湯興剛 張衛(wèi)紅 邱克鵬

(西北工業(yè)大學機電學院,西安 710072)

(2012年8月29日收到;2012年11月9日收到修改稿)

1 引言

蜂窩夾芯材料由于具有高比強度、高比模量、低介電常數(shù)、低損耗等優(yōu)異性能,廣泛應用于天線罩透波材料產品設計.然而,對于毫米波天線罩設計,由于其明顯的各向異性特征對電磁波的傳播影響較大,時常導致天線方向圖嚴重畸變與雷達探測性能降低[1,2].

為此,關于各向異性介質中的電磁波傳播問題已經得到較為充分的重視[3-14].然而由于問題的復雜性,電磁波在各向異性媒質中的傳輸方程及解析解的獲得仍局限于沿光軸傳播及單軸各向異性介質等特殊情況.文獻[6,7]研究了單軸各向異性左手材料中的電磁傳輸特性,分析了光軸平行以及垂直于界面時的負折射率現(xiàn)象.Wilson和Thiel[8]研究了TM波在二維單軸電各向異性介質中的傳輸問題,分析了均勻平面波沿光軸方向傳播時解的簡化方法.羅時榮和呂百達[9]及黃永超等[10]分別研究了平頂高斯光束和橢圓高斯光束在單軸晶體中沿光軸傳播的特殊情況.近幾年來,超材料及納米材料技術促進了對材料各向異性電磁性能研究的發(fā)展.洪清泉等[11,12]在經典電動力學的框架下,研究了電偶極、磁偶極和電四極在磁各向異性介質中的輻射功率的表達式.Baida等[13]基于時域有限差分算法研究了各向異性超材料板對電磁波的傳輸性能增強.Caballero等[14]基于廣義散射矩陣法研究了多層各向異性周期納米結構磁光系統(tǒng)中的電磁傳播問題.

蜂窩夾芯材料的傳輸系數(shù)是決定天線罩電磁性能的關鍵參數(shù),現(xiàn)有計算方法一般將蜂窩夾芯材料處理成多層各向同性均勻介質,通過計算多層介質的傳輸線網(wǎng)絡模擬的傳輸矩陣得到其傳輸系數(shù)[4,15],這樣的均質化近似處理無疑會給仿真分析引入誤差.文獻[2,3,15]將各向同性介質的傳輸矩陣推廣到各向異性介質上,研究了電磁波在帶有各向異性媒質的多層結構中的傳播問題.由于所提出方法主要針對玻璃鋼纖維鋪層的面內各向異性進行研究,材料的介電常數(shù)簡化為二階張量,因此無法處理具有三階介電常數(shù)張量的蜂窩夾芯材料實際情況.有限時域差分法雖然可以對三維各向異性材料進行模擬[16,17],但對多層介質平板的計算需要精細網(wǎng)格劃分、計算時間耗費較長,尤其是在天線罩電磁仿真時需要在罩壁的每個采樣點計算多層蜂窩夾芯板的傳輸系數(shù),計算量難以承受.

對于多層介質的電磁傳輸性能,傳輸線傳輸矩陣法(TLTMM)是一種有效的分析手段[18].在均勻傳輸線網(wǎng)絡理論的基礎上,本文利用各向異性介質的折射率橢球方程,充分考慮材料的三維各向異性特征,提出在不同入射方向條件下材料有效折射率的計算方法,獲得了多層各向異性蜂窩夾芯材料等效傳輸線網(wǎng)絡的傳輸矩陣及對應的傳輸系數(shù).

2 各向異性蜂窩夾芯材料的傳輸系數(shù)

2.1 蜂窩夾芯材料的折射率橢球和有效介電常數(shù)

透波用蜂窩夾芯材料大多采用玻璃鋼制成,具有形式復雜的周期性微結構,因此,在研究其電磁性能時通常將其當作均質材料,并用等效電磁性能參數(shù)表征其電磁特性.由文獻[19]可知,蜂窩夾芯材料具有雙軸電各向異性及張量形式的介電常數(shù).其本構方程可表述為

其中,εi和ni分別表示第i對稱軸上的介電常數(shù)分量和折射率分量,ε0表示真空的介電常數(shù).將上式代入到各向異性介質的電場儲能公式

可得

定義如下x,y,z三個坐標量

于是,(3)式可以表示為

(5)式描述的橢球面被稱為折射率橢球,橢球在x,y,z上的三個半軸長度依次代表主軸坐標系三個√軸上的折射系數(shù)n1,n2,n3或介電常數(shù)的平方根,,.對于雙軸各向異性介質,n1,n2,n3各不相等.因此,雙軸各向異性介質的折射率橢球為非旋轉橢球.

