陳孔軍 王 強

(濟南大學機械工程學院，山東濟南 250022)

在冷擠壓、冷鍛等金屬成形過程中，模具承受著巨大的交變工作載荷，易出現(xiàn)裂紋，產(chǎn)生疲勞破壞［1］。采用預應力結構可為模具提供徑向預緊力，有效抵消工作載荷產(chǎn)生的切向拉應力，提高疲勞強度。如圖1所示，鋼帶纏繞預應力模具采用高強度薄鋼帶作為纏繞材料，按照一定的張力變化模式對模具進行纏繞，用于替代年輪式預應力模具中的預緊環(huán)［2］。其優(yōu)勢表現(xiàn)為:承載能力高，形狀尺寸小，工件的尺寸精度高。

模具在反復交變應力作用下，在應力集中的部位易出現(xiàn)疲勞裂紋［3］，導致模具在沒有達到靜強度極限的情況下出現(xiàn)失效，大大降低了模具壽命。目前，纏繞式預應力結構模具的設計理論是以靜強度理論為準則［4］，沒有考慮交變載荷對模具的影響，基于疲勞理論開展鋼帶纏繞預應力模具研究具有重要的現(xiàn)實意義和科學價值。

1 模具的疲勞設計方法

1.1 基本假設

(1)纏繞張力沿鋼帶寬度方向均勻分布。

(2)軸向應力σz=0，屬于平面應變問題。

(3)模具在纏繞和使用過程中，鋼帶和模芯均處于彈性變形范圍。

(4)模具工作時，各層鋼帶接觸充分。

1.2 疲勞設計內容

鋼帶纏繞預應力模具的疲勞設計內容包括，對模具進行疲勞強度校核、確定合理的纏繞預緊力數(shù)值、計算纏繞層數(shù)、計算纏繞張力。如圖2所示，將模芯看作厚壁圓筒，其內壁受工作載荷p0，外壁的載荷p1由兩部分組成，僅由鋼帶纏繞所產(chǎn)生的預緊力p1s，以及在p0作用下，模芯向外擴張時鋼帶層對其的反作用力Δp1。

1.2.1 模具疲勞強度校核

當模具工作時，與工件接觸時間很短，可將工作負載看作恒定值，當模具不工作時，負載為零。而模具的壽命有限，因此需對模具進行有限壽命設計。其疲勞強度校核公式為［5］

式中:nσ為安全系數(shù);σb為材料的強度極限;σ－1N為對稱循環(huán)下材料在有限壽命設計下的疲勞極限;KσDN為對稱循環(huán)下零件的有限壽命疲勞強度降低系數(shù);KsN為分散系數(shù);σa為應力幅;Ks1為分散系數(shù);σm為平均應力;［n］為許用安全系數(shù)。

(1)對模芯進行疲勞強度校核

模芯受載如圖2所示，將其看作厚壁圓筒，根據(jù)拉美公式［6］，則模芯上任一點處的徑向應力σr和切向應力σθ的表達式為

由公式(2)、(3)可以得到模芯內部應力分布如圖3所示，表明模芯最大內應力出現(xiàn)在其內壁上。由于模芯材料脆性很大，切向拉應力很容易使模芯產(chǎn)生裂紋。因此要對模型內壁上點的切向應力進行疲勞強度校核。

當模具工作時，切應力達到最大值，模具不工作時，切應力取最小值，其公式為

式中:p1min為不工作狀態(tài)模芯外壁的載荷，即由鋼帶纏繞產(chǎn)生的預緊力p1s;p1max為工作時模芯外壁總工作載荷，即p1。

根據(jù)切應力變換范圍得到其循環(huán)應力特征:

將上式代入公式(1)得到公式(4):

(2)對鋼帶層進行疲勞校核

如圖4所示，φ位置最外層鋼帶單元，由歐拉公式可得該單元在圓周方向受摩擦力為σ/efφ，則鋼帶單元力平衡條件為［6］

式中:σ為鋼帶所受的拉應力;Δr為鋼帶厚度;pm，m－1為第m層和第m－1層鋼帶之間的接觸力。f為摩擦系數(shù);rm－1為第m層鋼帶內徑。

當角度很小時sin(dφ/2)=dφ/2，所以對于一整圈鋼帶來說，存在:

依上式類推可得每一層鋼帶力的平衡條件為

式中:pm－1，m－2為第m－1層和第m－2層鋼帶之間的接觸力;p1，0為最內層鋼帶和模具外表面之間的接觸力。

將這些公式相加得到

當模具不工作時，p1，0=p1s，令:

則，

式中:σ0s為不工作時鋼帶的拉應力;r0為模芯外徑。

當模具工作時，p1，0=p1，有:

式中:σmaxs為工作時鋼帶上的拉應力。

最內層鋼帶上的拉應力承受如此循環(huán)載荷，鋼帶亦會產(chǎn)生疲勞破壞，由公式(5)(6)得其循環(huán)應力的特征:

將其代入公式(1)得到公式(7):

1.2.2 確定 Δp1

假設模芯外壁和鋼帶層內壁在工作時接觸良好，當模具工作時，二者的徑向位移相等，根據(jù)拉美公式，由Δp1和模具負載引起的模芯外壁徑向位移u1為

式中:p0max為模具最大負載;μ1為模芯材料泊松比;E1為模芯材料的彈性模量;a為模芯內半徑;b為模芯外半徑。

由Δp1引起的鋼帶層內壁徑向位移u2為

式中:μ2為鋼帶材料的泊松比;E2為材料的彈性模量;m為纏繞層數(shù)。

因為u1=u2:

由公式(8)可計算得到Δp1。

1.2.3 確定纏繞預緊力p1s及纏繞層數(shù)m

由(4)、(7)、(8)得到方程組(9):

方程組中纏繞預緊力p1s、纏繞層數(shù)m和Δp1為變量，可通過求解方程組得到各自的數(shù)值。

1.2.4 計算纏繞張力T

根據(jù)公式(5)可得:

又因為σ=T/wt，w是鋼帶寬度，t是鋼帶厚度，即可求得纏繞時的張力T為

2 工藝參數(shù)對疲勞設計結果的影響規(guī)律

選擇模具負載p0、許用許用安全系數(shù)［n］、鋼帶之間摩擦系數(shù)f和鋼帶厚度t為自變量，選擇纏繞預緊力p1s及纏繞層數(shù)m為試驗指標，進行單因素試驗。

模芯內徑60 mm，外徑80 mm，高度40 mm。模芯材料45CrMiMoVA。鋼帶寬度40 mm，選用材料為65Mn。模具的工作壽命為105次，代入公式(9)求解，可得到下述結果。

2.1 模具負載p0

取t=0.1 mm、［n］=1.3、f=0.1，p0分別取 1 000 MPa、2 000 MPa、3 000 MPa、4 000 MPa、5 000 MPa 和 6 000 MPa，分析結果如圖 5、6。

可以看出，纏繞預應力會隨模具負載的增加基本上呈線性關系增長。鋼帶纏繞層數(shù)會隨模具負載的增加呈指數(shù)形式增長，說明隨著纏繞層數(shù)的增加，預應力增加的速度在減小，且減小的趨勢愈加明顯。

2.2 許用安全系數(shù)［n］

取t=0.1 mm、f=0.1、p0=2 000 MPa，［n］分別取 1.3、1.5、1.7、1.9、2.0，結果如圖 7、8?？梢钥闯?，增大許用安全系數(shù)纏繞預應力值會增加。許用安全系數(shù)對纏繞層數(shù)的影響非常明顯，從圖8看，［n］從1.3增加到2.0，而鋼帶纏繞層數(shù)從3 698層增加到了14 459層。這說明許用安全系數(shù)必須慎重選擇，若過小則導致模具提前失效，反之則模具占用過大空間。

2.3 摩擦系數(shù)f

?。踤］=1.3，t=0.1 mm、p0=2 000 MPa，f取0.1、0.2、0.3、0.4，結果如圖 9、10。圖 9 表明，其他變量不變時，單純改變鋼帶之間的摩擦系數(shù)對纏繞預應力值影響很小。圖10所示，摩擦系數(shù)增大，鋼帶纏繞層數(shù)增加的很明顯，說明纏繞過程中應盡量減小摩擦系數(shù)，以減小模具占用空間。

2.4 鋼帶厚度t

?。踤］=1.3、f=0.1、p0=2 000 MPa，t取 0.1 mm、0.5 mm、1.0 mm、1.5 mm、2.0 mm，結果如圖 11、12?？梢钥闯?，其他條件不改變時，單純改變鋼帶厚度，對纏繞預緊力影響很小。圖11、12表明，要得到相同的纏繞預應力，鋼帶厚度越大，纏繞層m數(shù)肯定越小，但纏繞層厚度s會變大。

3 結語

(1)基于拉美公式、歐拉公式和疲勞設計理論，開展鋼帶纏繞預應力模具的疲勞設計研究，確定出合理的纏繞預緊力、纏繞層數(shù)和纏繞張力。

(2)分析工藝參數(shù)對疲勞設計果的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)纏繞預應力隨模具負載增加呈線性增加，預應力值增加的速度隨著纏繞層數(shù)的增加逐漸變小;增加許用安全系數(shù)將導致預應力和纏繞層數(shù)增加;摩擦系數(shù)越小所需的鋼帶層數(shù)越少;鋼帶越厚纏繞層數(shù)越少。

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