彭皓 鐘蘇川 屠浙 馬洪

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,成都 610065)

(2012年9月13日收到;2012年12月18日收到修改稿)

1 引言

1981年,Benzi等[1,2]在研究地球冰川期變化機(jī)制的過程中,發(fā)現(xiàn)了一種奇特的現(xiàn)象,即隨著噪聲強(qiáng)度的增大,系統(tǒng)的輸出信噪比呈現(xiàn)出先增大后減小的非單調(diào)變化,此后該現(xiàn)象被稱為隨機(jī)共振.隨機(jī)共振揭示出噪聲對序結(jié)構(gòu)的建設(shè)性,顛覆了人們以往對噪聲只具有破壞性的認(rèn)識,故而在信號處理中展示出良好的應(yīng)用前景,引發(fā)了一輪研究熱潮.但在研究早期,受限于Benzi等發(fā)現(xiàn)隨機(jī)共振時所用的模型,學(xué)者們普遍認(rèn)為隨機(jī)共振是非線性系統(tǒng)、周期信號及噪聲的一種協(xié)同效應(yīng),三者缺一不可,這使隨機(jī)共振的研究范圍非常有限[3-6].

1995年,Collins等[7,8]將隨機(jī)共振與信息理論相結(jié)合,提出了非周期隨機(jī)共振理論,該理論以平均互信息量、誤碼率及信道容量等作為研究隨機(jī)共振的測量手段,巧妙地解決了因非周期信號不適宜以頻域信噪比作為衡量是否產(chǎn)生隨機(jī)共振的測量手段的問題.但由香農(nóng)信息理論可知,不具有隨機(jī)性的信號是沒有信息量的,故線性調(diào)頻信號本身不攜帶信息,這使得我們無法沿用Collins等的方法來研究線性調(diào)頻信號激勵下系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象.

為此,本文嘗試改造Collins的方法,利用線性調(diào)頻信號在最優(yōu)分?jǐn)?shù)階Fourier變換域上的能量聚集性,提出以分?jǐn)?shù)階Fourier變換域上定義的信噪比作為測量手段來研究線性調(diào)頻信號疊加高斯白噪聲激勵過阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象.

2 系統(tǒng)模型及其隨機(jī)共振機(jī)理分析

線性調(diào)頻信號疊加高斯白噪聲激勵的過阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)可由如下隨機(jī)微分方程表示：

其中,D為噪聲強(qiáng)度.

下面我們從粒子躍遷的角度闡明本文所提出的系統(tǒng)模型產(chǎn)生隨機(jī)共振的機(jī)理,并進(jìn)一步分析其與傳統(tǒng)周期信號激勵的雙穩(wěn)系統(tǒng)之不同之處.

方程(1)實際上描述了一個過阻尼的擴(kuò)散過程.當(dāng)A=0,D=0時,該系統(tǒng)的勢壘高為ΔU=a2/4b,在x=±處有兩個勢阱.設(shè)a=b=1,則該系統(tǒng)的雙穩(wěn)勢函數(shù)曲線如圖1所示.

從圖1中可以看出,在沒有外部激勵信號和噪聲的情況下,系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).其在x=±1處的兩個勢阱點和在x=0處的一個勢壘點分別對應(yīng)勢函數(shù)曲線中的兩個極小值和一個極大值,此時粒子位于兩個勢阱中的任意一個(視系統(tǒng)的初始狀態(tài)而定).

外部激勵信號與噪聲對粒子躍遷過程的影響有多種等價的解釋,例如不妨將線性調(diào)頻信號看作是改變原有勢函數(shù)的量,其作用是改變原有勢函數(shù)U(x)的斜率,造成勢阱和勢壘發(fā)生有利于粒子躍遷的變化;而噪聲則給粒子提供能量,在勢阱和勢壘發(fā)生變化的情況下,以更大概率促進(jìn)粒子躍遷的實現(xiàn).圖2給出了系統(tǒng)[x˙(t)=-V˙(x)+η(t)的有效勢]函數(shù) V(x)=U(x)-A cos(2πμt2+2πft)+η(t)x的曲線.當(dāng)A/=0,D=0時,勢阱在LFM信號的驅(qū)動下按其頻率產(chǎn)生傾斜變化,但只要A小于勢阱閾值粒子只能在相應(yīng)的勢阱內(nèi)按信號頻率做局域運(yùn)動,無法實現(xiàn)躍遷.當(dāng)D逐漸增大到某一值時,由于LFM信號的作用,可使勢阱傾斜程度足夠大,致使噪聲作用下的粒子得以克服勢壘,在兩個勢阱中按LFM信號頻率進(jìn)行躍遷,即產(chǎn)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象.又由于噪聲是隨機(jī)過程,這種躍遷具有一定隨機(jī)性,此時要求LFM信號的頻率足夠低,讓“有效勢函數(shù)”V(x)的變化足夠慢,使粒子在噪聲的隨機(jī)作用下有充分長的時間完成躍遷.換言之,在LFM信號低頻時段出現(xiàn)隨機(jī)共振,此要求即所謂的“絕熱近似原理”.

