李 杰，趙紅東，蘇 周

（河北工業(yè)大學(xué) 天津 300401）

信號(hào)采樣問題是信號(hào)處理中的一個(gè)基本問題[2]，利用計(jì)算機(jī)來處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)，首要的問題就是要將時(shí)間和幅度都連續(xù)的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)，得到數(shù)字信號(hào)。模擬信號(hào)要數(shù)字化，就是對(duì)其進(jìn)行離散化處理。采樣就是實(shí)現(xiàn)將連續(xù)的模擬信號(hào)在時(shí)間上離散化的過程。從采樣時(shí)間的間隔不同的角度上可以將采樣分成兩種——均勻采樣和非均勻采樣[3]。非均勻采樣是相對(duì)于均勻采樣提出的一種采樣方法，非均勻采樣有時(shí)也會(huì)被稱為隨機(jī)采樣。理想均勻采樣的采樣時(shí)間間隔完全相等，而非均勻采樣的采樣時(shí)間間隔是不確定的[4]?，F(xiàn)實(shí)中經(jīng)過采樣得到的真實(shí)數(shù)據(jù)，采樣時(shí)間間隔往往是非均勻的[5]。

1 非均勻離散傅里葉變換

假設(shè) x（t）是有限帶通信號(hào)，x（n）和 x（tn）其中（n=1，2，3，…，N）分別表示均勻采樣和非均勻采樣信號(hào)，Xs（f）為連續(xù)信號(hào) x（t）的傅里葉變換結(jié)果，T為采樣的時(shí)間間隔，N為總的采樣點(diǎn)數(shù)，NT為總的采樣時(shí)間，連續(xù)時(shí)間的傅里葉變換為：

均勻采樣信號(hào)的離散傅里葉變換就是將式（1）的積分換成求和累加的形式，由于均勻采樣情況下采樣時(shí)間間隔相等[7]，也就是每個(gè)采樣時(shí)間段的寬度都相同，均勻采樣信號(hào)的離散傅里葉的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

類似的可以得到非均勻采樣的離散傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

非均勻采樣信號(hào)的傅里葉變換和均勻采樣信號(hào)的傅里葉變換的主要區(qū)別在于積分時(shí)間上的不同[8]。

2 非均勻采樣的頻譜分析

文中將利用Matlab對(duì)式（3）進(jìn)行驗(yàn)證，并對(duì)非均勻采樣信號(hào)的數(shù)字頻譜進(jìn)行分析研究。設(shè)置一個(gè)簡單的非均勻時(shí)間函數(shù)，將采樣時(shí)間設(shè)置成非線性的關(guān)系，設(shè)置采樣點(diǎn)總數(shù)N=1 024，設(shè)置采樣時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

從式 （4）可以知道到采樣點(diǎn)數(shù)和采樣時(shí)間是三折線關(guān)系，t1時(shí)間段對(duì)應(yīng)的采樣頻率為512 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為256；t2時(shí)間段對(duì)應(yīng)的采樣頻率為1 024 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為256；t3時(shí)間段對(duì)應(yīng)的采樣頻率為512 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為512。

為了能夠直觀的觀察非線性采樣時(shí)間對(duì)信號(hào)頻譜的檢測結(jié)果，以連續(xù)的簡單單正弦信號(hào)作為研究對(duì)象。簡單正弦信號(hào)設(shè)置如下：

式中取f0=150 Hz。分別對(duì)正弦信號(hào)進(jìn)行均勻采樣和非均勻采樣，非均勻采樣按照式定義的非線性時(shí)間函數(shù)對(duì)正弦信號(hào)采樣，并進(jìn)行非均勻采樣的頻譜分析。頻譜分析結(jié)果分別如圖 1，圖2所示。

其中均勻采樣信號(hào)的頻譜如圖1所示?？梢杂^察到圖中有2個(gè)頻譜成分，分別是150 Hz和 874 Hz。這2個(gè)頻譜成分的相對(duì)幅值十分接近。其中，150 Hz為真實(shí)信號(hào)的頻譜，874 Hz為混疊信號(hào)的頻譜。

