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        怎樣解答“三數(shù)”問題

        2013-09-29 10:11:50高峰
        關(guān)鍵詞:年收入易錯(cuò)平均數(shù)

        高峰

        平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)可以從不同的角度描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì),在實(shí)際問題中有著廣泛的運(yùn)用,是中考的熱點(diǎn). 有關(guān)“三數(shù)”問題涉及的背景廣泛,題型眾多,其中關(guān)于如何選用統(tǒng)計(jì)量來說理是其中的一個(gè)熱點(diǎn).下面分類舉例,供大家參考.

        例1 (2012年湖北黃岡) 為了全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)、生活及家庭的基本情況,加強(qiáng)學(xué)校與家庭的聯(lián)系,梅燦中學(xué)積極組織全體教師開展“課外訪萬(wàn)家活動(dòng)”,王老師對(duì)所在班級(jí)的全體學(xué)生進(jìn)行實(shí)地家訪,了解到每名學(xué)生家庭的相關(guān)信息,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取15名學(xué)生家庭的年收入情況,數(shù)據(jù)如下表:

        (1)求這15名學(xué)生家庭年收入的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù);(2)你認(rèn)為用(1)中的哪個(gè)數(shù)據(jù)來代表這15 名學(xué)生家庭年收入的一般水平較為合適?請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由.

        解析:(1) x=(2×1+2.5×3+3×5+4×2+5×2+9×1+13×1)÷15=4.3萬(wàn)元. 中位數(shù)3萬(wàn)元. 眾數(shù)3萬(wàn)元.

        (2)中位數(shù)或眾數(shù). 雖然平均數(shù)為4.3萬(wàn)元,但年收入達(dá)到4.3萬(wàn)元的家庭只有4個(gè),大部分家庭的年收入末達(dá)到這一水平,而中位數(shù)或眾數(shù)3萬(wàn)元是大部分家庭可以達(dá)到的水平,因此用中位數(shù)或眾數(shù)較為合適.

        點(diǎn)評(píng):本題比較靈活地考查了一組數(shù)據(jù)中的“三數(shù)”(中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù))的意義及三者之間的關(guān)系.正確解題的關(guān)鍵是深刻理解中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)的意義,而不只是簡(jiǎn)單地計(jì)算.

        例2 (2012年內(nèi)蒙古呼和浩特)如圖1是交警在一個(gè)路口統(tǒng)計(jì)的某個(gè)時(shí)段來往車輛的車速情況(單位:千米/時(shí)):

        圖1

        (1)找出該樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);

        (2)計(jì)算這些車的平均速度;(結(jié)果精確到0.1)

        (3)若某車以50.5千米/時(shí)的速度經(jīng)過該路口,能否說該車的速度要比一半以上車的速度快?并說明判斷的理由.

        解析:(1)從條形圖中可知共有27個(gè)數(shù)據(jù),其中52的個(gè)數(shù)最多,中位數(shù)是第14個(gè)數(shù),所以該樣本的數(shù)據(jù)的眾數(shù)為52,中位數(shù)為52;

        (2)平均速度為

        ≈52.4千米/時(shí);

        (3)不能.因?yàn)橛桑?)知該樣本的中位數(shù)為52,所以可以估計(jì)該路段的車輛大約有一半的車速要快于52千米/時(shí),有一半的車速要慢于52千米/時(shí),該車的速度是50.5千米/時(shí),小于52千米/時(shí),不是中位數(shù),所以不能說該車的速度要比一半以上車的速度快.

        點(diǎn)評(píng):本題考查了眾數(shù)的概念和中位數(shù)的概念,并求出這些數(shù)據(jù)的平均數(shù). 通過中位數(shù)52,來判斷一個(gè)數(shù)是在前一半數(shù)據(jù)中還是在后一半數(shù)據(jù)中,此題告訴我們不但要會(huì)求,還要深刻理解它們的意義.

        例3 (2012年江西) 我們約定:如果身高在選定標(biāo)準(zhǔn)的±2%范圍之內(nèi)都稱為“普通身高”.為了解某校九年級(jí)男生中具有“普通身高”的人數(shù),我們從該校九年級(jí)男生中隨機(jī)選出10名男生,測(cè)量出他們的身高(單位:cm),收集并整理如下統(tǒng)計(jì)表:

        根據(jù)以上表格信息解決如下問題:

        (1)計(jì)算這組數(shù)據(jù)的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量:平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù);

        (2)請(qǐng)你選擇其中一個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為選定標(biāo)準(zhǔn),并按此選定標(biāo)準(zhǔn)找出這10名男生具有“普通身高”的男生是哪幾位?并說明理由;

        (3)若該年級(jí)共有280名男生,按(2)中選定標(biāo)準(zhǔn)請(qǐng)你估算出該年級(jí)男生中具有“普通身高”的人數(shù)約有多少名?

        解析:(1)求統(tǒng)計(jì)中的“三數(shù)”,將10個(gè)數(shù)相加的和,再除以這組數(shù)的個(gè)數(shù),就是這組數(shù)的平均數(shù),即平均數(shù)為

        =166.4(cm);

        對(duì)這10個(gè)數(shù)排序后,中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù),即中位數(shù)為=165 (cm);而出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)164就是眾數(shù);

        (2)“三數(shù)”都可以選擇,分析“三數(shù)”的特點(diǎn),算出其±2%的范圍,從而得出三種不同類型的答案.

        選平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn):

        身高x滿足:166.4×(1-2%)≤x≤166.4×(1+2%),即163.072≤x≤169.728時(shí)為“普通身高”,此時(shí)⑦⑧⑨⑩男生的身高具有“普通身高”.

        選中位數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn):

        身高x滿足: 165×(1-2%)≤x≤165×(1+2%) ,即161.7≤x≤168.3時(shí)為“普通身高”,此時(shí)①⑦⑧⑩男生的身高具有“普通身高”.

        選眾數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn):

        身高x 滿足: 164×(1-2%)≤x≤164×(1+2%), 即160.72≤x≤167.28時(shí)為“普通身高”,此時(shí)①⑤⑦⑧⑩男生的身高具有“普通身高”.

        (3)根據(jù)(2)中的選定標(biāo)準(zhǔn),分別算出這10名男生中具有“普通身高”所占總數(shù)的百分比,再乘總數(shù)280即可.

        以平均數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn),估計(jì)全年級(jí)男生中具有“普通身高”的人數(shù)約為 280×=112(人);

        以中位數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn),估計(jì)全年級(jí)男生中具有“普通身高”的人數(shù)約為280×=112 (人).

        以眾數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn),估計(jì)全年級(jí)男生中具有“普通身高”的人數(shù)約為280×=140 (人).

        點(diǎn)評(píng):這是一道統(tǒng)計(jì)題,涉及兩類知識(shí)點(diǎn):對(duì)“平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)”三個(gè)概念的理解,以及對(duì)“用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想”的應(yīng)用.計(jì)算量不大,但設(shè)置了兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn):1.審題易錯(cuò)點(diǎn):如何理解“在選定標(biāo)準(zhǔn)的±2%的范圍之內(nèi)”;2.計(jì)算易錯(cuò)點(diǎn):排序后才能進(jìn)行中位數(shù)的計(jì)算.還設(shè)置了一個(gè)亮點(diǎn):“請(qǐng)你選定其中一個(gè)統(tǒng)計(jì)量作為選定標(biāo)準(zhǔn)”,給了學(xué)生充分的思維空間,選定哪一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)更合適、更不容易出錯(cuò),值得同學(xué)們作出選擇,題目新穎,但難度不大.

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