張佩炯，蘇宏升，李曉青，張吉斌

（蘭州交通大學(xué)自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，甘肅蘭州730070）

1 引言

無功優(yōu)化是一個(gè)多約束、大規(guī)模、非線性組合優(yōu)化問題。是當(dāng)電力系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及負(fù)荷情況給定時(shí)，通過對(duì)某些控制變量的優(yōu)化，來尋找在滿足所有約束條件的前提下，使系統(tǒng)的某個(gè)或多個(gè)性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)時(shí)的無功調(diào)節(jié)手段[1]。常用的方法主要分為經(jīng)典算法和人工智能算法。

經(jīng)典算法主要有線性規(guī)劃法、非線性規(guī)劃法、混合整數(shù)規(guī)劃法等。用常規(guī)算法來求解無功優(yōu)化的主要難題是離散變量的歸整、多峰多極值。普遍會(huì)出現(xiàn)誤差大、維數(shù)災(zāi)等問題，從而難以得到理想結(jié)果[2-3]。人工智能算法主要包括模擬退火算法(SA)、遺傳算法(GA)、免疫算法(IA)、蟻群算法(ACA)和粒子群算法PSO)等[4-5]。這些基于群體智能的優(yōu)化算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力，能較好地處理離散、多目標(biāo)優(yōu)化問題，并在電力系統(tǒng)無功優(yōu)化等諸多領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。但單一的算法自身不足很多，存在計(jì)算速度慢，容易陷入局部最優(yōu)解等缺點(diǎn)。因此，采用全局搜索和局部搜索機(jī)制相結(jié)合的混合優(yōu)化算法，能取長(zhǎng)補(bǔ)短，提高全局搜索的能力和精度。

粒子群優(yōu)化算法(PSO)是Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種進(jìn)化算法，它源于對(duì)鳥類捕食行為的模擬[6]。由于其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)調(diào)整方便以及適合計(jì)算機(jī)編程處理等諸多優(yōu)點(diǎn)。在連續(xù)優(yōu)化問題和離散優(yōu)化問題中都表現(xiàn)出良好的效果。但它的缺點(diǎn)是易陷入局部極值，搜索精度不高，進(jìn)化后期收斂速度慢。

云模型是李德毅提出的一種用來定性描述和定性概念與定量數(shù)值表示之間的不確定性轉(zhuǎn)換模型，已經(jīng)在智能控制、模糊評(píng)測(cè)等諸多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[7]。因此進(jìn)化計(jì)算領(lǐng)域也開始關(guān)注云模型。傳統(tǒng)的自適應(yīng)粒子群算法通常采用慣性權(quán)重線性遞減策略，而這種策略往往不能反映出實(shí)際優(yōu)化搜索的過程，因此把種群分成了三個(gè)子群，分別采用不同的慣性權(quán)重生成策略，其中，普通種群的慣性權(quán)重是由云模型的X條件云發(fā)生器[7-8]來調(diào)節(jié)的。但由于基于云數(shù)字特征（期望值、熵值、超熵值）編碼的云粒子群算法在配電網(wǎng)無功優(yōu)化中易陷入局部最優(yōu)，也存在早熟收斂問題，由此對(duì)該方法進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的方法很好地解決了云粒子群算法難于收斂的問題。在IEEE 30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試系統(tǒng)和電網(wǎng)中進(jìn)行了仿真計(jì)算。

2 電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

2.1 目標(biāo)函數(shù)

無功優(yōu)化是在保證系統(tǒng)無功平衡的條件下，以發(fā)電機(jī)端電壓、有載調(diào)壓變壓器變比、補(bǔ)償電容器容量等控制變量為控制手段，以降低系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)損耗、改善電能質(zhì)量為目標(biāo)[9-12]。本文以從經(jīng)濟(jì)角度出發(fā)即有功網(wǎng)損最小為目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)為：

其中，N、M、L分別代表發(fā)電機(jī)的節(jié)點(diǎn)總數(shù)、負(fù)荷節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)、網(wǎng)絡(luò)所有支路數(shù)；Ploss代表系統(tǒng)有功損耗；Ui、Uimax、Uimin代表節(jié)點(diǎn)電壓、電壓上下限；QGi、QGimax、QGimin代表發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)無功出力、無功出力上限、無功出力下限；λν、λG代表越界罰系數(shù)。

