈性理論模擬了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)并反演了巖石的裂隙參數(shù).然而，對(duì)于本文所述的孔隙、裂隙彈性波動(dòng)理論而言，我們更加關(guān)心的是該理論是否能很好地模擬這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).理論對(duì)實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)的成功應(yīng)用不但為該理論提供了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，而且還提供了一種確定巖石裂隙參數(shù)的實(shí)驗(yàn)室測(cè)量和計(jì)算方法.

2 實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)的反演和理論模擬

在實(shí)驗(yàn)室可控條件下測(cè)得的干燥和飽和巖石彈性波速（即縱、橫波速）隨壓力的變化為驗(yàn)證上述的“孔隙、裂隙彈性波理論”提供了所需的數(shù)據(jù)，這是因?yàn)椴ㄋ俚淖兓苯臃从沉藥r石中裂隙的數(shù)量（由裂隙密度控制）和裂隙結(jié)構(gòu)（由裂隙縱橫比控制）隨壓力的變化.根據(jù)理論中的裂隙與波速的函數(shù)關(guān)系可以從波速測(cè)量數(shù)據(jù)中反演出裂隙的參數(shù)，反過(guò)來(lái)又可以將裂隙參數(shù)代入理論公式來(lái)模擬和預(yù)測(cè)波速隨壓力的變化.

我們將采用幾套已發(fā)表的巖石波速隨壓力變化的經(jīng)典實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)［6，10］，其中有孔隙度幾乎為零的Troy花崗巖石，也有孔隙度較高的Berea砂巖（φ＝0.178），以及孔隙度很小的Westerly花崗巖的縱橫波速度的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，來(lái)驗(yàn)證孔隙、裂隙彈性波理論的正確性和適用性.有關(guān)這幾種巖石的實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算參數(shù)在表1中列出.

表1 Troy花崗巖、Westerly花崗巖和Berea砂巖的理論模型參數(shù)Table 1 Model parameters of Troy granite，Westerly granite and Berea sandstone

2.1 靈敏度分析

孔隙、裂隙彈性波理論的推導(dǎo)見唐［3］和Tang等［4］.為討論方便起見，我們將該理論的主要結(jié)果放在附錄中.由附錄中的討論可知，該理論計(jì)算所得的巖石縱橫波速度受以下參數(shù)的影響：孔隙度、裂隙密度、裂隙縱橫比、孔隙流體和巖石基質(zhì)的體模量Kf和Ks、巖石基質(zhì)的剪切模量μs以及彈性波的頻率.

要從聲速測(cè)量數(shù)據(jù)反演巖石的彈性模量及裂隙參數(shù)，必須考慮理論模型中波速對(duì)這些參數(shù)的靈敏度，對(duì)模型中的某一參數(shù)p，其靈敏度的定義為：

其中，波速V可以是縱波或橫波的速度.一般而言，波速對(duì)基質(zhì)彈性模量Ks和μs，以及裂隙密度的靈敏度是較高的，因?yàn)檫@些參數(shù)直接影響彈性波速度，但對(duì)于裂隙縱橫比這一參數(shù)，卻取決于縱橫比的取值范圍、波速測(cè)量所用頻率及巖石處于飽和或干燥狀態(tài).

根據(jù)附錄中的理論及前述的討論可知，裂隙縱橫比控制了裂隙流體向孔隙擠噴的弛豫時(shí)間（或頻率）.如果測(cè)量的頻率范圍在此弛豫頻率附近，則波速對(duì)裂隙縱橫比有較大靈敏度，否則，靈敏度會(huì)很低甚至消失.

以Troy花崗巖為例，圖1a和圖1b計(jì)算了Troy花崗巖縱波速度分別對(duì)縱橫比和裂隙密度在0～10000kHz頻率范圍內(nèi)的靈敏度曲線.靈敏度的絕對(duì)值的大小說(shuō)明波速對(duì)此參數(shù)是否靈敏，而靈敏度的符號(hào)說(shuō)明波速隨此參數(shù)增加（靈敏度為正值）還是降低（靈敏度為負(fù)值）.

