章堅武，陳曉燕，許曉榮

（杭州電子科技大學(xué)通信工程學(xué)院 杭州 310018）

1 引言

隨著無線通信需求的不斷增長，當(dāng)前固定的頻譜分配政策已不能滿足人們的需求，因此提出了認知無線電（cognitive radio，CR）技術(shù)，從時間和空間上充分利用空閑的頻譜資源，從而有效提高頻譜資源的利用率[1]。認知節(jié)點可以在不影響主用戶 （primary user，PU）正常使用的情況下，通過頻譜感知檢測出當(dāng)前無線環(huán)境中被授權(quán)系統(tǒng)的閑置頻譜資源，并按照某種機會方式接入空閑頻段內(nèi)進行工作。目前，認知無線電的研究內(nèi)容[2]包括頻譜感知、頻譜分析、頻譜決策、頻譜共享以及頻譜移動性管理。其中，頻譜感知是CR的最主要任務(wù)，是實現(xiàn)頻譜管理、頻譜共享的前提。

傳統(tǒng)的Nyquist采樣定理要求信號采樣率不小于兩倍信號帶寬[3]，這顯然對相應(yīng)的硬件設(shè)備提出了很高的要求。在認知無線電系統(tǒng)中，為了能夠感知到頻譜空穴，對認知用戶（cognitive user，CU）的終端設(shè)備提出了高要求，需要采用高分辨率、高采樣率的模數(shù)轉(zhuǎn)換器 （analog to digital converter，ADC）[4]、多個模擬前端電路以及高速信號處理器。由此可見，傳統(tǒng)的Nyquist采樣定理成為寬帶認知無線電發(fā)展的一大障礙。2004年，Donoho與Candes等人提出了壓縮感知（compressed sensing，CS）理論，它指出：如果某長度為N的信號是稀疏的，或在某個變換域上是稀疏的（即信號可以用一組基線性表示，且在該基上僅有K（K≤N）個非零系數(shù)），那么就可以將變換所得的高維信號投影到一組測量向量上得到測量值，該測量值維數(shù)M遠小于信號維數(shù)N，從而實現(xiàn)信號由高維到低維的轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)變的實質(zhì)是利用一個與變換基不相關(guān)的觀測矩陣，最后利用優(yōu)化求解的方法從少量的投影中以高概率恢復(fù)原始信號。在壓縮感知的基礎(chǔ)上，Baron D等人提出了分布式壓縮感知（distributed compress sensing，DCS）理論[5]，該理論建立在信號集合 “聯(lián)合稀疏模型 （joint sparsity model，JSM）”的基礎(chǔ)上，將單信號的壓縮采樣擴展到信號群的壓縮采樣，利用信號內(nèi)部結(jié)構(gòu)和信號間的相關(guān)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)多個信號的聯(lián)合重構(gòu)。

CS理論已深入多個領(lǐng)域，如天文、圖像處理、雷達探測[6]等，當(dāng)然也包括無線通信系統(tǒng)，由于CR系統(tǒng)中頻譜信道的占用情況是稀疏的，可以進行基于CS理論的認知無線電寬帶壓縮頻譜感知[7]。目前，國內(nèi)外對于寬帶壓縮頻譜感知已有較多的研究。參考文獻[8]詳細介紹了3種單用戶頻譜感知算法，分別為匹配濾波器檢測、能量檢測和循環(huán)平穩(wěn)特征檢測，并對這3種算法的適用范圍、優(yōu)缺點進行了比較。然而，信號在實際傳輸過程中會受到多徑衰落、陰影效應(yīng)、噪聲不確定等因素的影響，從而制約單用戶頻譜感知的檢測性能。參考文獻[9]分析了CS在頻譜感知應(yīng)用中的檢測和估計問題，并且給出了檢測概率和虛警概率的計算表達式，同時指出多用戶協(xié)作感知能夠克服單用戶在認知無線電寬帶頻譜感知過程中可能出現(xiàn)的檢測錯誤問題。結(jié)果表明，多用戶參與的頻譜協(xié)作感知可以提高系統(tǒng)的頻譜檢測能力，但復(fù)雜度則會隨著參與協(xié)作的認知用戶數(shù)的增多而上升。