圖2 輸入信號及噪聲對勢函數(shù)的影響 (a)輸入信號;(b)噪聲

需要說明的是,一般認(rèn)為隨機(jī)共振只有在“絕熱近似條件”[9]下才能發(fā)生.為滿足“絕熱近似條件”,激勵信號的頻率應(yīng)足夠低.而在本文提出的系統(tǒng)模型中,激勵信號為LFM信號,當(dāng)調(diào)頻率μ和中心頻率 f為正實數(shù),且 f充分小時,LFM信號的瞬時頻率2μt+f將隨時間增長由初始時段的低頻逐漸增高,這也就使得LFM信號隨時間增長逐漸不滿足“絕熱近似條件”,從而使“隨機(jī)共振效應(yīng)”逐漸減弱.這一點將在隨后的數(shù)值仿真中得到驗證.

3 分?jǐn)?shù)階Fourier變換域信噪比定義

3.1 分?jǐn)?shù)階Fourier變換

函數(shù) f(t)的p階分?jǐn)?shù)階Fourier變換的定義為[10]

其中Kp(u,t)稱為分?jǐn)?shù)階Fourier變換的核 函 數(shù)[,(當(dāng) p/=2n,n為 整 數(shù) 時),]Kp(u,t)≡Aαexp jπu2cotα-2ut cscα+t2cotα, Aα=. 當(dāng) p=4n時,Kp(u,t)≡δ(u-t),當(dāng) p=4n+2時,K(u,t)≡δ(u+t).

p

函數(shù)Fp(u)的p階分?jǐn)?shù)階Fourier逆變換公式為

由(4)式可知,函數(shù) f(t)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換Fp(u)可解釋為 f(t)在以逆變換核K-p(u,t)為基的函數(shù)空間上的展開,而該核是u域上的一組正交的線性調(diào)頻基.因此,一個LFM信號在最優(yōu)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換域中將表現(xiàn)為一個沖擊函數(shù),這與周期函數(shù)在頻域上的表現(xiàn)形式是一致的.故可類比傳統(tǒng)的頻域信噪比定義,相應(yīng)給出LFM信號的分?jǐn)?shù)階Fourier變換域信噪比定義.

3.2 最優(yōu)分?jǐn)?shù)階Fourier變換階數(shù)

確定LFM信號最優(yōu)分?jǐn)?shù)階Fourier變換階數(shù)(簡稱最優(yōu)階數(shù))的基本原理是：以階數(shù) p為變量,p∈[0,2],對給定的LFM信號連續(xù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階Fourier變換,形成信號能量在參數(shù)(p,u)平面的二維分布,并在此平面上進(jìn)行峰值點的二維搜索.峰值點所對應(yīng)的p值即為該LFM信號的最優(yōu)階數(shù)p bo[10]：

3.3 分?jǐn)?shù)階Fourier變換域信噪比定義

對方程(1)的輸|出信號|x(t)做pbo階Fourier變換,可得其幅度譜|Xpbo(u)|,其中的線性調(diào)頻成分,即有用信號成分將表現(xiàn)為一沖擊函數(shù),且由于噪聲的能量均勻地分布在整個時頻平面內(nèi),在任何的分?jǐn)?shù)階Fourier變換域上均不|會出現(xiàn)|能量聚集,故有用信號成分位于幅度譜|Xpbo(u)|的峰值點處,至此,可得分?jǐn)?shù)階Fourier變換域上定義的信噪比為

此定義是對傳統(tǒng)頻域信噪比定義的一個推廣,當(dāng)輸入的有用信號為周期信號時,最優(yōu)階數(shù)pbo=1,則該定義將退化為頻域信噪比的定義.

4 仿真實驗及分析

下面我們給出方程(1)所刻畫的系統(tǒng)按第3節(jié)定義的輸出信噪比的仿真實驗及其分析.

4.1 輸出信號x(t)的時域圖

設(shè)a=b=1,A=0.3,μ=0.0001,f=0.01,D=0.7.以Runge-Kutta法求解方程(1),可得輸出信號x(t)的時域圖.為體現(xiàn)噪聲的隨機(jī)性,所得的x(t)是以Monte-Carlo法將此求解過程重復(fù)500次后的平均值.