從圖1a可以看到，對(duì)Troy花崗巖，若縱橫比的取值為0.01，當(dāng)裂隙密度取值為0.1時(shí)，對(duì)裂隙縱橫比的靈敏度在2%左右，當(dāng)裂隙密度達(dá)到0.2，它在實(shí)驗(yàn)室給定的超聲測(cè)量頻率下（～500kHz）對(duì)縱橫比靈敏度增加，大約為8%左右.相比之下，對(duì)于裂隙縱橫比的取值為0.001時(shí)，無(wú)論裂隙密度是0.1還是0.2，在500kHz的超聲測(cè)量頻率下對(duì)裂隙縱橫比的靈敏度都很小，不超過(guò)2%.

類似地，以同樣方式分析縱波速度對(duì)裂隙密度的靈敏度，見圖1b.若裂隙密度的取值為0.1，當(dāng)裂隙縱橫比取值為0.01時(shí)，對(duì)裂隙密度的靈敏度在10%左右，當(dāng)裂隙縱橫比為0.001，它在實(shí)驗(yàn)室給定的測(cè)量頻率下（～500kHz）對(duì)裂隙密度靈敏度大約為5%左右.相比之下，對(duì)于裂隙密度的取值為0.2時(shí)，無(wú)論裂隙縱橫比是0.01還是0.001，在500kHz的超聲測(cè)量頻率下對(duì)裂隙密度的靈敏度都很大，超過(guò)10%，甚至達(dá)到20%.可以看到對(duì)裂隙密度的靈敏度明顯要大于對(duì)裂隙縱橫比的靈敏度.

同樣根據(jù)以上對(duì)圖1a所做的靈敏度分析可知，在裂隙密度大幅度減少后巖石波速對(duì)縱橫比靈敏度變得很低，所以當(dāng)在壓力增加到很大時(shí)（裂隙密度會(huì)降低），將造成對(duì)裂隙縱橫比的反演結(jié)果可靠性降低，而對(duì)裂隙密度的靈敏度一般是較高的，可以有效地反演出裂隙密度.

2.2 反演方法

對(duì)孔隙、裂隙彈性介質(zhì)波動(dòng)理論的模型參數(shù)（如裂隙密度等）進(jìn)行反演是通過(guò)用理論公式對(duì)實(shí)驗(yàn)室測(cè)量數(shù)據(jù)做最小二乘擬合得到的.對(duì)同一巖石樣品在干燥和流體飽和狀態(tài)下分別測(cè)量波速隨壓力的變化.在壓力加載范圍內(nèi)進(jìn)行N次測(cè)量，測(cè)得的干燥和飽和巖石的縱、橫波速分別為和理論和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合所得的均方誤差即可作為反演所需的目標(biāo)函數(shù)，如下所示.

其中，Ks和μs分別為巖石基質(zhì)的體模量和剪切模量，εi（i＝1，2，…，N）和γi（i＝1，2，…，N）分別為從1到N個(gè)壓力點(diǎn)下待求的裂隙密度和裂隙縱橫比.式（1）中計(jì)算理論波速的參數(shù)Kf為巖石中流體的體模量，在實(shí)驗(yàn)中是已知的.計(jì)算干燥巖石的理論波速時(shí)，取Kf＝0.調(diào)節(jié)各個(gè)參數(shù)使式（1）中的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值時(shí)所得的參數(shù)值便取為模型的參數(shù)值.反演所需的理論模型，即縱、橫波速的正演計(jì)算，由附錄所述的孔隙、裂隙彈性波理論公式給出.理論模型的計(jì)算參數(shù)例子見表1.式（1）所表示的反演是－多參數(shù)的反演過(guò)程.對(duì)N個(gè)壓力測(cè)量點(diǎn)的縱、橫波速度數(shù)據(jù)，共有2N＋2個(gè)未知參數(shù)待求，反演的目標(biāo)函數(shù)（1）也可能存在多個(gè)極小值.為解決這個(gè)問(wèn)題，我們采用了求全局極小值的GA最優(yōu)化方法［11］.通過(guò)求目標(biāo)函數(shù)的全局極小值來(lái)減少反演結(jié)果的非唯一性.經(jīng)過(guò)反演得到模型參數(shù)后，再代入理論模型，模擬出不同壓力下縱橫波速度的值.模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的符合程度可以用來(lái)檢驗(yàn)理論的正確性和適用性.

