單長(zhǎng)吉

(昭通學(xué)院物理與電子信息工程學(xué)院，云南 昭通 657000)

0 引言

為進(jìn)一步分析流體壓力和流量的變化及外界的干擾對(duì)管路振動(dòng)的影響，需要對(duì)管路系統(tǒng)的動(dòng)特性進(jìn)行適當(dāng)分析，以確定不同管路的振動(dòng)頻率和及其特性，以便探明降低管路振動(dòng)噪聲的途徑.

1 管路的動(dòng)態(tài)特性方程

一般求解管路動(dòng)態(tài)特性的方法常有:能量法、波動(dòng)法和頻率法等.能量法不考慮系統(tǒng)的壓縮性，因而不能考慮波動(dòng)現(xiàn)象，其使用范圍有限.波動(dòng)法考慮流體的壓縮性，但通常不考慮流動(dòng)的粘性阻力和系統(tǒng)的彈性耗損，因此得不到波動(dòng)的衰減過(guò)程，故此方法適用于求液壓沖擊.而頻率法既考慮流體的壓縮性，又考慮流體的粘性，因此廣泛用于計(jì)算管路系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性.本文主要針對(duì)集中參數(shù)法和分布參數(shù)處理法兩種分析方法求解管路的動(dòng)態(tài)特性.

1.1 集中參數(shù)法數(shù)學(xué)建模

集中參數(shù)法:當(dāng)管路較短，變量的脈動(dòng)頻率較低，管路內(nèi)的液體可視為一個(gè)集中的質(zhì)量，管路內(nèi)的摩阻及液體的壓縮性、管道的彈性變形可集中在一處，作為集中參數(shù)處理.而當(dāng)管路較長(zhǎng)，變量的脈動(dòng)頻率較高，其液體的質(zhì)量，管路的摩阻及液體的壓縮性通常認(rèn)為是沿程分布時(shí)，若按集中參數(shù)法處理就顯得過(guò)分粗略，而且計(jì)算誤差太大，則應(yīng)作為分布參數(shù)法處理[1].

(1)流體的連續(xù)性方程

如圖1所示.根據(jù)流體的連續(xù)性方程，流入斷面1－1和流出斷面2－2的液體流量之差，應(yīng)等于管路內(nèi)液體的壓縮和管路膨脹體積之和，即

式中:V為管路的體積;A為管路的面積;Ke為表觀體積彈性模量;L為管路的長(zhǎng)度;K為液體的體積彈性模量;d為管徑;δ為管壁厚度;E為管路的彈性模數(shù)

圖1 集中參數(shù)液壓管路

式中:ρ為液體密度;Rf為層流的管路摩擦阻力.Rf=RvρLQ2

(2)管路內(nèi)液柱的運(yùn)動(dòng)微分方程

υ為油液的運(yùn)動(dòng)粘度，(Pa·s)

對(duì)(1)和(2)兩式進(jìn)行拉氏變換得

(3)至(6)式即為按集中參數(shù)法求解的管路動(dòng)態(tài)特性的基本方程，它表示了管路進(jìn)、出口壓力和流量之間的相互關(guān)系[2].

其傳遞函數(shù)為:

式中:ωn管路無(wú)阻尼液壓固有頻率;

Rf為層流的管路摩擦阻力;Kh為液壓彈簧剛度;M為管中的液體質(zhì)量;c為壓力波傳播速度;ζ為管路的阻尼比

圖2 分布參數(shù)液壓管路

1.2 分布參數(shù)法數(shù)學(xué)建模

如圖2所示，入口壓力和流量分別為P1，Q1，出口的壓力和流量分別為P2和Q2，距斷面1—1為x處的壓力和流量為P和Q.現(xiàn)列寫(xiě)長(zhǎng)度為的單元液體的微分方程為[3～4]:

(1)運(yùn)動(dòng)微分方程

x=0時(shí):P(s)=P1(s)，Q(s)=Q1(s);

x=L時(shí):P(s)=P2(s)，Q(s)=Q2(s)求得待定系數(shù) K1，K2，并代入(12)，(13)式得

代入求得二階偏微分方程為

(14)和(15)兩式為按分布參數(shù)求解的管路動(dòng)態(tài)特性基本方程，亦稱管路輸出基本方程.它表示了輸入端參數(shù) P1(s)，Q1(s)和輸出端參數(shù) P2(s)，Q2(s)之間的線性變換關(guān)系.

將(14)(15)和(16)寫(xiě)稱矩陣形式為

2 兩種方法的比較與分析

從(7)式可以看出集中參數(shù)法的特點(diǎn):對(duì)閉端管路按集中參數(shù)處理時(shí)，可以將其等效為單自由度二階系統(tǒng).二階系統(tǒng)的無(wú)阻尼自振頻率ωn與液壓彈性剛度Kn和液體質(zhì)量M有關(guān).ωn與壓力波(聲波)的傳播速度成正比，與管長(zhǎng)成反比，管長(zhǎng)愈短，則自振頻率愈高.

從(17)式可以看出分布參數(shù)法的特點(diǎn):對(duì)于液壓管路按分布參數(shù)法處理時(shí)，可以將其等效為傳輸矩陣與初端—終端之間的壓力和流量的數(shù)學(xué)關(guān)系.且與管路的長(zhǎng)度和管徑的大小有著密切的關(guān)系[5].

分布參數(shù)法對(duì)于任何長(zhǎng)度，任何壓縮比的流體都是適用的.如果在可以忽略一定因素的情況下，用集中參數(shù)法來(lái)替代分布參數(shù)法也是可行的.將式(5)，(6)與式(16)聯(lián)立，采用近似方法，可得:

式(18)將分布參數(shù)法和集中參數(shù)法的參數(shù)之間聯(lián)系在一起，可以得到體積彈性模量與管路長(zhǎng)度的表達(dá)式.對(duì)于一個(gè)液壓管路，影響的因素很多:油液的運(yùn)動(dòng)粘度，體積彈性模量，油液的密度，管路的長(zhǎng)度，油中音速等.由于這些參數(shù)之間存在著復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系，所以定量(例如管長(zhǎng)的具體數(shù)值，管徑的面積具體數(shù)值)來(lái)限定集中參數(shù)法的應(yīng)用范圍是不可行的.但可以采用K和L兩個(gè)參數(shù)指標(biāo)來(lái)考量是否可以采用集中參數(shù)法來(lái)對(duì)管路進(jìn)行分析.當(dāng)時(shí)，采用集中參數(shù)法來(lái)分析;反之，采用分布參數(shù)法分析.

3 小結(jié)

本文將液壓管路中兩種分析方法進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，得到其傳遞函數(shù)的表達(dá)式;并對(duì)兩種方法的特點(diǎn)作了充分分析，特別是集中參數(shù)法的應(yīng)用范圍，作了討論.為進(jìn)一步研究流體管路，作了理論分析，奠定了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).

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