姚 濤，蘇慶堂，闕大順

(1.魯東大學信息與電氣工程學院，山東 煙臺 264025；2.武漢理工大學信息學院，武漢 430063)

1 概述

隨著數(shù)字多媒體技術的發(fā)展，數(shù)字水印技術被認為是解決版權問題的一種有效方式[1]。圖像水印的相關研究成果已經很多，但大多集中在灰度圖像水印技術。計算機技術、通信技術和多媒體技術的發(fā)展使得在實際應用中彩色圖像占據(jù)了主導地位，而關于這方面的研究成果卻很少，其中比較典型的算法[2-4]有：

(1)單通道法：根據(jù)人眼對RGB顏色模型中藍色分量變化不敏感的特性，通過修改彩色圖像的藍色分量值或對其變換到變換域，在變換域中嵌入水印信息；或把彩色圖像由 RGB顏色模型變換到 YUV或YCbCr顏色模型，然后在人眼不敏感的亮度分量中嵌入水印。這類算法保證了水印的不可見性，但是嵌入的水印信息量較少。

(2)多通道法：對彩色圖像R、G、B 3個分量分別做離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)、離散余弦變換(Discrete Cosine Transform,DCT)、離散小波變換(Discrete Wavelet Transform,DWT)和 Contourlet變換后，把水印信息嵌入到頻域系數(shù)中[5-6]。雖然這類算法可以把水印擴展到整幅圖像中，但還是把像素的各個分量分離了，沒有考慮到像素各個分量之間的聯(lián)系，而且算法需要對彩色圖像的各分量分別做變換和嵌入，計算量較大。

四元數(shù)理論在圖像處理、人工智能、計算機視覺、模式識別等領域有著廣泛的應用[7-10]。近年來，四元數(shù)理論在彩色圖像處理方面的應用尤為突出。四元數(shù)分為實部和虛部兩部分，其中，虛部又分為i、j、k 3個部分，可以使彩色圖像的 R、G、B 3個分量作為這3個虛部分量，而四元數(shù)的實部為0。此時進行基于四元數(shù)的離散傅里葉變換，算法始終將彩色像素作為一個整體來處理，在具有良好的不易感知性的同時，也保證了算法的魯棒性。

本文提出一種基于四元數(shù)理論的雙彩色圖像水印算法，通過對彩色宿主圖像和水印圖像分別進行離散四元數(shù)傅里葉變換(Discrete Quaternion Fourier Transform, DQFT)得到其頻譜，并置亂水印圖像頻譜系數(shù)，然后根據(jù)DQFT的特性，選擇適當?shù)念l域系數(shù)進行彩色水印圖像的嵌入。

2 四元數(shù)

四元數(shù)可以看成是復數(shù)的推廣，它包括1個實部和3個虛部，也稱為超復數(shù)，可視為特殊的clif-ford代數(shù)，近年來在圖像處理中得到廣泛的應用。

一個四元數(shù)可表示為：

其中， a0r,a1, a2,a3∈R；3個虛數(shù)i、j、k滿足：

四元數(shù)q還可用幅值和相位表示為：

一幅大小為 M×N的 RGB彩色圖像 f( m, n),m ∈ [0,M ? 1], n ∈ [0,N ? 1]用四元數(shù)表示為：

其中，實部 fr(m, n) =0；fi( m, n)為R分量；fj(m, n)為G分量；fk(m, n)為B分量。

由式(2)可以看出，四元數(shù)的乘法不滿足交換律。因此，圖像處理中常用的離散傅里葉變換的四元數(shù)有3種定義形式[11]：

(1)雙邊變換

(2)左邊變換

(3)右邊變換

四元數(shù)傅里葉變換中需要2個獨立的iμ，且計算量明顯大于單邊DQFT，迄今為止還沒有數(shù)據(jù)表明這2類變換的優(yōu)劣，因此，本文算法采用左變換來實現(xiàn)。

左邊變換對應的逆變換定義為[12]：

其中，μ為單位向量；(u, v)和(m, n)分別為頻域和時域中的坐標。

這里把 f( m, n)稱為空間域，F(xiàn)( u, v)稱為頻率域，F(xiàn)( u, v)也是一個四元數(shù)，可表示為：

3 水印圖像預處理

混沌序列是一種偽隨機序列，具有各態(tài)歷經性、非周期性、寬頻譜性等特點，所以，用它加密的信息很難破譯，能大大提高算法的安全性。混沌序列易生成，對初始條件敏感，初值產生很小的變化即會產生完全不同的混沌序列。因此，混沌被廣泛應用于信息的置亂、加密和隱藏領域。

