邢 雅， 侯 喆， 楊宇琦， 李洪杰

(西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，陜西西安710049)

0 引言

隨著城市電網(wǎng)的不斷發(fā)展，交聯(lián)聚乙烯(XLPE)電力電纜在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用越來越普及。為了保證電纜長期可靠、經(jīng)濟地運行，采用精確的方法計算電纜的溫度分布以及載流量是非常重要的。目前，35 kV等級以上的電力電纜基本都安裝了電纜溫度在線監(jiān)測系統(tǒng)，重要線路的高壓和超高壓電纜已沿線安裝了分布式光纖溫度測量系統(tǒng)(DTS)，采用DTS可以實時沿線監(jiān)測電纜表面溫度［1-2］。電纜的載流量取決于導(dǎo)體的最高持續(xù)運行溫度。計算電纜載流量主要有兩種方法:一種是基于國際電工委員會IEC 60287標(biāo)準(zhǔn)的熱路分析法［3-5］;另外一種是數(shù)值計算方法，常用的數(shù)值計算方法有邊界元法、有限差分法、有限容積法及有限元法［6-11］。鑒于有限元法能夠方便地應(yīng)對各種復(fù)雜的電纜敷設(shè)環(huán)境和邊界條件，本文采用有限元法，結(jié)合實時負荷和DTS所測電纜表面溫度間接對電纜的瞬態(tài)溫度場進行分析計算。

目前，有相當(dāng)多的文獻使用有限元方法已經(jīng)對XLPE電纜的載流量進行了研究，很多的計算研究是基于大型通用有限元軟件的［12-14］，如 ANSYS，COMSOL Multiphysics等。然而，通用有限元軟件對于導(dǎo)體負荷及電纜表面溫度實時變化的瞬態(tài)溫度場的計算具有局限性?？紤]到自主編制場域剖分程序較為復(fù)雜，本文利用通用有限元軟件ANSYS對計算場域進行自動劃分，提取得到的單元與節(jié)點的相關(guān)信息，利用有限元法的基本原理，自主編制有限元的計算程序，分析計算了單芯電纜的瞬態(tài)溫度場。

為了驗證計算結(jié)果的正確性，對一根單芯110 kV 1×630 mm2XLPE電纜開展了試驗研究。試驗結(jié)果表明，自主編制的有限元計算程序結(jié)果與試驗結(jié)果基本一致，驗證了該方法的準(zhǔn)確性，最后對兩者差異的原因進行了分析。

1 瞬態(tài)溫度場有限元計算原理

電纜的瞬態(tài)溫度場屬于二維導(dǎo)熱問題，并且考慮熱容的影響。對于具有內(nèi)熱源的區(qū)域，溫度控制方程為:

式中，x，y為空間坐標(biāo)(m);T為瞬態(tài)溫度(K);ρ為相應(yīng)材料的密度(kg/m3);cp為比熱容(J/kg/K);k為熱導(dǎo)率(W/m/K);t為時間(s);qv為產(chǎn)熱率(W/m3)，對于無內(nèi)熱源的區(qū)域，qv值為0。

為了得到固體導(dǎo)熱偏微分方程的唯一解及電纜瞬態(tài)溫度場，必須附加邊界條件和初始條件，統(tǒng)稱為定解條件，與微分方程聯(lián)立求解，邊界條件有三種，第一類邊界條件為邊界上的溫度為已知

第二類邊界條件為已知邊界法向的熱流密度

式中，q為熱流密度(W/m2)。

第三類邊界條件為對流邊界條件，已知對流換熱系數(shù)和環(huán)境溫度

式中，α為對流換熱系數(shù)(W/m2/K);Tf為環(huán)境溫度(K)。

導(dǎo)熱區(qū)域任意點(x，y)的初始條件為:

溫度場有限元法的計算基本方程可以從泛函變分求得，也可從微分方程出發(fā)用加權(quán)余量法求得，在加權(quán)余量法中，Galerkin法應(yīng)用更為廣泛。如果區(qū)域D劃分為E個單元和n個結(jié)點，則溫度場T(t，x，y)離散為T1，T2，…Tn等n個結(jié)點的待定溫度值，利用Galerkin法推導(dǎo)出單元內(nèi)的有限元基本方程［15］

式中，權(quán)函數(shù) Wl= T/Tl，上下角標(biāo) e 表示單元，i，j，m是單元的局部結(jié)點號，也就是三角形單元的三個頂點。下標(biāo)l的定義具有雙重性，在D中它代表整體結(jié)點號，而在e中它代表局部結(jié)點號。每個單元的局部結(jié)點號與整體結(jié)點號之間都有嚴(yán)格的對應(yīng)關(guān)系，作為單元信息的一部分編碼在需要輸入的原始數(shù)據(jù)中。