觀察圖 2非均勻采樣信號(hào)頻譜圖中4個(gè)信號(hào)的頻譜，分別是 150 Hz、362 Hz、662 Hz和 874 Hz。 其中 150 Hz為真實(shí)信號(hào)的頻譜，幅值為1 V。由于t1時(shí)間段對(duì)應(yīng)的采樣頻率為512 Hz，根據(jù)香農(nóng)采樣定理可知，512 Hz的采樣頻率產(chǎn)生的1 000 Hz以下的混疊信號(hào)分別為 512-150=362 Hz；512+150=662 Hz；2×512-150=874 Hz，由于其他的混疊信號(hào)均超過了1 000 Hz，所以圖中并未顯示，由此可見該采樣頻率產(chǎn)生的混疊信號(hào)分別為 372 Hz、652 Hz和884 Hz。另外，由于t1采樣時(shí)間段的采樣點(diǎn)數(shù)為256點(diǎn)，所以它們的頻譜幅值均為0.25 V。類似的t2還有時(shí)間段對(duì)應(yīng)的采樣頻率為1 024 Hz，該采樣頻率產(chǎn)生的混疊信號(hào)圖中只能顯示出一個(gè)，即1 024-140=884 Hz，由于該混疊信號(hào)和t1采樣頻率的884 Hz混疊信號(hào)重合，且t2采樣時(shí)間段的采樣點(diǎn)數(shù)為256點(diǎn)，混疊信號(hào)頻譜幅值也為0.25 V，所以t1和t2采樣時(shí)間的雙重作用下，使得884 Hz處的頻譜幅值達(dá)到0.5 V。此外，由于t3采樣時(shí)間段產(chǎn)生的混疊信號(hào)頻率均超過1 000 Hz，所以圖中沒有顯示。

從圖 1和圖2之間的對(duì)比可以觀察到，如果使用均勻采樣結(jié)果會(huì)出現(xiàn)混疊信號(hào)與真實(shí)信號(hào)的頻譜幅值非常接近，以至于無法準(zhǔn)確的分辨出真實(shí)信號(hào)的頻譜，所以香農(nóng)采樣定理要求采樣頻率至少為信號(hào)頻率的兩倍以上[9]。由于本例中均勻采樣使用的采樣頻率為1 024 Hz，根據(jù)香農(nóng)采樣定理的要求可知此采樣頻率理論上只能夠檢測到512 Hz以下的信號(hào)[10]，所以圖2.5中874 Hz的信號(hào)將會(huì)被排除（圖中874 Hz信號(hào)是由于采樣周期性延拓的結(jié)果，以下為了說明的方便會(huì)將統(tǒng)稱為混疊信號(hào)）。所以均勻采樣可以使用香農(nóng)采樣定理來排除混疊的頻譜，從而檢測得到真實(shí)的信號(hào)頻譜[11]。如果使用非線性采樣，由圖2可以觀察到，頻譜圖中真實(shí)信號(hào)頻譜的相對(duì)幅值大于混疊信號(hào)的相對(duì)幅值，所以非線性采樣可以方便的直接依據(jù)頻譜的相對(duì)幅值來檢測出真實(shí)信號(hào)。

圖1 均勻采樣頻譜結(jié)果Fig.1 Uniform sampling frequency spectrum

圖2 三折線非均勻采樣頻譜Fig.2 Non-uniform sampling frequency spectrum of Three line

從以上分析可以看出，當(dāng)采樣時(shí)間的非線性程度越大，混疊頻譜的幅值會(huì)不斷的降低?？梢酝葡肴绻麑⒉蓸訒r(shí)間設(shè)置為完全隨機(jī)，那么混疊頻譜的幅值將可能會(huì)下降到更低[12]?，F(xiàn)定義采樣時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中rand定義為均勻分布在（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)，由于隨機(jī)數(shù)的引入，可以認(rèn)為采樣時(shí)間間隔完全隨機(jī)，同樣取N=1 024，對(duì)式簡單正弦信號(hào)再次采樣得到如下的頻譜圖3。

圖3 非均勻采樣頻譜Fig.3 Non-uniform sampling frequency spectrum

3 結(jié) 論

由于真實(shí)信號(hào)不會(huì)隨采樣頻率的不同而變換[13]，在所有的采樣點(diǎn)中，所以都會(huì)含有真實(shí)信號(hào)的信息；而對(duì)于混疊信號(hào)，由于每個(gè)采樣頻率下的混疊信號(hào)都不相同，所以出現(xiàn)混疊頻譜已經(jīng)降低到不足真實(shí)頻譜幅值的1/10，不再會(huì)影響到對(duì)真實(shí)頻譜的檢測。

[1]郭東亮，張鐵軍，戴憲華.基于非均勻采樣的信號(hào)頻率、幅值和相位檢測[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012，32（4）:662-665.