將DCS理論運用于多用戶協(xié)作頻譜感知中，稱為分布式壓縮頻譜感知 （distributed compress spectrum sensing，DCSS），信號的重建算法是DCSS一個至關(guān)重要的環(huán)節(jié)。目前，重構(gòu)算法主要有凸松弛法和貪婪匹配追蹤算法。貪婪匹配追蹤算法是目前應(yīng)用范圍廣泛的算法，其中的OMP算法則是主流算法之一，OMP算法需要通過迭代計算測量矩陣Φ中所有原子與信號r的內(nèi)積，找到內(nèi)積絕對值最大的原子，重建算法的耗時與信號的長度、稀疏度以及認知用戶的數(shù)量都有著密切的關(guān)系[10]。因此在DCSS環(huán)境中，當(dāng)信號長度很長、認知用戶數(shù)量過多時，信號的重構(gòu)過程會變長，從而影響頻譜感知的實時性。

因此，尋找既能精確地重構(gòu)出原始信號，又能體現(xiàn)頻譜感知實時性的重構(gòu)算法是DCSS需要考慮的問題。在實際的認知無線網(wǎng)絡(luò)中，由于頻譜的占用情況變化比較緩慢，即當(dāng)前感知周期起始時刻，主用戶占用頻譜情況與前一感知周期頻譜占用情況相比未發(fā)生明顯變化，只是主用戶的發(fā)送功率發(fā)生了改變。根據(jù)這個實際情況，本文提出了一種改進的基于DCS的多用戶協(xié)作頻譜感知算法，該算法是在OMP重構(gòu)算法基礎(chǔ)上進行的改進，在本文中稱為DCS-MOMP（distributed compress sensing-modified orthogonal matching pursuit）算法。該算法的實質(zhì)是：當(dāng)前一個感知周期內(nèi)的頻譜占用情況與主用戶占用頻譜不發(fā)生變化或變化緩慢的前提下，利用前一個感知時刻的頻譜位置減少重構(gòu)計算量，從而減小重構(gòu)時間。

2 系統(tǒng)模型

2.1 壓縮感知

壓縮感知是一種在對信號進行采樣的同時進行壓縮的理論，該理論能夠從少量的數(shù)據(jù)信號中提取出原始信息，CS理論的框架如圖1所示。

圖1 CS理論的框架

由圖1可見，CS理論的核心內(nèi)容可以概括為3部分：信號的稀疏表示、觀測矩陣的設(shè)計和重構(gòu)算法的設(shè)計。

假設(shè)離散實值信號X的長度為N，X可以是稀疏的，也可以用一組正交基矩陣 ΨT=[ψ1,ψ2,ψN]線性表示（ΨT表示Ψ的轉(zhuǎn)置），則有：

其中，鄣是 N×1矩陣，Ψ 是 N×N 矩陣，若系數(shù)集合{αi}中僅有K（K≤N）個非零（或遠大于0）的系數(shù)，則Ψ為信號X的稀疏基或稱X是K稀疏的。

在測量過程中，將信號X投影到一組測量矩陣Φ上，得到測量值Y，從而實現(xiàn)了信號從高維到低維的轉(zhuǎn)換，矩陣表達式為：

其中，X是N×1矩陣，y=[y1,y2,ym]T是M×1觀測向量，其元素為 ym=；Φ=[φ1,φ2,…,φm]是一個 M×N（M≤N）測量矩陣，Θ=ΦΨ是壓縮感知矩陣。由于測量值維數(shù)M遠小于信號維數(shù)N，要從低維信號中恢復(fù)出高維信號是一個NP難問題，但鄣是K稀疏的，即僅有K個非零系數(shù)，且K