對整個區(qū)域合成整體的代數(shù)方程組

方程組(7)有n個代數(shù)式，就可以解出n個結(jié)點溫度。合成的過程中，同一單元中的相鄰節(jié)點在合成的時候?qū)υ摴?jié)點方程的系數(shù)值有貢獻，而不在同一單元中的其余節(jié)點就不會有所貢獻，利用三角形單元的面積積分，計算出單元的系數(shù)項并疊加到整體的系數(shù)項中去，得到n個常微分方程

式中，［N］為熱容矩陣;［K］為熱導(dǎo)矩陣;{P}為產(chǎn)熱向量。

對于瞬態(tài)分析而言，溫度需要在時域進行離散化。采用后向差分形式，則式(8)可變成如下形式:

2 溫度場求解區(qū)域單元劃分

對于圖1中的邊界為Γ的區(qū)域D，可以使用三角形單元對其進行劃分，劃分結(jié)束后，每一個結(jié)點都有對應(yīng)的數(shù)字序號1，2，…n;每一個單元同樣有自己的編號①，②…等。單元通過三個頂點與其他相鄰的單元相聯(lián)系，對每個單元來說，三個頂點用i，j，m按照逆時針編號。對于內(nèi)部單元，i，j，m可任意按逆時針方向編排，對于邊界單元，規(guī)定只有一條邊(并且編號為j，m)位于邊界上，結(jié)點i與邊界相對。

對于任意單元，劃分之后三個頂點坐標(biāo)都是已知的，三角形中的任意一點的溫度T，利用有限單元法把它離散到節(jié)點 i，j，m 上去，用 Ti，Tj，Tm表示單元中的溫度場T:

求溫度場時只需要求出離散的結(jié)點溫度，Ti，Tj，Tm，不做連續(xù)溫度T的計算。

對待計算區(qū)域進行單元劃分時，盡量使每個三角形單元接近等邊三角形，使得計算更為精確。本文使用大型通用有限元仿真軟件ANSYS對電纜導(dǎo)熱區(qū)域進行單元劃分，導(dǎo)出單元編號，結(jié)點編號以及結(jié)點的坐標(biāo)信息，用于后續(xù)編制有限元程序。

圖1 區(qū)域D內(nèi)三角形單元劃分

3 實例分析與試驗驗證

3.1 實例計算

為了驗證本文提出有限元方法的正確性，選用單根YJLW03 64/110 kV 1×630 mm2XLPE電力電纜，結(jié)合試驗所測實時變化的負荷電流及DTS所測電纜表面溫度，利用所編制的有限元程序計算該電纜瞬態(tài)溫度分布。電纜導(dǎo)體為緊壓圓形絞合銅導(dǎo)體，電纜的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1。

表1 電纜基本結(jié)構(gòu)參數(shù)

對于表面溫度已知的電力電纜，待求解區(qū)域為電力電纜本身，邊界條件為第一類邊界條件，對于瞬態(tài)的溫度場，邊界條件隨時間變化，計算時假設(shè)在一個采樣周期內(nèi)保持不變。電纜導(dǎo)熱區(qū)域的初始條件取值為測量的第一個時刻的電纜表面溫度。

對求解溫度場區(qū)域進行三角形網(wǎng)格剖分，總的來說，網(wǎng)格劃分得越小，計算的精度越高，但考慮到瞬態(tài)溫度場的計算需要迭代計算多次，網(wǎng)格劃分太細會導(dǎo)致結(jié)點數(shù)目增多，使得迭代一次計算時間過長。因此，在溫度變化劇烈的地方劃分較密，其余地方劃分較稀疏，這樣就可以在不增加單元和結(jié)點數(shù)目的條件下提高計算精度和速度。本例中對每一層材料都進行建模剖分，剖分之后的結(jié)點數(shù)為1913個，單元數(shù)為3712個。電纜區(qū)域的剖分如圖2。

圖2 電纜區(qū)域有限元剖分圖

整個求解區(qū)域的損耗主要包括導(dǎo)體損耗、絕緣層損耗、鋁護套損耗，損耗的計算可參考IEC 60287標(biāo)準(zhǔn)計算。對于瞬態(tài)溫度場而言，各部分損耗隨著負荷電流的變化而變化，每次迭代都需要更新各部分的損耗。具體的計算過程見流程圖3。

