國承山 王淑貞 榮振宇 沙貝

(山東師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,濟(jì)南 250014)

(2012年8月7日收到;2012年11月15日收到修改稿)

1 引言

加速光束是指一類在衍射傳輸過程中具有自由橫向加速特性的特殊光場[1,2].由于這類光束最初是在具有Airy函數(shù)分布特征的光場中發(fā)現(xiàn)的,因此這類加速光束也常被稱為Airy加速光束或簡稱為Airy光束.加速光束所具有的自由加速、無衍射及自恢復(fù)特性[3,4]使其在光學(xué)微操縱[5,6]、非線性光學(xué)[7-10]、電子加速[11,12]等諸多領(lǐng)域顯示出重要的應(yīng)用價值.因此,如何方便高效地實(shí)現(xiàn)具有不同加速軌跡的加速光束已成為近年來的一個熱點(diǎn)研究內(nèi)容[13-21].

為了得到高的衍射效率或光能利用率,純相位衍射光學(xué)元件[22]成為近年來在實(shí)驗(yàn)上對入射激光進(jìn)行高效波前變換的主要工具.設(shè)計或制備產(chǎn)生所需加速光束的純相位衍射光學(xué)元件的關(guān)鍵是根據(jù)所需光束的加速軌跡或復(fù)振幅函數(shù)求出所對應(yīng)的純相位函數(shù).以前較常采用的方法是對Airy光束做傅里葉變換,然后提取其傅里葉變換函數(shù)的相位因子設(shè)計傅里葉變換型純相位衍射光學(xué)元件[13-16].這種方法的不足之處是,實(shí)驗(yàn)中需要用傅里葉變換透鏡對透過衍射光學(xué)元件的光場做逆傅里葉變換才能得到所需要的加速光束.另外,這種方法也難以適用于非Airy函數(shù)型加速光束的情況.最近,Cottel等[18]提出了一種從加速軌跡函數(shù)直接反推入射面上的相位函數(shù)的新方法,該方法主要基于加速光束的波法線方向與加速軌跡切線方向存在某種對應(yīng)關(guān)系的假設(shè),不僅避免了傅里葉變換透鏡的使用,也為尋找新型加速光束提供了一種有力的工具[20,21].

本文對加速光束復(fù)振幅分布的空間振蕩特性進(jìn)行了分析,提出了通過相關(guān)振蕩函數(shù)的局域空間頻率推算加速光束相位函數(shù)及利用該相位函數(shù)設(shè)計純相位衍射光學(xué)元件的方法.分別給出了利用加速光束的零點(diǎn)坐標(biāo)計算局域空間頻率和利用加速軌跡及其斜率計算局域空間頻率的算法和公式.將上述方法用于設(shè)計產(chǎn)生具有給定加速軌跡的加速光束所需的相位函數(shù),成功求出了產(chǎn)生圓弧形加速軌跡的新型加速光束的純相位函數(shù)的解析表達(dá)式.通過相關(guān)純相位衍射光學(xué)元件的模擬衍射結(jié)果證明了上述方法的可行性.

2 加速光束的局域空間頻率

在圖1所示的坐標(biāo)幾何中,設(shè)z=0的平面為加速光束的輸入面,該平面上加速光束的復(fù)振幅分布為u(x,z=0).該加速光束沿z軸傳輸過程中形成的加速軌跡(即主光斑的傳輸路徑)的橫向偏移量是衍射距離z的函數(shù),記為ξ=T(z).我們首先考慮最常見的一維有限能量Airy加速光束的情況.此時,入射面上加速光束的復(fù)振幅分布具有以下形式

其中,Ai()代表Airy函數(shù),s=x/x0為歸一化坐標(biāo),x0為橫向尺度因子,a為常數(shù).圖2給出了(1)式所示Airy光束的復(fù)振幅隨坐標(biāo)s的變化曲線.由圖2可見,該加速光束的復(fù)振幅是一個隨坐標(biāo)的振蕩函數(shù),其振蕩幅度隨s迅速衰減,其振蕩頻率則是逐漸增加的.為了突出其振蕩特性,該加速函數(shù)可以表示成一個單調(diào)衰減因子和一個正弦振蕩函數(shù)的乘積,即

圖1 描述加速光束及其加速軌跡的坐標(biāo)幾何

其中,R(s)表示振幅衰減因子,φ(s)為正弦振蕩函數(shù)的綜量,它實(shí)際上給出了加速光束波前相位分布函數(shù),因此可稱之為加速光束的相位函數(shù).顯然,加速光束的傳輸特性主要由相位函數(shù)φ(s)決定.該相位函數(shù)可直接用于設(shè)計產(chǎn)生相應(yīng)Airy加速光束的純相位衍射光學(xué)元件.