RIP準則的一個等價約束是：要求測量矩陣Φ與稀疏矩陣Ψ不相關(guān)。

當(dāng)式（2）中的矩陣Φ滿足RIP準則，即滿足式（3）所要求的不等式時，CS理論就能從式（2）中求解出稀疏系數(shù)，再代入式（1）中恢復(fù)出原始信號，解碼的最直接方法就是利用l0范數(shù)求解式（2）：

由于求解式（4）是一個NP難問題，需要轉(zhuǎn)化為l1范數(shù)凸優(yōu)化問題才能求解，即：

典型的最小l1范數(shù)凸優(yōu)化重構(gòu)算法有BP（凸松弛）法、GPSR（貪婪匹配追蹤）算法等。由于凸松弛法具有計算復(fù)雜度高的缺點，貪婪匹配追蹤算法逐漸成為重構(gòu)算法的主流，如OMP、CoSaMP等算法都是典型的貪婪匹配追蹤算法。

2.2 分布式壓縮頻譜感知

在CS理論的基礎(chǔ)上，Baron D等人提出了DCS理論，建立在信號集合JSM[11]的基礎(chǔ)上，該聯(lián)合稀疏模型可以分為兩種，分別為 JSM-1、JSM-2。

假設(shè)一個信號群有 J個信號，用 Xj，j=1，2，…，J表示，這些信號在同一個稀疏基Ψ下是稀疏的，但不同信號的觀測矩陣Φ互不相同，如信號Xj所對應(yīng)的觀測矩陣為Φj。

（1）JSM-1

在JSM-1中，每個信號由兩部分組成，分別為信號的公共部分和特有部分，表示為：

其中，Zc表示信號的公共部分，即各個信號相同的分量，在同一個稀疏基下有相同的稀疏度K，如式 （7）所示；Zj表示信號的特有部分，即各個信號所特有的分量，在稀疏基下的稀疏度是不同的，如式（8）所示。因此，在JSM-1中，信號群擁有相同的稀疏基，但在該稀疏基下的稀疏度是不同的，為K+Kj。

（2）JSM-2

在JSM-2中，信號群中的每個信號只有公共部分，即在同一個稀疏基Ψ下的稀疏度都為K，只是系數(shù)aj不同，表示為：

JSM-2的一個典型應(yīng)用場景是認知無線電寬帶頻譜感知。在認知無線網(wǎng)絡(luò)中，處于空間上不同位置的認知用戶同時感知主用戶發(fā)射的信號，由于感知信號傳輸路徑不同，這些信號的衰減和相移均不相同，但它們的稀疏度是一致的。另外，JSM-2的一個有效應(yīng)用是MIMO系統(tǒng)。

本文通過引入JSM-2，提出了基于DCS的多用戶協(xié)作頻譜感知方法，其特點為：利用空間的宏集合彌補了單用戶在頻譜感知過程中由信號傳輸時的多徑衰落、陰影效應(yīng)、噪聲不確定等因素引起的檢測錯誤問題，并且要求各認知用戶不必對壓縮采樣信號進行重構(gòu)，而是直接將壓縮采樣數(shù)據(jù)發(fā)送給控制中心，由控制中心對數(shù)據(jù)進行聯(lián)合重構(gòu)，進而做出全局判決，這大大降低了各認知用戶在頻譜感知過程中壓縮采樣、信號重構(gòu)、局部判決所帶來的功耗與時延問題?；贒CS的多用戶協(xié)作頻譜感知原理如圖2所示。

圖2 基于DCS的多用戶協(xié)作頻譜感知原理

假設(shè)認知無線電網(wǎng)絡(luò)中進行頻譜感知的認知用戶數(shù)為 J，第i個認知用戶感知到的信號為 xi，其長度為N，yi是長度為 M的測量向量，Ψi是稀疏基，Φi是觀測矩陣，i=1，2，…，J。基于 DCS的多用戶協(xié)作頻譜感知算法步驟如下。