圖3 單芯電纜瞬態(tài)溫度場計算流程圖

3.2 試驗驗證

采用與計算相同的YJLW03 64/110 kV 1×630 mm2XLPE電力電纜作為試驗樣品，試驗電纜長18 m，試驗原理圖如圖4。其中T1為調(diào)壓器，T2為電纜試驗變壓器，另外使用電流互感器測量導(dǎo)體負荷電流。為保證能夠獲得足夠的導(dǎo)體溫度數(shù)據(jù)樣本，避免因安裝和運行過程中的熱脹冷縮等不確定因素對導(dǎo)體溫度數(shù)據(jù)影響，在被試電纜上安裝3個熱電偶實時監(jiān)測電纜導(dǎo)體的溫度。同時利用DTS實時測量電纜表面溫度，熱電偶和DTS的安裝位置如圖5。試驗電纜導(dǎo)體中的負荷電流曲線如圖6。

圖4 試驗電路原理圖

圖5 試驗電纜結(jié)構(gòu)示意圖

圖6 負載電流曲線

本次試驗測量時間約為8 h，熱電偶和DTS的采樣周期為60s，總共473組測量數(shù)據(jù)。圖7為DTS所測電纜表面溫度，通過曲線可知，電纜表面溫度在給定的負荷電流下從7℃上升到36℃。圖8為電纜導(dǎo)體溫度計算值與測量值的曲線對比圖，測量值為3個熱電偶在某個時刻的平均值。從圖8中可以看出，計算結(jié)果與試驗結(jié)果基本相符，計算誤差隨著試驗時間的增加而略微增大，最小誤差為0.001℃，最大誤差為2.14℃。

圖7 電纜表面溫升曲線

圖8 電纜導(dǎo)體溫升曲線

分析誤差存在的原因，首先一個是測量儀器本身的系統(tǒng)誤差導(dǎo)致的:測量電纜導(dǎo)體溫度的熱電偶和測量電纜表面溫度的DTS本身就存在一定的測量誤差;熱電偶通過絕緣層被插入到導(dǎo)體表面，改變了電纜本身的溫度場也會造成誤差;此外，用于測量負荷電流的電流互感器也存在測量誤差。

其次，計算時使用的電纜結(jié)構(gòu)參數(shù)和實際的電纜結(jié)構(gòu)的不一致，電纜導(dǎo)體不是標(biāo)準(zhǔn)的圓柱體，而在計算導(dǎo)體損耗時假設(shè)導(dǎo)體為同心圓柱體。此外，計算電纜各部分損耗時使用的IEC經(jīng)驗公式也不可避免地引起計算值和實際情況的誤差。

最后一個導(dǎo)致誤差的主要因素就是計算時使用的電纜各部分材料的熱參數(shù)與實際材料特性有一定的差距，計算過程中根據(jù)材料類型查表得到材料熱參數(shù)。由于材料的熱參數(shù)是隨著電纜溫度的升高而變化的，另外，電纜緩沖層和皺紋鋁套中間會存在微小的空氣間隙，這些因素都會導(dǎo)致計算值和實際測量值之間產(chǎn)生誤差。

考慮到上述的因素，本文結(jié)合DTS測量的電纜表面溫度并且利用有限元法計算得到的電纜溫度場與試驗測量值之間的誤差在可接受的范圍內(nèi)。

4 結(jié)論

(1)借助于大型通用有限元軟件ANSYS，對一根單芯YJLW03 64/110 kV 1×630 mm2XLPE電纜使用三角形單元進行場域剖分。為了提高計算精度而不增加計算時間，對電纜各層的三角形單元尺寸進行了合理的選擇，導(dǎo)出剖分區(qū)域的單元和結(jié)點編號及坐標(biāo)值信息。

(2)利用有限元基本原理，結(jié)合電纜區(qū)域剖分信息，建立了電纜區(qū)域的溫度場計算模型。以DTS測量到的電纜表面溫度為第一類邊界條件，自主編制程序生成相應(yīng)的熱容、熱導(dǎo)及產(chǎn)熱矩陣，生成n個代數(shù)方程，從而較為精確地得到了整個電纜場域的瞬態(tài)溫度分布。

(3)對同根YJLW03 64/110 kV 1×630 mm2XLPE電纜開展試驗研究。通過電纜導(dǎo)體溫升的計算結(jié)果與試驗測量值的比較，最大誤差為2.14℃，驗證了使用有限元法計算電纜瞬態(tài)溫度場的正確性，對于沿表面安裝DTS進行實時溫度監(jiān)測的高壓或超高壓電纜，采用有限元法能夠精確地計算出導(dǎo)體的實時溫度變化，為電力工程中動態(tài)載流量的確定提供了一個比較可靠的計算方法。

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