ΔUi、ΔQGi的取值如式（2）所示：

2.2 變量約束

狀態(tài)變量[13-15]的約束如下：

其中，QGi為發(fā)電機(jī)無功功率，Ui為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓，QCi為電容器補(bǔ)償容量、Ti為可調(diào)變壓器變比，UGi為發(fā)電機(jī)端電壓。

2.3 功率約束方程

其中，PGi、QGi分別為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)有功、無功出力；PLi、QLi分別為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)有功、無功功率；Gij、Bij、δij分別為表節(jié)點(diǎn)i、j之間的電導(dǎo)、電納和電壓相角差；n為節(jié)點(diǎn)總數(shù)；nPQ為系統(tǒng)PQ節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

3 云粒子群算法的改進(jìn)

3.1 基本CPSO算法

設(shè)粒子群的大小為N，第t次迭代中，粒子Xi的適應(yīng)度值為fi，粒子的平均適應(yīng)度值為

將適應(yīng)度值優(yōu)于favg的適應(yīng)度值求平均得到f'avg，適應(yīng)度值次于favg的適應(yīng)度值求平均得到f''avg。傳統(tǒng)的粒子群算法，其慣性權(quán)重的計(jì)算是根據(jù)一定的迭代公式，且隨著算法迭代次數(shù)的增加和適應(yīng)度值的減小而線性的減小。將群體分成三個(gè)子群，ω的取法按式（8），但采用不同的進(jìn)化策略。其策略為：

（1）若fi優(yōu)于f'avg，則粒子的適應(yīng)值較小，離最優(yōu)解比較近，因此采用較小的慣性權(quán)重，進(jìn)化策略采用“社會(huì)模型”，加快全局收斂的速度；

（2）若fi次于f''avg，粒子的適應(yīng)值較大，離最優(yōu)解比較遠(yuǎn)，采用較大的慣性權(quán)重，進(jìn)化策略采用“認(rèn)知模型”，使這些表現(xiàn)差的粒子加快收斂速度；

（3）若fi優(yōu)于f''avg次于f'avg，此時(shí)粒子的適應(yīng)度值適中，慣性權(quán)重采用云自適應(yīng)慣性權(quán)重，進(jìn)化策略采用“完全模型”[16-17]。

式（6）、（7）、（8）分別是速度更新公式、位置更新公式和慣性權(quán)重的生成規(guī)則。

3.2 改進(jìn)的云粒子群算法（ICPSO）

針對(duì)基于云數(shù)字特征（期望值Ex、熵值En、超熵值He）編碼的CPSO算法存在的問題，做了如下改進(jìn)：

（1）借助群體替代和解空間變換，將全局搜索與局部搜索相結(jié)合。

基本CPSO算法大部分運(yùn)行時(shí)間被消耗在種群更新上，此外在進(jìn)化后期，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)進(jìn)化較慢的局限，對(duì)此引入了群體替代和解空間變換。

群體替代的粒子群優(yōu)化算法主要是通過好多個(gè)粒子群，對(duì)其解空間采用不同的搜索方式進(jìn)行搜索，在這若干個(gè)粒子群中，主要搜索群體為其中一個(gè)粒子群，輔助搜索群體占多數(shù)，在搜索過程中，為了讓主要搜索群粒子的多樣性能得到維持，因此將一部分輔助搜索群粒子和主要搜索群粒子進(jìn)行替代，從而能讓主要搜索群避免因多樣性的缺乏，而陷入早熟，保證主要搜索群能搜索到全局的最優(yōu)點(diǎn)。

在CPSO中，由于粒子的遍歷空間每維均是[-1,1]，為計(jì)算云粒子目前位置的優(yōu)劣性，需要進(jìn)行解空間的變換，將每個(gè)粒子占據(jù)的2個(gè)位置由單位空間I＝[-1,1]n映射到優(yōu)化問題的解空間。記粒子Pj上第i個(gè)云算子為則相應(yīng)的解空間變量為：