（1）主用戶發(fā)射信號，各次用戶對所感知的信號xi根據(jù)式（1）、式（2）進行壓縮采樣，得到各自的測量向量yi，i=1，2，…，J。

（2）各認知用戶直接將采樣數(shù)據(jù)yi發(fā)送給控制中心。

（3）控制中心根據(jù)DCS重構(gòu)算法對所接收到的采樣數(shù)據(jù)集合Y={y1，y2，…,yJ}進行聯(lián)合重構(gòu)，得到聯(lián)合重構(gòu)信號集合 X={x1，x2，…,xJ}。

（4）利用能量檢測方法進行頻譜感知，最終得到全局判決結(jié)果。

該算法可以精確地恢復(fù)出原始的信號，并且從上述算法的步驟（3）中可以看出，重構(gòu)算法是DCSS算法的關(guān)鍵步驟，也是復(fù)雜度最高的步驟。在實際的認知無線網(wǎng)絡(luò)中，由于頻譜的占用情況變化比較緩慢，而且大多數(shù)情況下連續(xù)若干時間內(nèi)頻譜占用情況不發(fā)生改變，利用這個實際情況，對OMP算法進行改進，把上一感知時刻的頻譜占用情況作為先驗條件，從而可以大大減小重構(gòu)復(fù)雜度，特別適合于多用戶協(xié)作頻譜感知環(huán)境。

3 MOMP分布式協(xié)作重構(gòu)算法

3.1 算法理論

本文提出的DCS-MOMP算法的基本思想是：在當(dāng)前感知周期起始時刻，主用戶所占用頻譜情況與前一感知周期頻譜占用情況相比沒有發(fā)生變化的情況下，利用相鄰感知時刻頻譜占用情況不變的假設(shè)，將采用MOMP進行重構(gòu)的信號與原信號進行比較，得出重構(gòu)信號誤差，用于判斷頻譜占用情況是否改變，若在誤差門限范圍內(nèi)，則認為信道占用情況未改變，運用DCS-MOMP算法，否則利用DCS-OMP算法對信號進行重構(gòu)。該算法用于多用戶協(xié)作頻譜感知中，不僅可以精確地恢復(fù)原始信號，還可以減小信號重構(gòu)時的計算量，從而減少計算復(fù)雜度，提高頻譜感知的實時性。

3.2 算法具體步驟

假設(shè)上一感知時刻的頻譜占用情況已知，用b表示一個長度為C的0-1序列，C為信道個數(shù)，0表示信道未被占用，1表示信道被占用，b（c）表示第 c個信道的占用情況c=1，2，…，C，J個認知用戶同時進行頻譜感知。

輸入：稀疏基Ψ，觀測矩陣Φj，第j個認知用戶的壓縮采樣矩陣 Θj=ΦjΨj，測量向量 yj，稀疏度 K。

通過式（10）確定最大值所對應(yīng)的角標(biāo)pos。

（2）利用式（11）更新索引集：

同時把壓縮采樣矩陣的第pos列置0，即Θpos=0。

（3）更新支撐集，記錄角標(biāo)pos的位置：

（4）根據(jù)最小二乘法計算頻域稀疏向量，其中（）+表示偽逆運算，a|Ω表示a中由Ω內(nèi)元素指定的位置上的元素：

（5）更新殘差：

（6）若|Λ_itj|≥K，其中|·|表示集合中元素的個數(shù)，則迭代停止，進入下一步；否則，l=l+1，回到步驟（1）。

（7）計算重構(gòu)信號：

（8）計算重構(gòu)信號誤差：

如果e小于給定的誤差門限值ε，則說明上一時刻頻譜占用情況與當(dāng)前時刻相同，可以利用DCS-MOMP算法達到重構(gòu)效果，同時減少重構(gòu)復(fù)雜度；反之，則說明頻譜信道占用情況發(fā)生改變，則采用DCS-OMP算法。