圖2 一維Airy光束入射面的復(fù)振幅分布曲線

一個振蕩函數(shù)的空間振動特性可以用它的局域空間頻率 f(x)來表征,其定義為

從數(shù)學(xué)意義上看,空間某點(diǎn)的局域空間頻率就等于該點(diǎn)附近振蕩周期的倒數(shù);從物理意義上看,局域空間頻率與相應(yīng)振蕩光場局域波矢的方向余弦成正比,即 f(x)=cos(α)/λ,α就是局域波矢與x軸的夾角.由圖2可見,Airy光束的局域空間頻率可以利用Airy函數(shù)的零點(diǎn)坐標(biāo)求出.設(shè)sm為Airy函數(shù)的第m個零點(diǎn)的位置坐標(biāo),則相應(yīng)的Airy光束在sm點(diǎn)附件的局域空間頻率可表示為

圖3所示是利用Airy函數(shù)的零點(diǎn)坐標(biāo)和(4)式數(shù)值計算得到的Airy光束的局域空間頻率和相對坐標(biāo)s的關(guān)系曲線.經(jīng)非線性擬合可得到以下解析結(jié)果

將(5)式代入局域空間頻率的定義(3)式,通過簡單的積分運(yùn)算就可以得到Airy加速光束的相位函數(shù)為

該結(jié)果與直接通過Airy函數(shù)的近似公式[1]得到的相位函數(shù)是一致的.

圖3 Airy函數(shù)的局域空間頻率分布的數(shù)值計算結(jié)果

3 局域空間頻率與加速軌跡的關(guān)系

將(1)式所示的Airy光束代入亥姆赫茲方程直接求解可得到其在空間傳輸?shù)募铀佘壽E為[10]ξ=a2z2,其中 a=λ/(4πx30/2).該加速軌跡的切線斜率為

(7)式與(5)式相比較可以看到,在旁軸近似條件下加速光束的局域空間頻率與其加速軌跡的切線斜率具有以下對應(yīng)關(guān)系

(8)式表明,入射加速光束x處的局域空間頻率與ξ處的加速軌跡的切線斜率成正比,比例系數(shù)剛好是波長的倒數(shù),這就表明了x處的加速光束的局域波矢方向與ξ處的加速軌跡的切線方向重合,如圖1所示.(8)式與(3)式相結(jié)合提供了從加速軌跡反向計算所需加速光束的相位函數(shù)的途徑.與文獻(xiàn)[18]提出的方法相一致.

進(jìn)一步的分析表明,(8)式中ξ=x的條件實(shí)際上只適用于加速軌跡為z的平方函數(shù)的加速光束.一般情況下,由圖1所示的幾何關(guān)系可知,局域波矢與加速軌跡切線共線的點(diǎn)的位置坐標(biāo)應(yīng)滿足以下條件

基于以上分析,我們得到以下從預(yù)定加速軌跡求加速光束的純相位函數(shù)的一個簡單積分公式

其中的ξ,z和x的關(guān)系則可以通過將已知加速軌跡函數(shù)ξ=T(z)代入(9)式中求出.

例如,對于加速軌跡為四次方函數(shù)ξ=az4的加速光束,由(9)式可求出其坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系為ξ=x/3和z4=x/(3a).將其代入(10)式后可以很容易地求出該加速光束對應(yīng)的純相位函數(shù)為(設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)處的初始相位為零)

該結(jié)果與文獻(xiàn)[17]中基于一般Legendre變換得到的計算結(jié)果相比較可見,兩者只相差一個負(fù)號,這是由兩者所取坐標(biāo)系的方向不同引起的.

