成 沉，鮑福廷，劉 旸，許 昊

(西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安 710072)

0 引言

為提高未來導(dǎo)彈的機動性和突防能力，其動力裝置需要具備根據(jù)戰(zhàn)術(shù)要求隨機控制推力的能力。實現(xiàn)推力的隨機控制將是固體火箭發(fā)動機技術(shù)領(lǐng)域的重大突破之一。目前，固體火箭發(fā)動機推力可調(diào)方案很多，其中喉栓式固體火箭發(fā)動機，由于其推力可調(diào)范圍大、可隨機調(diào)節(jié)、響應(yīng)速度快的特點，成為研究的熱點［1－8］。要實現(xiàn)對喉栓發(fā)動機推力的精確隨機控制，要求發(fā)動機氣動控制系統(tǒng)的壓強響應(yīng)具有快速性、精確性和穩(wěn)定性。國外對喉栓式發(fā)動機壓強響應(yīng)控制系統(tǒng)進(jìn)行了一系列研究。CFDRC公司開發(fā)的喉栓發(fā)動機分析軟件APMOD［1］中的控制算法能使喉栓的運動與發(fā)動機的壓力操作緊密耦合。Bergmans［2］采用了空氣渦輪發(fā)動機(ATR)中的燃?xì)獍l(fā)生器技術(shù)，用詳盡的數(shù)學(xué)模型描述了組件的氣動特性，建立了應(yīng)用于導(dǎo)彈轉(zhuǎn)向和彈射座椅中的喉栓發(fā)動機的控制模型，實現(xiàn)了喉栓運動的閉環(huán)壓力控制。該模型的仿真結(jié)果很好地預(yù)示了喉栓運動狀態(tài)改變時的推力反向脈沖現(xiàn)象。但該模型中的參數(shù)需要根據(jù)對特定的發(fā)動機進(jìn)行實驗來確定，不具備通用性。國內(nèi)對喉栓發(fā)動機的研究處于起步階段，對氣動控制系統(tǒng)的原理性研究主要是通過實驗和流場仿真來分析壓強響應(yīng)過程。西北工業(yè)大學(xué)的魏祥庚等［3］通過實驗分析了非同軸式喉栓發(fā)動機的響應(yīng)特性。北京理工大學(xué)的王佳興等［4］通過流場仿真對壓強響應(yīng)的影響因素進(jìn)行了分析。流場仿真的方法直觀，成本低，但計算量大，計算過程復(fù)雜，并且考慮到閉環(huán)控制系統(tǒng)復(fù)雜的反饋特性，流場仿真現(xiàn)在只能對開環(huán)控制的喉栓系統(tǒng)進(jìn)行分析。而實驗方法成本高昂，次數(shù)有限。建立計算簡單的實用模型不僅對實驗的設(shè)計有指導(dǎo)意義，提高實驗的效率，并且能提供快速的工程估算方法。

本文運用控制工程的方法，將喉面－壓強響應(yīng)系統(tǒng)近似為一階線性氣動控制系統(tǒng)，通過建立傳遞函數(shù)，對影響壓強響應(yīng)的因素進(jìn)行了分析。為提高計算精度，進(jìn)一步修正了傳遞函數(shù)，對采用開環(huán)控制的喉栓發(fā)動機系統(tǒng)進(jìn)行求解，得到了壓強響應(yīng)及理論響應(yīng)時間。

1 傳遞函數(shù)

用拉氏變換法求解線性系統(tǒng)的微分方程，可得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)為線性定?？刂葡到y(tǒng)輸出與輸入2個量的拉氏變換之比，它不僅可表征系統(tǒng)的動態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響［9］。喉栓式發(fā)動機的氣動控制系統(tǒng)為喉面－壓強響應(yīng)系統(tǒng)?，F(xiàn)推導(dǎo)其傳遞函數(shù)。

1.1 傳遞函數(shù)推導(dǎo)

假設(shè)喉栓發(fā)動機噴管內(nèi)部為一維定常等熵流動，其壓強響應(yīng)數(shù)學(xué)模型可以用式(1a)表示:

由于壓強響應(yīng)時間很短，忽略自由容積與燃面面積的變化，可將其視為定值。

上述微分方程為非線性方程。欲建立線性模型，需對Pnc和PcAt兩項進(jìn)行線性化近似處理。為了降低線性化近似誤差，先對式(1a)進(jìn)行變形。

設(shè)Pc0為初始平衡壓強，將式(1a)變形為

1.2 影響壓強響應(yīng)的因素分析

由于誤差僅來自于線性化的過程，只會對含n的項產(chǎn)生影響，因此不影響對其他參數(shù)的定性分析。下面用傳遞函數(shù)對采用開環(huán)控制的喉栓發(fā)動機壓強響應(yīng)影響因素進(jìn)行定性分析，并驗證分析結(jié)果。

(1)壓強響應(yīng)影響因素的定性分析

金融資源和實體經(jīng)濟之間存在著密不可分的關(guān)系，單獨的金融資源很難發(fā)揮自身應(yīng)有的功能和作用，而實體經(jīng)濟就是金融資源發(fā)揮自身作用的完美平臺，只有當(dāng)金融資源完全融入到實體經(jīng)濟中，才能完整地體現(xiàn)出金融對經(jīng)濟的促進(jìn)作用。

一階線性定常系統(tǒng)中，時間常數(shù)T0是系統(tǒng)的固有特性，反應(yīng)了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢，決定了壓強響應(yīng)時間。當(dāng)t=4T0時，系統(tǒng)響應(yīng)將達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的98.2%，可認(rèn)為系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)，此時認(rèn)為系統(tǒng)壓強響應(yīng)時間為4T0。從T0表達(dá)式可看出，c*、At0、Γ2/Vc與響應(yīng)時間成反比。而ρp、Ab、a對T0沒有影響，所以不影響響應(yīng)時間。

(2)分析結(jié)果驗證

依次改變以上各參數(shù)，用四階龍格庫塔法求解原方程，同樣按照系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值98.2%的標(biāo)準(zhǔn)來求取響應(yīng)時間。圖1為改變c*時，響應(yīng)時間的變化曲線，該結(jié)果與用傳遞函數(shù)方法分析所得出的結(jié)論完全一致。同樣，在改變At0、Γ2/Vc時，得到的結(jié)論也完全相同;而改變ρp、Ab、a時，響應(yīng)時間完全沒有變化。

可以看出，分析傳遞函數(shù)的方法很好地說明了這幾個參數(shù)對響應(yīng)時間的影響。從理論上解釋了Vc越小，Γ、c*、At0越大，壓強響應(yīng)越快，是因為它們影響了壓強響應(yīng)系統(tǒng)的時間常數(shù);而ρp、Ab、a不影響壓強響應(yīng)時間，是因為它們不影響系統(tǒng)時間常數(shù)。At0越大，響應(yīng)越快，說明同樣的調(diào)節(jié)比，正向調(diào)節(jié)(喉部面積減小，壓強升高)比逆向調(diào)節(jié)(喉部面積增大，壓強降低)要慢，這與魏祥庚等人做的實驗［3］中觀察到的現(xiàn)象一致。

1.3 傳遞函數(shù)誤差分析

考慮系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，即原方程中At為常數(shù)At1，Pc初值為Pc0時的響應(yīng)，此時的輸入量為

圖2和表1將用式(11)計算的解析解與原方程用四階龍格庫塔法得到的數(shù)值解進(jìn)行了對比?？梢?，當(dāng)ε1偏離1不太大時，用傳遞函數(shù)計算壓強響應(yīng)的誤差較小，但隨ε1偏離1的程度增大，誤差將越來越大。這是由于ε1偏離1的程度越大，線性化的誤差越大。為了提高精度，需要對傳遞函數(shù)進(jìn)行線性化修正。

表1 解析解與數(shù)值解的誤差Table 1 Comparison between the numerical solution and the analytical solution

1.4 傳遞函數(shù)線性化修正

對傳遞函數(shù)加入修正系數(shù)，依次對穩(wěn)態(tài)項和時間常數(shù)進(jìn)行修正。

(1)穩(wěn)態(tài)項的修正

(2)時間常數(shù)的修正

考慮模型的誤差來自于方程的線性化，用初始點來對方程進(jìn)行線性化，導(dǎo)致了變量對初始點的偏離越大時誤差越大。若能根據(jù)變量與初始點的偏差選擇用來線性化的點，就能減小線性化的誤差，提高精度。

將式(4)代入式(3)，得到線性方程:

上式的穩(wěn)態(tài)項不如式(15)準(zhǔn)確，只用它來修正時間常數(shù)。

得到傳遞函數(shù):

