張一航，侯明善

（西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，陜西 西安 710072）

制導(dǎo)系統(tǒng)是制導(dǎo)武器系統(tǒng)的核心，其設(shè)計(jì)應(yīng)兼顧系統(tǒng)精度、子系統(tǒng)的協(xié)調(diào)性、成本等多種準(zhǔn)則要求[1-2]。同時(shí)，在實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)下的系統(tǒng)參數(shù)往往和設(shè)計(jì)值之間有一定的偏差，即參數(shù)漂移。通過確定性方法決策出的最優(yōu)系統(tǒng)，在參數(shù)發(fā)生漂移時(shí)，不一定能保持原有性能。近年來，針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)問題，系統(tǒng)工程領(lǐng)域的多準(zhǔn)則決策方法受到越來越多的重視。多準(zhǔn)則決策方法通過將設(shè)計(jì)問題轉(zhuǎn)化為決策問題，能夠同時(shí)考慮多個(gè)決策準(zhǔn)則，有效進(jìn)行系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)，縮短系統(tǒng)設(shè)計(jì)周期。但傳統(tǒng)的多準(zhǔn)則決策方法只能解決確定性決策問題，對(duì)不確定性問題無(wú)能為力[3-7]。本文利用Monte-Carlo仿真，將不確定性信息以概率分布函數(shù)的形式建模，并與決策矩陣融合，結(jié)合多準(zhǔn)則決策方法，對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)的不同備選方案進(jìn)行決策。

1 制導(dǎo)系統(tǒng)模型

考慮平面攔截制導(dǎo)問題，彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系為

式中，R表示彈目距離、q表示彈目視線角、VM和VT分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度，θM和θT分別表示導(dǎo)彈的彈道傾角和目標(biāo)的航跡角。

導(dǎo)彈彈道傾角θM與其法向加速度θM、目標(biāo)航跡角θT與其法向加速度aT滿足關(guān)系

考慮如圖1所示的制導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，它由目標(biāo)動(dòng)力學(xué)、彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系、導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)、制導(dǎo)律、制導(dǎo)指令限幅和導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)組成。

圖1 制導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of guidance system

設(shè)制導(dǎo)系統(tǒng)制導(dǎo)律為比例導(dǎo)引，導(dǎo)彈法向加速度指令受彈體最大可用過載約束，設(shè)過載限幅值為nzm，則附加限幅的加速度指令為：

其中N為比例導(dǎo)引導(dǎo)航比。

導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)特性用帶延遲環(huán)節(jié)的一階慣性環(huán)節(jié)描述，其傳遞函數(shù)為

這里τ是純延遲環(huán)節(jié)的延遲時(shí)間，TS表示導(dǎo)引頭動(dòng)態(tài)時(shí)間常數(shù)，q˙M是導(dǎo)引頭測(cè)量的視線角速率，其輸入是彈目視線角速率q˙。

導(dǎo)彈彈體和目標(biāo)飛行器的動(dòng)力學(xué)等效模型用二階環(huán)節(jié)描述，其傳遞函數(shù)分別為：

式中TM、ξM分別表示彈體動(dòng)力學(xué)模型的時(shí)間常數(shù)和阻尼比，TT和ξT分別表示目標(biāo)動(dòng)力學(xué)模型的時(shí)間常數(shù)和阻尼比。

2 設(shè)計(jì)參數(shù)和決策準(zhǔn)則的選取

前面給出了導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的模型，系統(tǒng)共涉及5個(gè)主要設(shè)計(jì)參數(shù)：分別是彈體等效時(shí)間常數(shù)TM和阻尼比ξM，導(dǎo)引頭延遲時(shí)間τ，比例導(dǎo)引導(dǎo)航比N和導(dǎo)彈法向加速度指令限幅值nzm。這5個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的每一種取值組合，就是制導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一種備選設(shè)計(jì)方案。

在決策準(zhǔn)則的確定中，主要考慮以下3個(gè)因素：

1）不同發(fā)射初值下的脫靶量應(yīng)盡可能?。杭疵摪辛繕颖揪祄d和樣本方差Sd應(yīng)最??；

2）比例導(dǎo)引導(dǎo)航比N不應(yīng)過大，以保證制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；

3）導(dǎo)引頭的延遲時(shí)間τ和導(dǎo)彈法向加速度指令限幅值nzm應(yīng)盡量小，以降低制導(dǎo)控制系統(tǒng)的元器件成本和控制能量成本。

上述5個(gè)決策準(zhǔn)則是5個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的函數(shù)，當(dāng)設(shè)計(jì)參數(shù)確定時(shí)，決策準(zhǔn)則也應(yīng)當(dāng)確定。但是，在實(shí)際的產(chǎn)品生產(chǎn)和操作過程中，設(shè)計(jì)參數(shù)會(huì)在原設(shè)計(jì)值基礎(chǔ)上發(fā)生漂移，使得決策準(zhǔn)則產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng)。這樣，在確定性準(zhǔn)則下性能優(yōu)異的方案，可能在發(fā)生漂移后性能變差，使得決策失敗。

為使決策方案對(duì)參數(shù)漂移具有魯棒性，將5個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)設(shè)為相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量，均值為該參數(shù)的設(shè)計(jì)值，標(biāo)準(zhǔn)偏差為該參數(shù)設(shè)計(jì)值的5%，這樣，每個(gè)隨機(jī)變量的域即是該參數(shù)設(shè)計(jì)值的。這5個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)組成了一個(gè)隨機(jī)向量