4 具有圓弧形軌跡加速光束的純相位函數(shù)及應(yīng)用實(shí)例

最近,一類具有圓弧形加速軌跡的加速光束引起了人們極大的興趣[23,24],但至今尚未有人給出在空域直接產(chǎn)生這種加速光束的純相位函數(shù)的解析式.下面,我們就試著用上述方法求出它的純相位函數(shù)的解析表達(dá)式.

在圖1所示的坐標(biāo)系中,設(shè)圓弧形加速軌跡的軌跡方程為

其中a為軌跡半徑.對(12)式求微分,得到圓形軌跡的切線斜率為 dξ/d z=z/(a-ξ).將其代入(9)式并與(12)式聯(lián)立可解得

將(13)式代入(10)式,經(jīng)積分運(yùn)算和化簡就得到產(chǎn)生圓形軌跡加速光束所需要的純相位函數(shù)的解析表達(dá)式為

在基于(14)式制備純相位型衍射光學(xué)元件時,可使其復(fù)振幅透過率正比于exp(-iφ(x)).圖4(a)所示就是基于(14)式得到的一個一維純相位衍射光學(xué)元件的包裹相位圖,圖4(b)所示是圖4(a)所示純相位衍射光學(xué)元件的模擬衍射結(jié)果.模擬實(shí)驗(yàn)中采用的純相位衍射光學(xué)元件的設(shè)計參數(shù)為：入射激光波長為632.8 nm;圓弧形加速軌跡的圓弧半徑為2×105mm.圖4(b)中的點(diǎn)劃線表示的是由(12)式確定的理想圓弧軌跡曲線.由圖4(b)可見,該曲線與加速光場的主焦斑傳輸軌跡相重合.模擬結(jié)果表明上述設(shè)計方法的可行性以及(14)式給出的圓弧形加速光場的純相位函數(shù)解析表達(dá)式的準(zhǔn)確性.

由于二維加速光束一般可看作是由兩個一維正交加速光束的乘積構(gòu)成,因此基于(14)式也可以制備產(chǎn)生二維圓弧軌跡加速光束的純相位衍射光學(xué)元件.圖4(c)給出的就是基于(14)式得到的一個二維純相位衍射光學(xué)元件的相位分布圖樣.當(dāng)用高斯平面波照明該純相位圖樣時,其透射光中的衍射主焦斑隨衍射距離同樣沿圓弧軌跡彎曲,同時主焦斑也顯示出具有無衍射特征.圖4(d)給出了加速光束傳輸?shù)?00 mm處時的衍射光強(qiáng)度圖樣,圖中其主焦斑從入射面上的中心位置沿對角線方向的偏移量也滿足(12)式的要求.

圖4 (a)和(b)分別為產(chǎn)生具有圓弧形加速軌跡的一維加速光束的純相位衍射光學(xué)元件(部分)相位分布及其衍射輸出光場的強(qiáng)度分布;(c)和(d)為相應(yīng)的二維情況,其中(d)為衍射距離為800 mm處的強(qiáng)度圖樣

5 結(jié)論

上述理論和分析計算結(jié)果表明,一般情況下一束加速光束可表示成一個單調(diào)振幅衰減函數(shù)和一個等幅振蕩函數(shù)的乘積.決定加速光束衍射傳輸過程中主焦斑加速軌跡形狀的關(guān)鍵參數(shù)是其中的振蕩函數(shù)的局域空間頻率分布.通過局域空間頻率不僅可以方便地求解光束的加速軌跡,還可以反過來計算產(chǎn)生預(yù)定加速軌跡所需的加速光束的純相位函數(shù).文中首先給出了從加速光束的非解析復(fù)振幅分布函數(shù)(如Airy函數(shù))計算其局域空間頻率分布并進(jìn)而計算相應(yīng)的純相位函數(shù)的方法和公式;然后進(jìn)一步給出了從預(yù)定的加速軌跡方程計算相應(yīng)的局域空間頻率以及相應(yīng)加速光束的純相位函數(shù)的一種簡單計算方法和公式;最后作為應(yīng)用實(shí)例,利用上述方法成功求出了產(chǎn)生圓弧形加速軌跡所需加速光束的純相位函數(shù)的解析表達(dá)式,并基于該相位函數(shù)設(shè)計了相應(yīng)的純相位衍射光學(xué)元件,通過模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步證明了該解析表達(dá)式的準(zhǔn)確性.上述研究結(jié)果將有助于我們更好地理解加速光束的傳輸特性和更方便地設(shè)計產(chǎn)生各種新型加速光束的純相位衍射光學(xué)元件.