選擇合適的α取值，就能得到較好的結(jié)果。經(jīng)過一系列計算發(fā)現(xiàn)，取α=0.71時，誤差較小。由于誤差的大小只與ε1有關(guān)，而與所計算的壓強范圍及發(fā)動機設(shè)計參數(shù)無關(guān)，所以可以取定α=0.71。表2和圖3將不同ε1下的解析解與用四階龍格庫塔法求的數(shù)值解進(jìn)行對比，可以看出誤差已經(jīng)明顯減小。

綜上所述，得到喉面－壓強響應(yīng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù):

式中 K′為穩(wěn)態(tài)項;T′為時間常數(shù)。

經(jīng)線性化修正的傳遞函數(shù)雖然精度提高了很多，但并不是嚴(yán)格意義上的傳遞函數(shù)，因為其中包含了輸入項ε1，不妨稱之為偽傳遞函數(shù)。它可用來求解采用開環(huán)控制系統(tǒng)的喉栓發(fā)動機的壓強響應(yīng)曲線。

表2 解析解與數(shù)值解的誤差Table 2 Comparison between the numerical solution and the analytical solution

2 開環(huán)控制系統(tǒng)分析

2.1 開環(huán)系統(tǒng)壓強響應(yīng)計算

采用開環(huán)控制系統(tǒng)的喉栓發(fā)動機的氣動控制模型可認(rèn)為是喉面－壓強響應(yīng)系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)，喉栓的運動速度反應(yīng)為斜坡響應(yīng)的斜率。

開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù):

得到壓強響應(yīng)的解析解為

解方程y(t)=(1－Δ)y(∞)，求得開環(huán)控制系統(tǒng)的壓強響應(yīng)時間為

式中 Δ為允許誤差范圍，本文Δ=0.01，即認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)將達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的99%時的時間為響應(yīng)時間。

2.2 誤差分析

斜坡響應(yīng)微分方程為

表3給出了用四階龍格庫塔法求解此方程的數(shù)值解與式(28)計算出的解析解的對比，結(jié)果表明誤差在可接受范圍內(nèi)。

表3 解析解與數(shù)值解的誤差Table 3 Comparison between the numerical solution and the analytical solution

2.3 壓強響應(yīng)延遲分析

根據(jù)上述計算得出的結(jié)果，從響應(yīng)時間上來看，發(fā)動機的壓強響應(yīng)相對于喉栓運動速度的延遲只與時間常數(shù)T′有關(guān)。圖4表示了不同的時間常數(shù)T′下，響應(yīng)時間隨喉面調(diào)節(jié)時間Tv的變化。

由圖4可看出，各個T′下的響應(yīng)時間與圖中的實線對比(實線為喉面調(diào)節(jié)時間Tv)，時間常數(shù)越大，響應(yīng)相對于喉栓運動的延遲越明顯。設(shè)計發(fā)動機時應(yīng)盡量減小時間常數(shù)T′。若 T′能達(dá)到0.01 s，壓強響應(yīng)相對于喉栓的運動可以幾乎沒有延遲，此時壓強響應(yīng)基本取決于喉栓運動的速度。

3 結(jié)論

(1)喉栓發(fā)動機的壓強響應(yīng)系統(tǒng)可以用一階線性模型近似表達(dá)。用建立傳遞函數(shù)的方法求解壓強響應(yīng)曲線能得到壓強響應(yīng)的近似解析解，并求得響應(yīng)時間表達(dá)式，解的精度能滿足要求。為喉栓發(fā)動機的壓強響應(yīng)提供了快速估算的方法。

(2)對傳遞函數(shù)的分析得出了喉栓發(fā)動機設(shè)計參數(shù)對壓強響應(yīng)的影響規(guī)律。分析表明，Vc越小，Γ、c*越大，壓強響應(yīng)越快;ρp、Ab、a不影響壓強響應(yīng)時間;同樣的調(diào)節(jié)比，正向調(diào)節(jié)(喉部面積減小，壓強升高)比逆向調(diào)節(jié)(喉部面積增大，壓強降低)響應(yīng)速度慢。

(3)對應(yīng)用開環(huán)系統(tǒng)的喉栓發(fā)動機響應(yīng)時間分析可以得出:時間常數(shù)T′越大，壓強響應(yīng)相對于喉栓運動的延遲越明顯。設(shè)計發(fā)動機時應(yīng)盡量減小時間常數(shù)T′。若T′達(dá)到0.01 s，壓強響應(yīng)相對于喉栓的運動可以幾乎沒有延遲，此時壓強響應(yīng)基本取決于喉栓運動的速度。

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