常見的Logistic混沌序列具有以下優(yōu)點：

(1)序列的統(tǒng)計特性等同于白噪聲。

(2)只需要混沌映射參數(shù)和初始條件就可重現(xiàn)混沌序列，因此，不必浪費空間存儲整個混沌序列。

(3)利用混沌系統(tǒng)對初始條件的敏感特性，可獲得數(shù)量很多的混沌序列。

(4)幾乎不可能從有限長數(shù)據(jù)中推斷出混沌序列的初始條件，因此，無法解密，而這對信息安全非常重要。

4 嵌入及提取算法

4.1 嵌入算法

水印的嵌入過程分為以下3步：

(1)分別選取合適的參數(shù) μ對 I（ x, y） 和 W（ m , n）做DQFT變換，得I( u, v)和W( u, v)。

(2)利用混沌序列分別對水印圖像變換后的低頻、中頻和高頻系數(shù)做置亂處理，得到置亂后的系數(shù)W′( u, v)。

(3)在頻域 I（ u, v） 中嵌入W′( u, v)，為了減小嵌入強度對透明度的影響，在嵌入水印時采用脈沖編碼調制(Pulse Code Modulation, PCM)中的方法實現(xiàn)系數(shù)的量化。

嵌入過程如下：

首先利用量化的方法對W′( u, v)系數(shù)進行 8位量化編碼，再把編碼每個量化后的8位系數(shù)分為4組，每組 2位(為了描述方便，記為 bibj)。在低頻系數(shù)、中頻系數(shù)和高頻系數(shù)中選擇合適的頻域系數(shù)分別嵌入水印的低頻系數(shù)、中頻系數(shù)和高頻系數(shù)的4組編碼數(shù)據(jù)，把載體圖像頻域 I（ u, v）系數(shù)C量化到最近的數(shù)值。具體算法如下：

其中，Q可根據(jù)低頻、中頻和高頻系數(shù)的大小分別取不同的量化值，由此得到嵌入水印后圖像的頻域I′（u, v） 。

(4)對 I′（u, v）做反 DQFT變換得到的空域圖像I′（x, y） 即為嵌入水印后的圖像 I ′（x, y） 。

4.2 提取算法

提取算法為嵌入算法的逆過程，如圖1所示。

圖1 水印提取過程

5 實驗結果與分析

本文利用Matlab7.0進行仿真實驗。原始載體圖像為 512×512像素的彩色 Lena圖，如圖 2(a)所示，水印圖像為 64×64像素的彩色 baboon圖，如圖 2(b)所示，參數(shù)Q=16，嵌入水印后的圖像如圖2(c)所示。無攻擊時提取水印圖像，實驗結果如圖2(d)所示。

實驗中采用峰值信噪比PSNR來定量分析算法的性能，PSNR定義如下：

其中，X是原始載體圖像；Xw是嵌入水印后的圖像；MSE是均方誤差計算公式：

其中，M、N分別是圖像的高和寬。PSNR值越大，說明隱藏信息的透明性越好。

本文采用歸一化相似度NC定量評價算法的魯棒性，NC的定義如下：

其中，Q值分別取低頻、中頻和高頻系數(shù)分量均值的0.06倍、0.08倍和 0.12倍，嵌入水印的圖像的PSNR=38.025 3，無攻擊時提取水印的NC=0.999 8。

攻擊測試實驗結果如表1所示。從中可以看出，本算法可以在各頻率分量自適應地嵌入水印，在低頻分量嵌入水印的低頻分量，在保證算法不可見性的同時，提高了算法的魯棒性。低頻分量集中了圖像的大部分能量，在此嵌入水印，魯棒性較高，所以，本文算法嵌入水印圖像的低頻分量，提高了算法的魯棒性。而中頻分量和低頻分量能量相對較少，嵌入強度加大，也提高了算法的魯棒性。因此，與傳統(tǒng)水印算法相比，本文算法嵌入容量較大，并且在保證不可見性的同時，對常見的攻擊具有較強的魯棒性。

表1 提取水印實驗結果

6 結束語

本文提出一種基于離散四元數(shù)傅里葉變換的雙彩色圖像數(shù)字水印算法。首先對彩色宿主圖像和水印圖像分別進行離散四元數(shù)傅里葉變換得到其頻譜，然后利用3個互不相關的混沌序列分別對水印頻域進行置亂，最后通過選擇適當?shù)念l域系數(shù)，實現(xiàn)彩色水印圖像的嵌入。實驗結果證明，該算法在保證水印透明性的同時，具有較強的魯棒性。另外，提取算法的版權水印時不需要原始載體圖像，因此，屬于盲水印技術。

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