通常情況下,在(5)式所定義的折射率橢球中,電磁波的入射角度可以為[0°,90°)之間的任意角.假設從原點出發(fā),與電場方向相同的射線與橢球相交于點P,如圖1所示.令點P的極坐標為(r,θ,φ),其中,θ表示向量OP與z軸的夾角,φ表示向量OP在平面xOy上的投影向量O P′與x軸的夾角,則點P的直角坐標為

將(6)式代入(5)式中可以計算得到點P到原點O的距離r,即沿(θ,φ)方向的電場所對應的有效折射率大小neff.則有效介電常數(shù)為

圖1 折射率橢球與有效折射率示意圖

2.2 蜂窩夾芯及蒙皮的有效介電常數(shù)

考慮電磁波以任意角度θ0(0≤θ0＜90°)從自由空間入射到由n層電各向異性蜂窩夾芯平板,如圖2(a)所示.x,y,z分別為材料的三個主方向,即蜂窩夾芯板每層介質的等效介電常數(shù)ε1,ε2,ε3分別位于x,y,z軸上,其折射率橢球的三個軸分別與x,y,z軸平行.對于蜂窩夾芯材料,蒙皮以及蜂窩芯的厚度方向都為一個材料主方向,從而可統(tǒng)一地將它們都定義為z方向,與蜂窩夾芯板的法向一致.

圖2電磁波在多層各向異性介質中的分解 (a)材料坐標系的定義;(b)電磁波的水平極化與垂直極化分量

圖2 (b)中P為電磁場的入射方向,即波印廷矢量方向與介質平板法向n的夾角為入射角θ0,入射平面Γ與材料x軸的夾角為φ0.由于入射電磁場的極化方向(電場方向)可以為垂直于P的平面內的任意方向,因此可以將電場E分解成平行以及垂直于平面Γ的兩個分量E//和E⊥,磁場也相應地被分解為垂直和平行于平面Γ的兩個分量.這里E//和E⊥與z1軸的夾角分別為(90-θ0)°和90°,E//和E⊥在平面x1Oy1上的投影與x1軸的夾角分別為φ0和90°-φ0.分別將這些角度代入(7)式中,可以計算得到E//和E⊥對應的有效介電常數(shù)：

蜂窩夾芯材料的蒙皮通常由多層不同纖維方向的纖維布粘接而成,當只考慮纖維布的面內各向異性時,一般認為其介電常數(shù)只包含平行纖維方向和垂直纖維方向的兩個分量.由于纖維布的厚度方向也垂直于纖維,所以當考慮纖維布鋪層的三維各向異性時,其介電常數(shù)張量可描述為

其中,εs1,εs2和ns1,ns2分別表示沿鋪層方向和垂直鋪層方向的介電常數(shù)和折射率.蒙皮材料的等效折射率橢球方程可表示為

由上式可以看出,纖維鋪層的等效折射率橢球為旋轉橢球面.因此,蒙皮材料的有效介電常數(shù)計算公式可由(8)和(9)式中的公式簡化為

一般地,電磁波在蜂窩芯以及蒙皮中的傳播相當于在介電常數(shù)為其有效介電常數(shù)的均勻介質中的傳播.

2.3 蜂窩夾芯平板的傳輸線模擬與傳輸系數(shù)計算

如圖3所示,將構成蜂窩夾芯平板的每層介質看成一個二端口網(wǎng)絡,那么每層介質的電磁傳輸性能可用一個二端口網(wǎng)絡的傳輸矩陣T進行表征,即

電磁波在多層電各向異性介質中的傳播可以看成逐層遞進傳播,即前一層的輸出波為后一層的輸入波,是多個二端口網(wǎng)絡的級聯(lián),其傳輸矩陣為所有二端口網(wǎng)絡傳輸矩陣的連乘：

圖3 電磁波在多層介質平板中的傳播及其等效傳輸線網(wǎng)絡(a)電磁波在多層介質平板中的分解;(b)多層介質平板的等效傳輸線網(wǎng)絡

若介質平板共有n層,則對任意第m層,其傳輸方程可以表示為如下的標準形式：

其中,水平極化波的傳輸矩陣的各個元素分別為

垂直極化波的傳輸矩陣的各個元素分別為

其中,Zm和θm分別表示第m層介質的特征阻抗和入射角.由于電磁波從自由空間入射、穿過蜂窩夾芯材料、最終回到自由空間中,因此,Zn+1=Z0,θn+1=θ0.km=ω表示第m層介質的波數(shù),εmeff,μm分別表示第m層介質的有效介電常數(shù)和磁導率.上標//和⊥分別表示水平極化波分量以及垂直極化波分量對應的傳輸矩陣元素.