圖2 Berea砂巖的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的反演和理論模擬（a）干燥和水飽和條件下Berea砂巖的縱橫波速度數(shù)據(jù)與理論擬合結(jié)果；（b）Berea砂巖縱橫波速度數(shù)據(jù)反演得到的裂隙密度值；（c）Berea砂巖縱橫波速度數(shù)據(jù)反演得到的裂隙縱橫比.Fig.2 Theoretical inversion of crack parameters using Berea sandstone laboratory velocity data（a）Inversion－fitting between theoretical（curves）and the laboratory（markers）velocities of Berea sandstone under dry（open circles）and water－saturated（solid dots）conditions；（b）Crack density versus pressure from inverting the laboratory data；（c）Aspect ratio versus pressure by inverting the laboratory data.

2.3 應(yīng)用舉例

我們首先用以上方法處理博伊西砂巖（Berea sandstone）在0～100MPa壓力區(qū)間測(cè)得的干燥和水飽和狀態(tài)下的縱橫波速度數(shù)據(jù).這種砂巖的物性特征是高孔高滲，孔隙度為17.8%，滲透率為200×10－3μm2（見表1）.圖2a的測(cè)量數(shù)據(jù)顯示，無(wú)論是干燥和飽和，彈性波速隨壓力的增加均有所上升，低壓時(shí)上升較快.圖2b是反演得到的裂隙密度隨壓力的變化，從反演結(jié)果可以看出，隨著壓力的增加，裂隙密度明顯地降低，而從圖2c中可以看到，裂隙縱橫比卻隨壓力增加而呈現(xiàn)上升趨勢(shì).二者的變化在低壓時(shí)最為顯著.這說(shuō)明巖石受壓時(shí)，狹長(zhǎng)和扁平的裂隙首先閉合，從而造成了裂隙尺度（或縱橫比）的減少和裂隙密度的降低.（這一物理現(xiàn)象在下述的低孔的花崗巖的數(shù)據(jù)處理結(jié)果中表現(xiàn)的尤為突出.）反演得到的巖石基質(zhì)的體積和剪切模量分別為40.67 GPa和35.27GPa.將這些反演結(jié)果用于縱橫波的理論計(jì)算得出圖中的干燥和水飽和狀態(tài)下縱橫波速度隨壓力的變化曲線，該曲線與實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)吻合得相當(dāng)好.這一吻合說(shuō)明孔隙、裂隙彈性波理論對(duì)于實(shí)驗(yàn)室條件下測(cè)量的超聲頻率范圍內(nèi)的巖石彈性波速也是適用的.從實(shí)驗(yàn)與理論的吻合及反演的裂隙密度隨壓力增加而下降的趨勢(shì)，說(shuō)明了彈性波速度隨著壓力增加而上升是由于巖石中裂隙在外力作用下的閉合造成的這一物理事實(shí).

圖3a是特洛伊花崗巖（Troy granite），在0～100MPa的壓力下，測(cè)得的干燥和水飽和狀態(tài)下縱橫波速度數(shù)據(jù)（星狀和實(shí)心圓點(diǎn)），以及相應(yīng)的理論擬合數(shù)據(jù)（曲線）.值得注意的是，該巖石非常致密，孔隙度僅有0.2%.圖3b是反演得到的裂隙密度隨壓力的變化，反演結(jié)果表明裂隙密度在低壓下較高，達(dá)到0.22，這意味著該巖石在未加壓力時(shí)，微裂隙比較發(fā)育，隨著壓力增加，裂隙密度大幅度減少達(dá)一個(gè)量級(jí)，由此對(duì)應(yīng)的是彈性波速隨著壓力增加而顯著上升.根據(jù)圖1a所做的靈敏度分析可知，在給定頻率下，當(dāng)裂隙密度一定，縱橫比很小或裂隙密度大幅度減少后巖石波速對(duì)縱橫比靈敏度很低.我們可以在圖3c中看到反演出的裂隙縱橫比在低壓時(shí)的變化很不穩(wěn)定，這正是由于低壓時(shí)的微裂隙縱橫比很小，導(dǎo)致速度對(duì)其靈敏度很低，從而造成反演結(jié)果的不可靠；而高壓時(shí)，裂隙密度已經(jīng)降到很小，導(dǎo)致速度對(duì)縱橫比的靈敏度也降低，因此也造成了反演結(jié)果的不可靠，如圖3c中的虛線所表示的（與理論分析相悖的）下降趨勢(shì)所示.反演所得到的巖石基質(zhì)的體模量和剪切模量分別為75GPa和37GPa.由這些參數(shù)和反演的裂隙密度數(shù)據(jù)代入附錄中的理論公式，計(jì)算得出的縱橫波速度與壓力變化曲線，與實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)吻合得很好（見圖3a），這說(shuō)明孔隙、裂隙波動(dòng)理論對(duì)致密性巖石的超聲波速測(cè)量也是適用的.