3.3 算法計算復(fù)雜度

上述算法中，尋找最大值角標(biāo)位置是基于前一感知時刻的頻點位置，因此可以減小頻譜位置的搜索范圍，從而減小重構(gòu)計算復(fù)雜度。

假設(shè)信號的采樣點數(shù)為N，壓縮采樣點數(shù)為M(M<

而DCS-MOMP算法利用了前一次感知時刻的頻譜占用情況，每次迭代只需在K個頻點上計算。在DCS-MOMP算法中，外層循環(huán)次數(shù)仍然為K，但在第（1）步中只是在上一感知時刻頻點上進行運算，即每個認知用戶的Θj的給定列（上一感知時刻頻點的位置）與第i-1(1≤i≤K)次迭代的殘差相乘，因此DCS-MOMP算法在第（1）步中的計算復(fù)雜度為 2M×N×K×J次乘法、M×K×K×J次加法、2M×K×K×J次復(fù)乘運算。

因此，對兩種算法的復(fù)雜度進行比較可知，DCS-MOMP計算量分別減少了 2M×(N-K)×K×J次乘法、M×(N-K)×K×J次加法、2M×(N-K)×K×J次復(fù)乘運算，明顯減少了計算復(fù)雜度，從而大大減少了系統(tǒng)能耗。

4 仿真與結(jié)果分析

假設(shè)信道為高斯白噪聲，目標(biāo)總帶寬為100 MHz，等分為C=50個信道，采樣點數(shù)為N=500，則每個子帶的采樣點數(shù)為W=N/C=10。設(shè)前一時刻被占用的子帶數(shù)為I=2，則稀疏度為I×W=20，設(shè)T和T+1時刻為相鄰的感知時刻。在T時刻，信噪比SNR=10 dB、認知用戶數(shù)J=2、壓縮比為M/N=0.2時，信號的功率譜、頻譜以及信道的占用情況如圖3所示。在T+1時刻，DCS-OMP和DCS-MOMP算法對信號進行重構(gòu)所得到的重構(gòu)頻譜和感知信道的占用情況分別如圖4、圖5所示。

圖3 在T時刻，信號的功率譜、頻譜與信道占用情況（J=2，SNR=10 dB，M/N=0.2）

圖4 在T+1時刻，DCS-OMP算法重構(gòu)的信號頻譜與信道占用情況（J=2，SNR=10 dB，M/N=0.2）

圖5 在T+1時刻，DCS-MOMP算法重構(gòu)的信號頻譜與信道占用情況（J=2，SNR=10 dB，M/N=0.2）

如圖5所示，T時刻和T+1時刻為兩個相鄰感知時刻，兩個時刻信道占用情況沒有發(fā)生改變。比較圖4和圖5可以看出，在T+1時刻，DCS-OMP和DCS-MOMP均可以精確地重構(gòu)出信號，得到正確的信道占用情況，運用DCS-OMP算法所得的重構(gòu)頻譜誤差為0.112 582，運用DCS-MOMP算法所得的重構(gòu)頻譜誤差為0.129 502；運用DCS-OMP算法進行重構(gòu)的耗時為7.542 s，而運用DCS-MOMP算法進行重構(gòu)的耗時為5.451 s。因此，當(dāng)信噪比SNR=10 dB、認知用戶J=2、壓縮比M/N=0.2時，運用DCS-MOMP算法進行重構(gòu)的耗時較DCS-OMP算法少，這是因為改進算法只是在上一時刻的感知頻點上進行信號重構(gòu)，節(jié)省了在整個頻譜范圍內(nèi)尋找最大值所對應(yīng)的頻點位置所需的大量計算。