分別求出每層介質的傳輸矩陣后,代入到(15)式即可得到如下整個多層介質的傳輸矩陣：

從而,水平和垂直極化波的反射系數(shù)R和傳輸系數(shù)T分別為[5]

3 數(shù)值實驗結果及分析

為了驗證本文所提出的傳輸系數(shù)計算方法的有效性,分別利用本文算法以及傳統(tǒng)有限元法計算蜂窩夾芯材料的傳輸系數(shù),兩種方法的計算流程如圖4所示.需要指出,本文方法在建立折射率橢球方程時所需要的材料等效電磁性能參數(shù)為包含各個方向分量的復數(shù)介電常數(shù)張量,可以通過實驗手段獲得,也可以利用數(shù)值方法得到[19].

首先考慮各向異性蜂窩芯的傳輸性能.在Ansoft HFSS軟件中,建立了蜂窩芯的微結構有限元模型.如圖5所示,給定正六邊形蜂窩的邊長l=4 mm,蜂窩壁厚w=0.48 mm,蜂窩芯高度h=8 mm,蜂窩芯材的基體材料的復數(shù)介電常數(shù)εc=3.15(1-j0.044).施加周期性邊界條件,利用Floquet端口模擬不同入射形式的平面波激勵.設定電磁波頻率為3.0 GHz,根據(jù)文獻[19]的方法計算得到蜂窩芯的等效介電常數(shù)各分量分別為 εx=1.291(1-j0.0129),εy=1.243(1-j0.0101),εz=1.366(1-j0.0172),其中,x,y,z分表表示蜂窩單胞的長、寬以及高度方向.

由圖6(a)可以看出,兩種方法計算得到的傳輸系數(shù)隨入射角的變化曲線符合很好.由于蜂窩芯材的介電常數(shù)較低,水平極化和垂直極化波的傳輸系數(shù)幾乎重合.當入射角超過80°以后,此時的電磁波以幾乎平行于蜂窩芯板的方向入射,水平極化波和垂直極化波的傳輸系數(shù)均快速下降.由圖6(b)可以看出,本文方法計算結果與有限元方法(HFSS)計算結果的相對誤差在0°—80°時保持在1.0%以內,符合非常好,只在接近90°時相對誤差較大.

圖4 兩種方法計算傳輸系數(shù)的流程 (a)有限元法;(b)本文方法

圖5 Ansoft HFSS計算模擬周期性蜂窩芯材料 (a)端口激勵;(b)x方向周期性邊界;(c)y方向周期性邊界

圖6 蜂窩芯傳輸系數(shù)計算結果及相對誤差 (a)蜂窩芯傳輸系數(shù);(b)相對計算誤差

進一步考慮帶上下蒙皮的三層蜂窩夾芯板的傳輸系數(shù)計算.在蜂窩芯上下各添加一層1 mm厚的各向異性蒙皮,蒙皮的纖維方向與蜂窩芯的長邊方向重合,即(12)和(13)式中的φ0=0,蒙皮的復數(shù)相對介電常數(shù)分別為εx=4.15(1-j0.015),εy=εz=2.15(1-j0.015).在周期性邊界條件和Floquet端口激勵不變的情況下,傳輸系數(shù)的計算結果與比較如圖7(a)所示.可見兩種方法得到的水平極化波和垂直極化波的傳輸系數(shù)隨入射角的變化曲線符合很好.圖7(b)給出的相對誤差曲線表明,當入射角在0°—80°時,相對誤差保持在2.0%以內,只是在接近90°時相對誤差較大.

圖7 蜂窩夾芯板傳輸系數(shù)計算結果及相對誤差(φ0=0)(a)蜂窩夾芯板傳輸系數(shù);(b)相對計算誤差

若改變蒙皮的纖維方向,使其與蜂窩芯的長邊夾角為60°,即(12)和(13)式中的φ0=60.在同樣保持周期性邊界條件和Floquet端口激勵不變的情況下,傳輸系數(shù)計算結果與相對計算誤差如圖8所示.兩種方法得到的水平極化波和垂直極化波的傳輸系數(shù)隨入射角的變化曲線符合很好.當入射角在0°—80°時,相對誤差保持在2.0%以內.比較圖7(a)和圖8(a)可以發(fā)現(xiàn),蒙皮鋪層方向角發(fā)生改變,蜂窩夾芯的傳輸特性也發(fā)生變化,尤其是對垂直極化波的傳輸系數(shù)影響較明顯.