其均值向量μX和協(xié)方差矩陣KX為

隨機(jī)向量X的概率密度函數(shù)為

這樣，我們就將系統(tǒng)參數(shù)的不確定性引入了導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)模型中，由于系統(tǒng)參數(shù)是隨機(jī)變量，按某備選方案配置的導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)在不同初始條件下的脫靶量均值和方差也是隨機(jī)變量。這兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)無(wú)法直接求出，因此，利用Monte-Carlo方法建立這兩個(gè)隨機(jī)變量的經(jīng)驗(yàn)概率分布函數(shù)（ecdf），以代替隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)（cdf）。

利用Monte-Carlo方法，在每組設(shè)計(jì)方案的基礎(chǔ)上按照（8）式的概率分布產(chǎn)生 500 組隨機(jī)參數(shù)，代入（1）～（5）式的模型中進(jìn)行仿真，得到md，Sd的ecdf曲線，并取其上側(cè)α分位數(shù)，如圖2及圖3所示。α衡量了決策的風(fēng)險(xiǎn)程度，α越大，決策風(fēng)險(xiǎn)越大。

圖2 ma的取法Fig.2 Evaluation of ma

圖3 Sa的取法Fig.3 Evaluation of Sa

在文獻(xiàn)[8]中的34組方案基礎(chǔ)上，我們通過Monte-Carlo仿真得到風(fēng)險(xiǎn)程度為時(shí)的各決策準(zhǔn)則值。當(dāng)α=0.1時(shí)，決策準(zhǔn)則值如圖4～圖8所示。這樣就得到如式（9）所示的決策矩陣D。

3 TOPSIS方法決策過程

TOPSIS方法基于如下思想：決策問題的一個(gè)有限解集中，最優(yōu)解與理想最優(yōu)解的歐氏距離最近，與理想最劣解的歐氏距離最遠(yuǎn)[6]。TOPSIS方法通過對(duì)有限解集進(jìn)行排序得到“最優(yōu)解”。同時(shí)，在給定置信度條件下也能對(duì)隨機(jī)決策問題的解集進(jìn)行排序。

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，TOPSIS方法對(duì)決策矩陣D進(jìn)行了如下6步操作：

步驟1:建立歸一化決策矩陣，使得不同決策準(zhǔn)則之間具有可比性。方法是將D中的每個(gè)元素除以該元素所在列向量的2范數(shù)，如（10）式所示：

圖4 a=0.1時(shí)的maFig.4 mawith a=0.1

圖5 a=0.1時(shí)的SaFig.5 Sawith a=0.1

圖6 導(dǎo)引頭延遲時(shí)間Fig.6 Seeker delay time

圖7 比例導(dǎo)引導(dǎo)航比Fig.7 Proportional navigation ratio

圖8 法向過載限幅Fig.8 Maximal normal overload

步驟2:建立加權(quán)歸一化決策矩陣。決策過程往往受決策者主觀偏好的影響，決策者的主觀偏好通過權(quán)值向量引入到每個(gè)決策元素，權(quán)值向量形式如下：

對(duì)步驟1中得到的歸一化決策矩陣的每個(gè)列向量乘其對(duì)應(yīng)的權(quán)值wj，就得到加權(quán)歸一化決策矩陣：

步驟3:確定理想最優(yōu)解和理想最劣解。理想最優(yōu)解A*對(duì)應(yīng)的各決策準(zhǔn)則使得系統(tǒng)性能最優(yōu)，成本最低；而理想最劣A-解對(duì)應(yīng)的各決策準(zhǔn)則使得系統(tǒng)性能最差，成本最高。對(duì)選定的5個(gè)決策準(zhǔn)則而言而言，參數(shù)值均是越小性能越好，成本越低；反之則性能越差，成本越高。對(duì)加權(quán)歸一化決策矩陣 V 因?yàn)橛?0＜vij＜wj，因此

步驟4:計(jì)算各備選方案與理想最優(yōu)解和理想最劣解之間的歐氏距離。備選方案與理想最優(yōu)解和最劣解的距離為：

步驟5:計(jì)算備選方案與理想最優(yōu)解的相對(duì)接近度。相對(duì)接近度定義為：

當(dāng) Ci*=1 時(shí)，ri=A*，當(dāng) Ci*=0 時(shí)，ri=A-。 備選方案與 A*越接近，Ci*越接近 1。

步驟6:對(duì)每個(gè)備選方案所對(duì)應(yīng)的Ci*值降序排列，得到備選方案的優(yōu)先級(jí)排序。從相對(duì)接近度的排序可以看出，方案23是在魯棒性意義下的多準(zhǔn)則最優(yōu)方案。

表1 權(quán)值向量取值Tab.1 Weight vector

圖9 不同權(quán)值方案相對(duì)接近度曲線Fig.9 Relative closeness curves of different weights

4 結(jié) 論

文中針對(duì)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)在生產(chǎn)和工作過程中發(fā)生的參數(shù)漂移，設(shè)計(jì)了不確定性多準(zhǔn)則決策方法，并用此方法進(jìn)行了導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)。建立了導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)考慮參數(shù)漂移的不確定性模型，利用Monte-Carlo方法建立了各決策準(zhǔn)則的經(jīng)驗(yàn)概率分布函數(shù)，利用經(jīng)驗(yàn)概率分布函數(shù)在一定的風(fēng)險(xiǎn)程度下建立了決策矩陣，并利用 方法進(jìn)行決策，選擇出魯棒性意義下的最優(yōu)方案。分析發(fā)現(xiàn)，利用文中提出的不確定性多準(zhǔn)則決策方法，能夠保證決策出的備選方案對(duì)參數(shù)漂移具有較強(qiáng)的魯棒性，在一定的魯棒性前提下，該備選方案在性能和成本能多準(zhǔn)則意義下具有最優(yōu)性。

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