[1]Siviloglou GA,Christodoulides D N 2007 Opt.Lett.32 979

[2]Xu J,Liu J,Xie JH,Wang Y T 2010 Laser&Optoelectron.Prog.47 070501(in Chinese)[徐佳,劉娟,謝敬輝,王涌天2010激光與光電子學(xué)進(jìn)展47 070501]

[3]Wu FT,Jiang X G,Liu B,Qiu Z X 2009 Acta Phys.Sin.58 3125(in Chinese)[吳逢鐵,江新光,劉彬,邱振興2009物理學(xué)報58 3125]

[4]Zheng WT,Wu FT,Zhang QA,Cheng Z M 2012 Acta Phys.Sin.61 144201(in Chinese)[鄭維濤,吳逢鐵,張前安,程治明2012物理學(xué)報61 144201]

[5]Zhang P,Prakash J,Zhang Z,Mills M S,Efremidis N K,Christodoulides D N,Chen Z 2011 Opt.Lett.36 2883

[6]Cao R,Yang Y,Wang J,Bu J,Wang M,Yuan X C 2011 Appl.Phys.Lett.99 261106

[7]Kaminer I,Segev M,Christodoulides D N 2011 Phys.Rev.Lett.106 213903

[8]Dolev I,Kaminer I,Shapira A,Segev M,Arie A 2012 Phys.Rev.Lett.108 113903

[9]Ren Z J,Fan C J,Zhou W D 2011 Chin.J.Lasers 38 1202005(in Chinese)[任志君,范長江,周衛(wèi)東2011中國激光38 1202005]

[10]Ren Z J,Wu Q,Zhou WD,Wu GZ,Shi Y L 2012 Acta Phys.Sin.61 174207(in Chinese)[任志君,吳瓊,周衛(wèi)東,吳根柱,施逸樂2012物理學(xué)報61 174207]

[11]Li J,Zang W,Tian J2010 Opt.Express18 7300

[12]Wang GH,Wang X F,Dong K G 2012 Acta Phys.Sin.61 165201(in Chinese)[王廣輝,王曉方,董克攻2012物理學(xué)報61 165201]

[13]Siviloglou GA,Broky J,Dogariu A,Christodoulides D N 2007 Phys.Rev.Lett.99 213901

[14]Dai HT,Sun X W,Luo D,Liu Y J2009 Opt.Express17 19365

[15]Ellenbogen T,Voloch N,Ganany-Padowicz A,Arie A 2009 Nat.Photon.3 395

[16]Davis JA,Mitry M J,Bandres M A,Ruiz I 2009 Appl.Opt.48 3170

[17]Hu Y,Zhang P,Lou C,Huang S,Xu J,Chen Z 2010 Opt.Lett.35 2260

[18]Cottrell D M,Davis JA,Hazard TM 2009 Opt.Lett.34 2634

[19]Wang J,Bu J,Wang M,Yang Y,Yuan X C 2011 Appl.Opt.50 6627

[20]Froehly L,Courvoisier F,Mathis A,Jacquot M,Furfaro L,Giust R,Lacourt PA,Dudley JM 2011 Opt.Express19 16455

[21]Greenfi eld E,Segev M,Walasik W,Raz O 2011 Phys.Rev.Lett.106 213902

[22]Qi X Q,Gao CQ,Liu Y D 2010 Acta Phys.Sin.59 264(in Chinese)[齊曉慶,高春清,劉義東2010物理學(xué)報59 264]

[23]Kaminer I,Bekenstein R,Nemirovsky J,Segev M 2012 Phys.Rev.Lett.108 163901

[24]Zhang P,Hu Y,Cannan D,Salandrino A,Li T,Morandotti R,Zhang X,Chen Z 2012 Opt.Lett.37 2820