為了能夠充分顯示DCS-MOMP算法重構(gòu)節(jié)約計算量的特點，本文將DCS-OMP和DCS-MOMP算法的重構(gòu)耗時進行了比較。信號長度N=1 000、信噪比SNR=20時，稀疏度與耗時的關(guān)系如圖6所示，對于不同認知用戶數(shù)（J=2、J=5）進行了100次（蒙特卡洛）仿真。

圖6 對于認知用戶數(shù)與不同稀疏度時的耗時比較

由圖6可知，在不同認知用戶數(shù)（J=2、J=5）下，隨著稀疏度K的增大，兩種算法的耗時也隨之增大。當(dāng)稀疏度較小時，DCS-MOMP算法耗時要小于DCS-OMP算法，且當(dāng)認知用戶較多（J=5）時，兩種算法的重構(gòu)耗時差距更為明顯。但隨著稀疏度的逐漸增大，兩種算法的耗時差距逐漸變小。因此，當(dāng)信號稀疏度較小且認知用戶數(shù)較多時，DCS-MOMP算法優(yōu)勢明顯。

當(dāng)信噪比SNR=20、稀疏度K=40時，信號長度與耗時之間的關(guān)系如圖7所示。對不同認知用戶數(shù)（J=2、J=5）進行了100次（蒙特卡洛）仿真。

圖7 不同認知用戶數(shù)與不同信號長度時的耗時比較

由圖7可知，在認知用戶數(shù)不同時，隨著信號長度的增大，兩種算法耗時均增大，DCS-MOMP算法增長幅度較為緩慢，DCS-OMP上升幅度則較大，且在認知用戶數(shù)為5時，兩種算法的耗時差距更為明顯。即在信號稀疏度較小且協(xié)作用戶數(shù)較多的情況下，DCS-MOMP算法優(yōu)勢明顯。

當(dāng)信號長度N=500、稀疏度K=20時，不同信噪比與重構(gòu)信號頻譜誤差之間的關(guān)系如圖8所示。針對不同認知用戶數(shù)（J=2、J=5）進行了 100 次（蒙特卡洛）仿真。

由圖8可知，隨著信噪比的增大，兩種算法的重構(gòu)信號頻譜誤差均逐漸減小，但在相同的信噪比下，DCS-MOMP算法的重構(gòu)信號頻譜誤差高于DCS-OMP算法，但隨著信噪比的增大，誤差的差異逐漸減小。即DCS-MOMP算法重構(gòu)誤差較DCS-OMP重構(gòu)誤差大，但在信噪比較高的情況下，誤差不斷趨近于DCS-OMP算法，這是因為在多用戶協(xié)作頻譜感知環(huán)境中，DCS-MOMP算法以增大重構(gòu)誤差為代價減小重構(gòu)復(fù)雜度。

圖8 不同認知用戶數(shù)與不同信噪比下重構(gòu)信號頻譜誤差比較

根據(jù)以上性能分析可知，本文提出的DCS-MOMP算法適用于在噪聲影響較小的多用戶協(xié)作認知無線網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中（即認知用戶數(shù)J較多的場景中）。

5 結(jié)束語

多用戶協(xié)作頻譜感知技術(shù)利用空間的宏集合彌補了單用戶頻譜感知過程中的檢測錯誤問題，但在信號重構(gòu)過程中增加了計算量。在實際的認知無線電系統(tǒng)中，頻譜占用情況變化緩慢，即當(dāng)前感知時刻頻譜占用情況和上一感知時刻頻譜占用情況基本一致。本文以此為前提，提出了一種改進的基于DCS的DCS-MOMP，該方法利用上一感知時刻的頻點，大大減小了在確定最大值所對應(yīng)的頻譜位置時的計算量。仿真結(jié)果表明，DCS-MOMP算法更適用于多用戶協(xié)作認知無線網(wǎng)絡(luò)場景中，不僅可以得到與原DCS-OMP算法相同的重構(gòu)性能，而且明顯減小了重構(gòu)復(fù)雜度。

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