圖3 輸入信號與輸出信號的時域圖

圖3 (a)為系統(tǒng)輸入之LFM信號s1(t)=0.3cos(0.0001×2πt2+0.01×2πt)的時域圖;圖3(b)是s1(t)+η(t)的信號時域圖;而圖3(c)則為系統(tǒng)輸出信號x(t)的時域圖.可以看出,由于隨機(jī)共振,系統(tǒng)輸出信號x(t)的幅度在初始時段較大,但隨著系統(tǒng)輸入端LFM信號s1(t)的瞬時頻率0.0002×t+0.01隨時間增長而增高,逐漸破壞了“絕熱近似條件”,導(dǎo)致“隨機(jī)共振效應(yīng)”隨時間的增長逐漸減弱,進(jìn)而表現(xiàn)為系統(tǒng)輸出信號x(t)的幅度隨時間的增長逐漸減小,這與第2節(jié)中的理論分析是一致的,體現(xiàn)出線性調(diào)頻信號產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象時的獨特性質(zhì).

下面我們將按前述方法在分?jǐn)?shù)階Fourier變換域上對輸出信號x(t)中的有用信號與噪聲進(jìn)行區(qū)分,從而得到在該域上定義的信噪比,并將其作為測量手段驗證本文提出的模型產(chǎn)生了隨機(jī)共振.

4.2 最優(yōu)階數(shù)的確定

輸入的LFM信號為s1(t)=0.3cos(0.0001×2πt2+0.01×2πt),按前述方法以0.01為步長搜索其最優(yōu)階數(shù)pbo.

圖4 LFM信號s1(t)不同階次時的分?jǐn)?shù)階域幅度

圖4 (a)為LFM信號s1(t)在(p,u)平面上的能量分布,圖4(b)—(d)分別為圖4(a)在 p=0.98,0.99,1處的截面.易得該LFM信號的最優(yōu)階數(shù)pbo為0.99.

4.3 隨機(jī)共振現(xiàn)象

圖5描述的是輸出信號在0.99階Fourier變換域上所定義的信噪比(簡稱信噪比)隨噪聲強(qiáng)度增大時的變化趨勢,噪聲強(qiáng)度D從0.2以0.025為步長逐漸增大至6.5.從圖5中可看出,隨著噪聲強(qiáng)度的增大,輸出信號的信噪比出現(xiàn)先增大后減小的非單調(diào)變化.當(dāng)D∈[0.2,0.9]時,部分噪聲能量轉(zhuǎn)換為信號能量,信噪比隨噪聲強(qiáng)度增大而增大.特別地,當(dāng)D=0.9時,輸出信號的信噪比達(dá)到最大值.當(dāng)D＞0.9時,輸出信號的信噪比逐漸減小,這是因為噪聲強(qiáng)度過大,雖有部分噪聲能量轉(zhuǎn)換為信號能量,但有大量過剩的噪聲能量污染了信號.仿真的結(jié)果與之前從粒子躍遷角度進(jìn)行的理論分析完全一致,驗證了本文所提出的模型能夠產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象.

4.4 調(diào)頻率對隨機(jī)共振現(xiàn)象的影響

為進(jìn)一步分析LFM信號在隨機(jī)共振中產(chǎn)生的新現(xiàn)象,即調(diào)頻率對隨機(jī)共振的影響,將輸入信號的調(diào)頻率μ增大為0.0002,其余參數(shù)不變.此時輸入的LFM信號為s2(t)=0.3cos(0.0002×2πt2+0.01×2πt),可按前述方法得其最優(yōu)階數(shù)為0.98.

圖5 輸出信號信噪比隨噪聲強(qiáng)度增大時的變化(μ=0.0001)

圖6 輸出信號信噪比隨噪聲強(qiáng)度增大時的變化(μ=0.0002)

圖6 描述的是在參數(shù)μ=0.0002時輸出信號信噪比隨噪聲強(qiáng)度增大時的變化趨勢,顯然在此參數(shù)條件下也出現(xiàn)了隨機(jī)共振.將圖6與圖5進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)在任意噪聲強(qiáng)度下,圖6中的輸出信號信噪比均低于圖5所描述的.這是由于調(diào)頻率μ從原來的0.0001增大為0.0002,使得信號頻率增加的速率增快,在更短的時間內(nèi)超出了絕熱近似條件所限制的頻率范圍,從而使得隨機(jī)共振現(xiàn)象減弱.此結(jié)果與之前的理論分析是一致的.

5 結(jié)論

本文首先從粒子躍遷的角度,定性地分析了線性調(diào)頻信號疊加高斯白噪聲激勵的過阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng),得出該模型能夠產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象以及隨機(jī)共振效應(yīng)將隨信號頻率增大而減弱的論斷.然后首次提出以最優(yōu)分?jǐn)?shù)階Fourier變換域上定義的信噪比作為測量手段,對上述模型進(jìn)行了定量分析.仿真的結(jié)果驗證了從理論分析中得到的論斷,表明了本文提出的方法的有效性.

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