圖3 Troy花崗巖的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的反演和理論模擬（a）干燥和水飽和條件下Troy花崗巖的縱橫波速度數(shù)據(jù)與理論擬合結(jié)果；（b）Troy花崗巖縱橫波速度數(shù)據(jù)反演得到的裂隙密度值；（c）Troy花崗巖的縱橫波速度數(shù)據(jù)反演得到的裂隙縱橫比.Fig.3 Theoretical inversion of crack parameters using Troy granite laboratory velocity data（a）Inversion－fitting between theoretical（curves）and the laboratory（markers）velocities of Troy granite under dry（open circles）and water－saturated（solid dots）conditions；（b）Crack density versus pressure from inverting the laboratory data；（c）Aspect ratio versus pressure by inverting the laboratory data.

圖4 Westerly花崗巖的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的反演和理論模擬（a）干燥和苯飽和條件下Westerly花崗巖的縱橫波速度數(shù)據(jù)與理論擬合結(jié)果；（b）Westerly花崗巖縱橫波速度數(shù)據(jù)反演得到的裂隙密度值；（c）Westerly花崗巖的縱橫波速度數(shù)據(jù)反演得到的裂隙縱橫比.Fig.4 Theoretical inversion of crack parameters using Westerly granite laboratory velocity data（a）Inversion－fitting between theoretical（curves）and the laboratory（markers）velocities of Westerly granite under dry（open circles）and benzene－saturated（solid dots）conditions；（b）Crack density versus pressure from inverting the laboratory data；（c）Aspect ratio versus pressure by inverting the laboratory data.

前面兩組巖石都是用水飽和與干燥條件下的數(shù)據(jù)聯(lián)合反演裂隙密度、縱橫比及基質(zhì)模量，下面是利用Westerly花崗巖的干燥和苯飽和條件下的縱橫波速度數(shù)據(jù)聯(lián)合反演裂隙密度、縱橫比和基質(zhì)模量.該巖石也很致密，孔隙度僅有0.8%.相關(guān)參數(shù)仍見表1.反演結(jié)果如圖4b和4c所示.反演結(jié)果表明裂隙密度隨壓力增加而降低，而裂隙縱橫比呈上升趨勢(shì)，二者的變化趨勢(shì)比Troy花崗巖要緩慢些.這意味著該巖石在所加壓力范圍內(nèi)，微裂隙還未完全壓實(shí)，由此對(duì)應(yīng)的彈性波速在高壓下還有緩慢增加趨勢(shì).反演得到的體模量和剪切模量分別為66.7GPa和38.3GPa，將這些反演結(jié)果用于縱橫波的理論計(jì)算得出圖中的干燥和苯飽和狀態(tài)下縱橫波速度隨壓力的變化曲線，該曲線與實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)吻合相當(dāng)好（見圖4a）.

2.4 討 論

將孔隙、裂隙彈性波理論應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)室壓力條件下的超聲波速測(cè)量數(shù)據(jù)，我們看到了巖石中裂隙對(duì)彈性波速的巨大影響，特別對(duì)非常致密的低孔巖石，更是如此；同時(shí)還看到由于裂隙的存在，使得巖石的聲學(xué)響應(yīng)在干燥和飽和狀態(tài)下有著較大的差別，即存在相當(dāng)?shù)牧黧w敏感性或靈敏度，這種流體靈敏度已被用來(lái)解釋致密油氣儲(chǔ)層中的聲波測(cè)井?dāng)?shù)據(jù)［4］.理論與對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的反演結(jié)果表明，無(wú)論對(duì)高孔砂巖還是致密性低孔巖石，該理論均能較好地描述干燥和飽和狀態(tài)下巖石的聲學(xué)響應(yīng).