然后針對(duì)解空間變換尋優(yōu)，如果所得最優(yōu)值優(yōu)于當(dāng)代最優(yōu)解，則替換當(dāng)代最優(yōu)解。

（2）依據(jù)正態(tài)云算子實(shí)現(xiàn)粒子的變異操作，來改進(jìn)算法的搜索方式。

定義1變異 事先給定閾值N和K，當(dāng)全局極值連續(xù)N代沒有發(fā)生進(jìn)化或者進(jìn)化程幅度小于K時(shí)，認(rèn)為粒子陷入局部極值，對(duì)全部粒子根據(jù)全局極值，通過正態(tài)云發(fā)生器進(jìn)行交叉變異操作[18]。

定義2 一維正態(tài)云算子ArForwardC（Ex,En,He）是一個(gè)把定性概念的整體特征變換為定量表示的映射π:C→Π，滿足以下條件[19]：

其中，Norm（μ,δ）是期望值是μ，方差值是δ的正態(tài)隨機(jī)變量，N為云滴個(gè)數(shù)。利用正態(tài)云算子，把C（Ex,En,He）轉(zhuǎn)換為數(shù)值表示的云滴集合，從而使概念空間與數(shù)值空間的轉(zhuǎn)換得到了實(shí)現(xiàn)。針對(duì)基本CPSO算法進(jìn)化過程中，經(jīng)常出現(xiàn)的非當(dāng)代最優(yōu)解，越進(jìn)化越偏離最優(yōu)解的現(xiàn)象，改進(jìn)措施如下。

種群初始化時(shí)，記錄各個(gè)粒子當(dāng)前的位置和速度的初始值，進(jìn)而計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度，判斷是否達(dá)到變異閾值N，達(dá)到則按照定義1對(duì)每個(gè)粒子進(jìn)行變異操作；否則按照式（6）、（7）對(duì)粒子進(jìn)行更新操作。每代結(jié)束后，將所得到的三個(gè)最優(yōu)解取優(yōu)，作為算法的當(dāng)代全局最優(yōu)解。若最優(yōu)解滿足適應(yīng)度要求，或者迭代次數(shù)達(dá)到初設(shè)代數(shù)，則結(jié)束進(jìn)化。

改進(jìn)后的算法中，期望值Ex，熵值En，超熵值He，度量參數(shù)K以及變異閾值N對(duì)算法的性能有重要的影響，與此同時(shí)，慣性權(quán)重ω，加速因子C1、C2對(duì)算法的性能也有很大的影響。顯然，改進(jìn)措施不僅提高了種群的多樣性，同時(shí)也提高了算法的搜索能力，真正體現(xiàn)了正態(tài)云算子對(duì)粒子進(jìn)行變異操作。

4 基于改進(jìn)云粒子群算法的無功優(yōu)化

在CPSO算法中，由X條件云發(fā)生器產(chǎn)生的云滴drop(x0,μi)作為粒子，利用改進(jìn)的CPSO算法進(jìn)行無功優(yōu)化，其中編碼方式采用連續(xù)與離散變量混合實(shí)數(shù)編碼，其無功優(yōu)化流程圖如圖1所示。

圖1 ICPSO無功優(yōu)化的算法流程圖

在搜索空間中，粒子的位置可表示為：

在式（11）中，位置與無功優(yōu)化的控制變量相對(duì)應(yīng)，UG代表發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓、QC代表可投切并聯(lián)電容器補(bǔ)償量、TK代表有載調(diào)壓變壓器變比，對(duì)于每一個(gè)粒子，維數(shù)與控制變量的個(gè)數(shù)相對(duì)應(yīng)。

5 算例仿真分析

把改進(jìn)后的算法在Matlab7.0上進(jìn)行編程，并對(duì)IEEE30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)和電網(wǎng)進(jìn)行了算例仿真。