圖8 蜂窩夾芯板傳輸系數(shù)計算結果及相對誤差(φ0=60)(a)蜂窩夾芯板傳輸系數(shù);(b)相對計算誤差

4 結論

本文將各向異性介質的折射率橢球方程、有效折射系數(shù)理論與多層均質材料的傳輸線網(wǎng)絡模擬理論相結合,提出了一種計算各向異性蜂窩夾芯材料傳輸系數(shù)的方法.該方法考慮了介質的三維各向異性,與目前僅考慮多層介質面內各向異性的計算方法相比,更為精確、適用性更廣.由于所提出的傳輸系數(shù)計算公式是各向異性材料的本構方程、電磁波傳播方程經傳輸線網(wǎng)絡等效后的解析形式,理論上適用于計算電磁波沿任意方向入射到多層各向異性蜂窩夾芯材料中的傳輸系數(shù),其計算效率遠高于有限元等數(shù)值方法.數(shù)值實驗結果表明：當入射角在0°—80°之間時,計算結果與有限元計算結果符合較好.當入射角接近90°時本文方法的計算結果與有限元計算結果的相對誤差較大,出現(xiàn)這種情況的原因是在入射角接近90°時,電磁波幾乎平行于蜂窩夾芯板表面?zhèn)鞑?此時傳輸系數(shù)接近于0,電磁波在蜂窩夾芯板上幾乎發(fā)生全反射,本文方法以及有限元法都有可能發(fā)生數(shù)值不穩(wěn)定,而且在該情況下,傳輸系數(shù)的絕對值已經非常小,數(shù)值上的小擾動都會引起較大的相對誤差.在實際工程應用中,為了保證天線罩有較高的整體功率傳輸系數(shù),電磁波在天線罩壁大部分區(qū)域上的入射角都應該控制在0°—80°之間.因此,本文方法具有很好的工程應用價值.

[1]Wo D Z 2000 Encyclopedia of Composites(Beijing：Chemical Industry Press)p1054(in Chinese)[沃丁柱2000復合材料大全(北京：化學工業(yè)出版社)第1054頁]

[2]Chun H J,Shin HS2003 Int.J.Modern Phys.B 17 1782

[3]Dou WB,Sun ZL 1996 J.Infrared Millim.Waves15 229(in Chinese)[竇文斌,孫忠良1996紅外與毫米波學報15 229]

[4]Zhang K Q,Li D J2001 Electromagnetic Theory for Microwaves and Optoelectronics(2nd Ed.)(Beijing：Publishing House of Electronics Industry)p482(in Chinese)[張克潛,李德杰2001微波與光電子學中的電磁理論(第二版)(北京：電子工業(yè)出版社)第482頁]

[5]Kong J A(translated by Wu Ji)2003 Electromagnetic Wave Theory(Beijing：Electron Industry Press)p197(in Chinese)[Kong JA 著 (吳季等譯)2003電磁波理論(北京：電子工業(yè)出版社)第197頁]

[6]Hu L B,Chui ST 2002 Phys.Rev.B 66 085108

[7]Li J,Dong JF 2012 Acta Phys.Sin.61 114101(in Chinese)[李杰,董建峰2012物理學報61 114101]

[8]Wilson GA,Thiel D V 2003 Prog.Electromagnet.Res.PIER 43 143

[9]Luo SR,L¨u B D 2003 Acta Phys.Sin.52 3061(in Chinese)[羅時榮,呂百達2003物理學報52 3061]

[10]Huang Y C,Zhang TR,Chen SH,Song HY,Li Y T,Zhang WL 2011 Acta Phys.Sin.60 074212(in Chinese)[黃永超,張廷蓉,陳森會,宋宏遠,李艷桃,張偉林2011物理學報60 074212]

[11]Hong Q Q,Yu Y Z,Cai Z S,Chen M S,Lin SD 2010 Acta Phys.Sin.59 5235(in Chinese)[洪清泉,余燕忠,蔡植善,陳木生,林順達2010物理學報59 5235]

[12]Hong Q Q,Zhong W B,Yu Y Z,Cai Z S,Chen M S,Lin SD 2012 Acta Phys.Sin.61 160302(in Chinese)[洪清泉,仲偉博,余燕忠,蔡植善,陳木生,林順達2012物理學報61 160302]

[13]Baida FI,Boutria M,Oussaid R,van Labeke D 2011 Phys.Rev.B 84 035107

[14]Caballero B,Garc′?a-Mart′?n A,Cuevas J C 2012 Phys.Rev.B 85 245103

[15]Zheng H X,Ge D B 2000 Acta Phys.Sin.49 1702(in Chinese)[鄭宏興,葛德彪2000物理學報49 1702]

[16]Yang L X,Ge D B,Wei B 2007 Acta Phys.Sin.56 4509(in Chinese)[楊利霞,葛德彪,魏兵2007物理學報56 4509]

[17]Yang L X,Xie Y T,Kong W,Yu PP,Wang G 2010 Acta Phys.Sin.59 6089(in Chinese)[楊利霞,謝應濤,孔娃,于萍萍,王剛2010物理學報59 6089]

[18]Oraizi H,Afsahi M 2007 Prog.Electromagnet.Res.PIER74 217

[19]Tang X G,Zhang W H,Bassir D H 2011 Advances in Heterogeneous Material Mechanics-3rd International Conference on Heterogeneous Material Mechanics Shanghai,China,May 22—26,2011 p389