由于裂隙對(duì)巖石彈性響應(yīng)產(chǎn)生的重大影響及流體靈敏度，根據(jù)本文及大量實(shí)驗(yàn)室和野外測(cè)量數(shù)據(jù)的結(jié)果，我們提出應(yīng)當(dāng)將巖石的裂隙參數(shù)，如裂隙密度和裂隙縱橫比（特別是前者）作為重要的巖石物性參數(shù).對(duì)于致密性巖石，這一物性參數(shù)（即裂隙密度）的作用，有時(shí)比孔隙度更為重要.本文所述的理論和反演方法為在常規(guī)巖石物理實(shí)驗(yàn)條件下確定這一巖石物性參數(shù)提供了一種方法.

3 結(jié) 語(yǔ)

巖石中普遍存在的裂隙不僅對(duì)巖石的彈性響應(yīng)產(chǎn)生重大的影響，而且使這種響應(yīng)具有可觀的流體靈敏度.將孔隙、裂隙介質(zhì)的彈性波動(dòng)理論應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)室的超聲波速測(cè)量數(shù)據(jù)，我們看到，這種影響由介質(zhì)兩個(gè)重要的參數(shù)所控制，即裂隙密度和裂隙縱橫比.鑒于裂隙的重要影響，我們提出，除了巖石的孔隙度外，應(yīng)當(dāng)將巖石裂隙參數(shù)，特別是裂隙密度，作為一個(gè)重要的物性參數(shù)，對(duì)于致密性的低孔巖石這一物性參數(shù)尤為重要.本文的結(jié)果表明：孔隙、裂隙介質(zhì)彈性波動(dòng)理論對(duì)實(shí)驗(yàn)室條件下的超聲波速測(cè)量數(shù)據(jù)也是適用的，可以用來(lái)從實(shí)驗(yàn)室數(shù)據(jù)中反演得到巖石的裂隙參數(shù)，從而為確定這一物性參數(shù)提供了一種行之有效的方法.

附 錄

唐［3］和 Tang等［4］提出了在孔隙、裂隙并存條件下計(jì)算彈性波速和衰減的理論和方法，在這種介質(zhì)中的快慢縱波和橫波波數(shù)由（A1）式給出：

其中，下標(biāo)P和S分別表示縱波和橫波，＋號(hào)和－號(hào)分別表示快、慢縱波，

其中，ω為角頻率，

式中的動(dòng)態(tài)滲透率κ為：

其中，κ0為達(dá)西滲透率，τ為介質(zhì)孔隙彎曲度，η為流體黏度.）

其中，μ和Kd分別為介質(zhì)的剪切和干燥體模量，φ是孔隙度，ρf和Kf分別為流體密度和體模量；ρs和Ks分別為巖石骨架的密度和體模量.

上述理論公式為經(jīng)典Biot孔隙彈性波動(dòng)理論的結(jié)果，裂隙的存在對(duì)上述理論有三個(gè)重要修正，其一是產(chǎn)生了孔隙與裂隙之間的擠噴流，由下述的擠噴流項(xiàng)來(lái)表征：

裂隙的存在將大大降低巖石的模量.在Biot相恰理論中描述了這種影響［2］，并可以從Biot相恰理論中求解得到.第三個(gè)修正是對(duì)頻率有依賴性的剪切模量，局部擠噴效應(yīng)造成明顯的頻散，這一頻散體現(xiàn)在流體飽和時(shí)的體積模量K因擠噴流效應(yīng)變化到頻率域中.對(duì)于擠噴流機(jī)制，Mavko和Jizba［12］證明了介質(zhì)剪切模量的頻散可以從體積模量的頻散推導(dǎo)出來(lái)，公式如下：

其中μ0和K0取為介質(zhì)中不存在擠噴流時(shí)（即S（ω）＝0）的模量.對(duì)頻率有依賴性的μ可以代入公式（A1）中來(lái)計(jì)算橫波波數(shù).隨頻率變化的速度由（A8）式計(jì)算：

其中，k為公式（A1）中任一種波的波數(shù)，Re｛｝k為復(fù)波數(shù)的實(shí)部.上述理論中有關(guān)參數(shù)的例子參見表1.

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