王 樂 ,王竹剛,熊蔚明

(1.中國科學院 空間科學與應用研究中心,北京 100190;2.中國科學院 研究生院,北京100190)

1 引 言

由于深空通信距離遠,信號到達接收端時已十分微弱,對通信系統(tǒng)的捕獲是一個巨大的挑戰(zhàn),且深空通信的信號具有多普勒動態(tài)范圍大、變化率高等特點,更是增大了捕獲的難度。隨著數字中頻接收機硬件處理能力的提高,星上設備可以主動捕獲載波。目前主動捕獲方式有兩種:一種通過鎖頻環(huán),將頻率牽引至鎖相環(huán)的捕獲帶寬內;另一種是通過FFT估計頻率,并導入鎖相環(huán)完成捕獲。在深空環(huán)境下,信噪比較低,FFT本身是頻率的最大似然估計的離散實現形式[1],具有最佳的抗噪性能。文獻[2]中,NASA利用FFT加上自適應濾波,已經應用于實際的火星任務中。

FFT存在頻率估計值離散、截斷頻譜泄露等問題,影響了估計的精度,使得頻率的精細估計成為了頻率估計算法研究的重要領域。文獻[3-4]對目前較為常見的基于FFT頻率精細估計算法進行了介紹和比較。根據精確估計所利用的信息,筆者將這些算法可分為兩大類:一類是利用FFT輸出的幅度信息,另一類是利用FFT輸出的實部信息。Rife-Jane方法[5]利用幅度最大譜線以及其兩邊的譜線估計頻率,該方法的特點是插值算法簡單,易于實現,但在有噪聲情況下由于兩邊譜線的錯誤,將會使得噪聲頻率插值方向相反,引起較大的頻率估計誤差。Grandke方法[6]在Rife-Jane方法基礎上增加Hanning窗,使主瓣變寬,主瓣出現多條譜線,使得位于最大值兩側的譜線更易區(qū)分,更好地克服了插值方向錯誤的問題,極大地提高了估計精度。Voglewede方法的基本思想是利用FFT輸出的峰值以及相鄰的兩個頻點的幅值,擬合出一條二次曲線逼近原插值函數,然后通過求二次函數即拋物線的最大值求解精確頻率。文獻[7]給出了Vogelede方法的原理,并以方形窗函數和升余弦的帶限信號作為驗證。由于算法本身是通過曲線的二次曲線擬合,估計誤差較大,在有噪聲的情況下估計精度不高。三線幅度法[8]利用FFT最大輸出譜線兩邊的譜線幅度進行頻偏估計,具有較高的抗噪性能,在無噪情況下對頻偏達到無偏的擬合效果,算法結構簡單,實現簡便。需要注意的是,當無頻偏時,即FFT的粗估計輸出恰好為實際估計頻率時,兩條邊頻的值較小,受噪聲影響較大,導致估計性能下降。以上幾種方法均屬于第一類。Quinn方法是利用FFT輸出的次大頻點和最大頻點復數值之比進行頻率插值的方法[9]。Jacobsen方法和Voglewede方法結構上相似,都是搜索幅度最大值和相鄰的兩個頻點。Jacobsen方法利用的是3個頻點復輸出的實部進行頻偏的插值估計。文獻[10]通過對FFT的輸出表達式做泰勒級數展開,給出了Jacobsen方法的理論依據,并對原方法進行了誤差校正。Jacobsen對原方法也進行了深入的研究,通過仿真分析了不同窗函數下的Jacobsen方法的性能表現,歸納出了各種窗函數下對估計算法的系數修正,進一步提高了估計的精度。Quinn方法和Jacobsen方法均屬于第二類,第二類方法抗噪性能都要優(yōu)于第一類。

本文在現有的FFT載波捕獲基礎上,通過FFT峰值輸出的瞬時相位表達式,推導了頻率精確估計的最大似然算法,并提出了可行的實現結構。在突發(fā)數據通信模式下,精確的頻率估計結果可以直接用于后續(xù)解調電路,以達到快速捕獲的目的[8]。

2 FFT頻偏δ的最大似然估計

對于正弦波信號s(n)=Acos(wn+φ),其頻率w和φ的估計是非線性估計。考慮在加性白噪聲信道中,兩個參數的最大似然估計分別為[1]

其中:

由上式可以看出,相位的最大似然估計值恰好是離散傅里葉變換的相位值。

對于殘留載波信號和數據輔助下的抑制載波信號,其捕獲的對象都可以等效為單音信號,其解析表達式為

式中,A為信號幅度,wd為載波多普勒頻偏,φ為初始相位,q(n)為復加性高斯白噪聲序列。不考慮噪聲項,對采樣到的2N的信號做N點FFT,得到兩組結果X1(k)和 X2(k),其表達式為

