丁泉順， 陸 宇

(同濟(jì)大學(xué)橋梁抗風(fēng)研究室，上海 200092)

0 引言

抖振力是由脈動風(fēng)引起的非定?？諝鈩恿?，在橋梁結(jié)構(gòu)的抖振分析中抖振力模型的建立無疑是十分重要的.然而實際的抖振力影響因素比較復(fù)雜，在滿足工程精度的前提下為了使問題得到簡化常采取一些假定.橋梁抖振反應(yīng)分析一般都采用Davenport[1]或 Scanlan[2]發(fā)展的方法，這些都是基于片條假設(shè)和準(zhǔn)定常理論[3]而建立的數(shù)學(xué)模型，但隨著當(dāng)代橋梁跨度的不斷增大，結(jié)構(gòu)分析中非線性效應(yīng)愈發(fā)顯得突出重要.因此要真實地實現(xiàn)在時域內(nèi)進(jìn)行更為合理，精確的橋梁抖振非線性分析，需要建立基于非定常理論基礎(chǔ)之上的抖振力數(shù)學(xué)模型.

1 階躍函數(shù)抖振力時域數(shù)學(xué)模型

在航空學(xué)關(guān)于機(jī)翼斷面空氣動力的研究中，如果空氣來流相對于某飛機(jī)機(jī)翼斷面的攻角角度瞬間形成階躍位移α0，因此產(chǎn)生的氣動升力時程可表示為如下形式:

上面式(1)中ρ表示空氣密度，U表示來流風(fēng)速，B表示機(jī)翼的弦長(橋梁結(jié)構(gòu)中為橋?qū)?，CL表示升力系數(shù)(與風(fēng)攻角相關(guān)聯(lián))，ai，di為待定的參數(shù)(di＞0).為了識別階躍函數(shù)中ai，di系數(shù)，從而得到非定常抖振力完整表達(dá)形式.本文先通過紊流風(fēng)洞試驗測出實際橋梁節(jié)段模型氣動導(dǎo)數(shù)(顫振導(dǎo)數(shù))，再通過功率譜等效原則對頻域自激力和階躍函數(shù)進(jìn)行積分變換[4]運算，最終獲得如下所示的擬合式:

式(3)各式中存在分母上的擬合參數(shù)，因此是一個非線性最優(yōu)化問題.階躍函數(shù)非定常抖振力表達(dá)式中，忽略橋梁主梁斷面豎向位移和扭轉(zhuǎn)脈動分量，僅考慮水平和垂直脈動分量u，w，得到抖振力時域階躍函數(shù)表達(dá)式[5]:

式中 ΦLα，ΦLh，ΦMα，ΦMh分別代表了一系列階躍函數(shù)，具體形式如下

2 三維空間脈動風(fēng)速場的計算機(jī)模擬

從式(4)中可以看出，階躍函數(shù)非定常抖振力數(shù)學(xué)模型包含水平和垂直脈動風(fēng)分量u(s)和w(s)，因此需要利用計算機(jī)模擬隨機(jī)脈動風(fēng)速場樣本.此脈動風(fēng)速場模擬過程為平穩(wěn)高斯隨機(jī)模擬過程，它的互相關(guān)函數(shù)矩陣[6]如下所示:

上式(6)中的子分量與其相對應(yīng)的互譜密度矩陣分量有著名為Wiener－Khintchine的關(guān)聯(lián)形式，具體表達(dá)如下:

需要說明的是，以上的目標(biāo)功率譜均為雙邊功率譜，用上述隨機(jī)模擬方法生成如下脈動風(fēng)速時程，縱向脈動風(fēng)速譜采用Kaimal譜，其中K=0.4，z=60m，z0=0.03m，U(z)=10.0m/s;即

3 Scanlan準(zhǔn)定常抖振力數(shù)學(xué)模型

Scanlan[7～8]借用了 Davenport抖振理論中的抖振力表達(dá)形式，但他同時結(jié)合了由于橋梁主梁斷面與來流互相運動而產(chǎn)生的氣動彈性力和經(jīng)過線性化處理的抖振力脈動分量，即他的理論是基于抖振力和風(fēng)速變化規(guī)律為線性化假定和來流攻角不變(斷面有效氣動外形保持恒定)的準(zhǔn)定常條件假定.Scanlan提出了基于準(zhǔn)定常理論的抖振力表達(dá)形式，如下所示:

4 風(fēng)洞試驗識別結(jié)果

為了驗證本文方法的有效性，選取南京三橋主梁斷面節(jié)段模型作為試驗對象，分別進(jìn)行Scanlan頻域抖振力時程分析和階躍函數(shù)時域抖振力時程分析.南京三橋節(jié)段模型的靜力三分力系數(shù)和氣動導(dǎo)數(shù)(顫振導(dǎo)數(shù))在同濟(jì)大學(xué)TJ－1號直流風(fēng)洞中測得，風(fēng)攻角取 +3°.南京三橋模型靜力三分力系數(shù)如表1所示，顫振導(dǎo)數(shù)擬合曲線結(jié)果如圖1所示:

南京三橋主梁斷面節(jié)段模型非定常抖振力階躍函數(shù)系數(shù)結(jié)果如表2所示.圖1顯示利用階躍函數(shù)對南京三橋模型顫振導(dǎo)數(shù)進(jìn)行擬合(圖中分散點為風(fēng)洞實測值，曲線為階躍函數(shù)擬合值)，從圖中可看出擬合效果很好.