GUO Dong-liang，ZHANG Tie-jun，DAI Xian-hua.Based on the non-uniform sampling signal frequency，amplitude and phase detection[J].Systems Engineering and Electronics，2012，32（4）:662-665.

[2]劉立祥，謝劍英，張敬轅.利用小波對(duì)非均勻采樣信號(hào)進(jìn)行重建[J].通信技術(shù)，2002，2（32）:7-11.

LIU Li-xiang，XIE Jian-ying，ZHANG Jing-xuan.By using wavelet to non-uniform sampling signal reconstruction[J].Communication Technology，2002，2（32）:7-11.

[3]汪安民，陳良福.基于自適應(yīng)陷波的非均勻采樣信號(hào)處理系統(tǒng)[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用，2006，5（36）:13-17.

WANG An-min，CHEN Liang-fu.Based on the adaptive notch of non-uniform sampling signal processing system[J].Computer Engineering and Application，2006，5（36）:13-17.

[4]劉民，鄧丹，卿粼波，等.平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)非均勻采樣的分析[J].江西農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，1（2）:155-157.

LIU Min，DENG Dan，QIN Lin-bo.Non-uniform sampling analysis of stationary random signa[J].Acta Agriculturae Universitatis Jiangxiensis，2005，1（2）:155-157.

[5]張薇薇.平穩(wěn)信號(hào)的非均勻采樣與仿真[J].通信技術(shù)，2009，42（9）:185-189.

ZHANG Wei-wei.Non-uniform sampling and simulation of stationary signal[J].Communication Technology，2009，42（9）:185-189.

[6]高玉凱，張維.非均勻采樣信號(hào)的頻譜分析方法[J].電測與儀表，2009，518（46）:8-11.

GAO Yu-kai，ZHANG Wei.Spectrum analysis method of non-uniform sampling signal[J].Electrical Measurement&Instrumentation，2009，518（46）:8-11.

[7]潘曉峰，劉紅星.一種新的非均勻采樣規(guī)則[J].振動(dòng)、測試與診斷，2003，23（1）:14-17.

PAN Xiao-feng，LIU Hong-xing.A new kind of non-uniform sampling rules[J].Journal of Vibration，Measurement&Diagnosis，2003，23（1）:14-17.

[8]王廷云，初仁欣.多路A/D非均勻采樣信號(hào)的數(shù)字譜分析[J].激光與紅外，2000，52（3）:32-35.

WANG Ting-yun，CHU Ren-xin.Signal digital spectrum analysis of multiple A/D non-uniform sampling[J].Laser&Infrared，2000，52（3）:32-35.

[9]陶然，王越，周思永.周期信號(hào)等效非均勻采樣策略研究[J].兵工學(xué)報(bào)，1999，42（3）:49-53.

TAORan，WANGYue，ZHOU Si-yong.Periodicsignalequivalent non-uniform sampling strategy research[J].Acta Armamentarii，1999，42，（3）:49-53.

[10]劉桂英，粟時(shí)平.利用小波傅里葉變換的諧波與間諧波檢測[J].高電壓技術(shù)，2007，53（6）:25-29.

LIU Giu-ying，SU Shi-ping.Detection between harmonic and harmonic by wavelet Fourier transform [J].High Voltage Technique，2007，53（6）:25-29.

[11]龔黎明，公茂法，李琦.基于傅里葉和小波變換的電力系統(tǒng)諧波分析[J].電子質(zhì)量.2010，15（10）:43-47.

GONG Li-ming，GONG Mao-fa，LI Qi.Based on Fourier and wavelet transformation of the power system harmonic analysis[J].Electronic Mass，2010，15（10）:43-47.

[12]周龍華，付青，余世杰，等.基于小波變換的諧波檢測技術(shù)[J].電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化學(xué)報(bào).2010，78（1）:7-11.

ZHOU Long-hua，F(xiàn)U Qing，YU Shi-jie.The harmonic detection technology based on the wavelet transform[J].Journal of Power System and its Automation，2010，78（1）:7-11.

[13]石芳，鄭文松.脈寬調(diào)制芯片在高壓發(fā)生電路中的應(yīng)用[J].火箭推進(jìn)，2012（1）：68-71，75.

SHI Fang，ZHENG Wen-song.Application of pulse-width modulation chip in high-voltage generating circuit[J].Journal of Rocket Propulsion，2012（1）：68-71，75.