IEEE30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)有41條支路、22個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)和6個(gè)發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)。圖2所示為IEEE 30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)。其中，節(jié)點(diǎn) 1、2、5、8、11、13 為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)，且1為平衡節(jié)點(diǎn)，其余為PV節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)10和24為無功補(bǔ)償點(diǎn)；電容器10的調(diào)節(jié)步長(zhǎng)是0.1；節(jié)點(diǎn)24的調(diào)節(jié)步長(zhǎng)是0.02，最大檔都為5檔。支路6-9，6-10，4-12，27-28為變壓器支路，變壓器變比范圍為±8×1.25%，各發(fā)電機(jī)無功出力及電壓上下限如表1所示，功率基準(zhǔn)為SB=100MVA。

圖2 IEEE30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)

表1 PV節(jié)點(diǎn)的有功發(fā)電與PV節(jié)點(diǎn)和平衡節(jié)點(diǎn)的無功發(fā)電上下限值

在相同的初始條件下，分別將PSO算法、CPSO算法、ICPSO算法優(yōu)化50次，種群的大小均設(shè)為100，最大迭代次數(shù)均為500，變異閾值N設(shè)為2，慣性權(quán)值ω由式(8)自行調(diào)節(jié)。取各種算法的最優(yōu)平均值比較，其結(jié)果如表2所示。

表2 IEEE 30節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)不同算法優(yōu)化結(jié)果比較

初始運(yùn)行狀態(tài)下，設(shè)置發(fā)電機(jī)的機(jī)端電壓和變壓器的變比均為1.0，系統(tǒng)總的有功網(wǎng)損為0.0771。本文改進(jìn)的CPSO算法在無功優(yōu)化后得到的系統(tǒng)網(wǎng)損為0.0573。網(wǎng)損下降率為25.16%。

從表2可以看出，改進(jìn)后的算法所得的目標(biāo)值明顯優(yōu)于PSO和CPSO，能夠更好地獲得全局最優(yōu)解，且各節(jié)點(diǎn)電壓幅值都在合格范圍內(nèi)，發(fā)電機(jī)的無功出力均無越限。優(yōu)化后的控制變量如表3所示。

表3 優(yōu)化后的控制變量

圖3所示為PSO、CPSO和ICPSO三種算法的收斂特性曲線。由圖2可以看出，CPSO算法的優(yōu)化曲線在12次以前下降的很快，12次以后下降的很緩慢，但最終的收斂效果不理想。而ICPSO算法在3次以前下降得很快，顯示了該改進(jìn)算法尋優(yōu)機(jī)制的有效性和優(yōu)越性，3次到12次之間有一個(gè)緩沖期，在13次以后緩慢下降，在迭代23次時(shí)已經(jīng)接近最優(yōu)值。

圖3 PSO、CPSO和ICPSO算法的收斂特性曲線

玉門電網(wǎng)有12個(gè)發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)，54個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，71條支路，14個(gè)無功補(bǔ)償點(diǎn)，19條可調(diào)變壓器支路。將種群規(guī)模設(shè)為50，最大迭代次數(shù)設(shè)為100，對(duì)PSO算法和本文提出的改進(jìn)CPSO算法各運(yùn)行50次，平均優(yōu)化結(jié)果如表4所示。

表4 玉門電網(wǎng)不同算法優(yōu)化結(jié)果比較

從表4可以看出，本文改進(jìn)后的CPSO算法網(wǎng)損要比基本的CPSO算法網(wǎng)損要降低近一個(gè)百分點(diǎn)，降低初始狀態(tài)網(wǎng)損為4.4MW，找到最優(yōu)解的迭代次數(shù)要比基本CPSO算法的次數(shù)要少，可見改進(jìn)后的算法具有較好的收斂性和精確性。

6 結(jié)論

本文將改進(jìn)的CPSO算法分別運(yùn)用到IEEE30節(jié)點(diǎn)測(cè)試系統(tǒng)和玉門電網(wǎng)中進(jìn)行無功優(yōu)化。充分利用了云滴的隨機(jī)性和穩(wěn)定挺向性的特點(diǎn)，通過解空間的變換實(shí)現(xiàn)了全局與局部搜索方式的有機(jī)結(jié)合，并用正態(tài)云算子實(shí)現(xiàn)了粒子的交叉變異操作。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法在尋優(yōu)速度和精度上都有了提高，并且有很好的計(jì)算效率和收斂穩(wěn)定性。

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