其中,

由式(2)可得

所以

利用FFT對實際頻率估計是帶有估計誤差 δ,所以

其中,k0是最大譜線的頻點。

代回式(9)得

可得

從算法的表達式可以看出,FFT輸出的最大譜線的相位包含 δ的信息。根據最大似然估計泛函不變性,若 θ是θ的最大似然估計,那么 α=g(θ)的最大似然估計是=g( θ)[11]。由此可得,式(11)是δ的最大似然估計。

FFT輸出實部和虛部的概率分布均滿足高斯分布,兩者的和差及比值仍屬于對稱分布。FFT的幅度值由于進行了平方運算,其平方的分布是非中心的χ2分布,屬于非對稱分布。在低信噪比下,一次FFT的輸出結果往往不能直接作為頻率估計的結果,而是要進行一定量的非相關累積。對于對稱分布,多次累積的結果不會改變其期望,而且隨著累積次數的增加其方差呈平方次衰減。對于非對稱分布,期望值與多次累積的次數相關,從而使得累積后的結果出現偏差,同時方差也無改善。本文算法的估計量為對稱分布,通過多次累積,能夠進一步提高估計精度。

3 最大似然算法模型

算法主要由兩部分組成,首先是利用有限點數的FFT對頻率的粗估計,然后是頻率的精細估計。整個頻率估計算法的實現結構如圖1所示。

圖1 最大似然算法模型Fig.1 Block diagram of the proposed algorithm

經過FFT獲得最大頻點值的復輸出。上采樣主要用于解決當實際的 δ靠近0.5時,在有噪聲時其相位漸變性差的問題。角度解算利用反正切函數實現,其輸出的波形在無噪聲下是鋸齒波,相位差的輸出在鋸齒波跳變沿處出現沖激,使得估計值偏離了實際值,如圖2所示。

圖2 相位及相位差輸出波形Fig.2 Waveforms comparison between phase and phase difference

相位卷繞保證了角度分布在[-π,π],相位卷繞方法如下式所示:

積分清洗使得輸出估計值平滑,并保證了FFT原有的輸出帶寬。

4 算法性能比較

仿真中采用FFT點數 N為1024,累加數據L為16。文獻[3-4]利用仿真證明了性能最優(yōu)的估計算法Jacobsen算法。在文獻[8]中的三線法也具有較高的精度。下面用本文的方法和Jacobsen方法以及三線法進行比較。理論性能下界為[12]

本文算法與三線法、Jacobsen方法的估計性能比較如圖3所示。

圖3 本文算法與三線法、Jacobsen方法性能比較Fig.3 Performance comparison between three-line algorithm,Jacobsen algorithm and the proposed algorithm

由圖3可以看出,本文算法在性能上有較好的表現,在相同的信噪比下,優(yōu)于三線幅度法和Jacobsen方法,接近理論CRB。同時,三線幅度法所利用的邊譜線在頻偏為0時幅值較小,所以受噪聲的影響較大,在各信噪比下,估計誤差也較大。

在極低信噪比下,算法性能隨著數據累加數的提高變化曲線由圖4所示。

圖4 本文算法隨數據長度增加性能變化曲線Fig.4 Performance versus length of data

由圖4可以看出,本文隨著數據累加長度的增加,估計精度有所改善,這也是對結果進行非相關累加的結果。在信噪比為-25 dB的情況下,增加非相關累加長度不能達到有效抑制噪聲的效果。

利用Matlab中的System Generator工具搭建本算法的硬件仿真模型,其中使用Cordic模塊實現相角計算。Cordic算法模塊在實現arctan函數的運算時,迭代次數i決定了Cordic算法對arctan函數的逼近程度,i的值越大,相應逼近程度越高。圖5給出了不同迭代次數下的算法實現與理論模型下的算法性能比較。

圖5 算法硬件實現與浮點仿真模型的性能比較Fig.5 Performance comparison between fixed-point implemenation model and float-point model(approximately ideal)

從圖5可以看出,算法在迭代次數 i為8時,性能與浮點精度仿真模型已經非常接近。隨著迭代次數的下降,性能也隨之下降。應根據不同應用背景和硬件平臺的狀況,選擇合適的迭代次數。

5 結束語

基于FFT的頻率估計算法是經典的估計課題,在克服FFT截斷所引起的泄露及離散估計值的精細估計算法也有諸多的研究方向。本文在查閱了基于FFT頻率精確估計算法相關文獻的基礎上,分析了影響估計性能的兩個設計方面。首先,對于頻偏估計尚未給出最大似然估計表達式,即各類算法的設計并未以最大似然估計的求解為出發(fā)點;其次,估計算法的分布為對稱分布時的抗噪性能要優(yōu)于非對稱分布。鑒于以上兩個方面,作者通過相位信息的最大似然估計表達式,推導出頻偏估計值,且估計結果為對稱分布。仿真結果證明,在高信噪比和低信噪比下均有良好的性能。

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