表1 南京三橋節(jié)段模型三分力系數(shù)

表2 南京三橋模型的階躍函數(shù)系數(shù)

圖1 擬合的氣動導(dǎo)數(shù)曲線與實際氣動導(dǎo)數(shù)曲線比較

階躍函數(shù)時域抖振力具體表達(dá)式可通過式(4)和階躍函數(shù)系數(shù)得到，即式(5a)～(5h).由式(4)可看出，隨機(jī)脈動風(fēng)速場的數(shù)值模擬對非定常抖振分析十分重要，而諧波合成法具有模擬精度高，計算速度快，耗費內(nèi)存小的特點，適合對大跨度橋梁進(jìn)行脈動風(fēng)速場模擬.因此本文采用改進(jìn)過后的諧波合成法，在保證模擬精度的前提下計算效率更高，其水平和垂直脈動風(fēng)速樣本見圖2.

圖2 脈動風(fēng)速樣本

Scanlan頻域抖振力時程信號和階躍函數(shù)時域抖振力時程信號可由式(4)和式(9)分別計算得出，式中平板寬 B=0.531m，空氣密度 ρ=1.225kg/m3，單位長度質(zhì)量 m=13.25kg/m，U(z)=10.0m/s，結(jié)果見圖3和圖4.表3為準(zhǔn)定常模型和非定常模型的抖振力根方差比較，從表中可以看出階躍函數(shù)非定常抖振力模型得出的結(jié)果與基于準(zhǔn)定常理論結(jié)果基本吻合.

圖3 南京三橋Scanlan準(zhǔn)定常抖振力時程信號

圖4 南京三橋非定常抖振力時程信號

表3 準(zhǔn)定常模型和非定常模型的抖振力根方差比較

5 結(jié)語

本文以南京三橋作為工程背景，基于非定常理論提出階躍函數(shù)抖振力數(shù)學(xué)模型，并利用氣動導(dǎo)數(shù)對模型中參數(shù)進(jìn)行識別，通過改進(jìn)諧波合成法模擬脈動風(fēng)速場樣本，最終得到完整的準(zhǔn)定常和非定常抖振力時程信號，并進(jìn)行分析對比，研究表明:

(1)擬合結(jié)果對階躍函數(shù)中參數(shù)初值十分敏感.由于所需擬合對象是高度非線性方程，參數(shù)初值對擬合結(jié)果影響非常大，簡單的應(yīng)用最小二乘法需要經(jīng)過多次的試算才能得到較為合理的系數(shù).本文采用了粒子群智能優(yōu)化算法，該算法無需給定初值，即可自動取得待定系數(shù)的最優(yōu)解，不僅大大節(jié)省了進(jìn)行系數(shù)擬合花費的時間，更為重要的是提高了擬合精度.尤其是對風(fēng)洞試驗實測的顫振導(dǎo)數(shù)進(jìn)行系數(shù)擬合過程中，更凸顯出了該算法的優(yōu)勢.

(2)由于三維空間脈動風(fēng)速場的計算機(jī)模擬計算規(guī)模較大，本文采用改進(jìn)Shinozuka’s諧波合成法.在一般諧波合成法基礎(chǔ)上，通過對譜分解運算過程中插值近似，能大大減少矩陣分離次數(shù).因此改進(jìn)后的諧波合成法在保證精度的同時計算速度更快，對大跨度橋梁進(jìn)行脈動風(fēng)速場模擬效果特別好.

(3)從上述結(jié)果中可以看出，階躍函數(shù)抖振力時程信號與頻域分析結(jié)果吻合的較好，表明了階躍函數(shù)非定常抖振力數(shù)學(xué)模型在理論上是合理正確的，并且在實際橋梁抖振響應(yīng)分析中有較好的應(yīng)用前景.

(4)由于脈動風(fēng)場模擬的不同，橋梁抖振時域分析結(jié)果具有一定的隨機(jī)性，并且抖振力時域分析結(jié)果隨著脈動風(fēng)樣本數(shù)量的增多逐漸趨近于頻域分析結(jié)果，但由于考慮非線性效應(yīng)，時域抖振力分析的計算量比頻域大很多.

[1]Davenport A.G..Buffeting of a Suspension Bridge by Storm Winds[J].Structural Division，ASCE，1962，88(ST3):233 －268.

[2]Scanlan R.H.Bridge Deck Aeroelastic Admittance Revisited[J].Journal of Bridge Engineering，Vol.5(1):1 －7.

[3]Davenport A.G..The Action of Wind on Suspension Bridges[J].Proc.，Int.Symp.On Suspension Bridges:79 －100.

[4]張志田，陳政清，胡春光，等.橋梁氣動自激力時域表達(dá)式的瞬態(tài)與極限特性[J].工程力學(xué)，2011.

[5]Scanlan R.H..Problematic in Formulation of Wind－force Model for Bridge Decks[J].Struct Engrg ASCE，1993，199(7):1433－1446.

[6]丁泉順.大跨度橋梁耦合顫抖振響應(yīng)分析[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社，2007，4.

[7]Scanlan R.H.，et al.Airfoil and Bridge Deck Flutter Derivatives[J].Engrg.Mech.，ASCE，1971，6:1717 －1733.

[8]Scanlan R.H.On Flutter and Buffeting Mechanisms in Long－Span Bridges[J].Prob.Engrg.Mech，1988，3(1):22 －27.