石 茂

（陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院，陜西 西安 710062）

非均勻有理B-樣條參數(shù)曲線(NURBS)是計算機輔助幾何設計和計算機圖形學的主要數(shù)學工具之一。它不僅可以精確表示二次曲線，還可以通過權因子ωi調控曲線的形狀。給定節(jié)點向量u={u0,u1,…,un}，權因子向量ω= { 1,ω1, … ,ωn-1,1}及其控制頂點pi,0≤i≤n，p次NURBS曲線可遞歸定義為[1]

其中Ni,p(u)是p次B樣條基函數(shù)，且有如下遞歸定義：

其中(u)可以看成是關于權因子ωi的函數(shù)族。到目前為止，雖然對權因子ωi→+∞時，NURBS參數(shù)曲線的收斂性有了一些重要的結果，但是，依舊沒有一個比較權威的結論。Pigel在文獻[2, 3]中指出有理參數(shù)曲線的極限為 3個點，但是，在文獻[2]中又給出其幾何意義為兩條線段ipp0和nipp。雖然這一結論令人困惑，但已被幾何設計和計算機圖形學界廣為接受[4,5]，并被推廣到了NURBS曲線上[6-9]。在文獻[10]中，雖然指出有理參數(shù)曲線具有逐點收斂和非一致收斂性;但是在一般情況下，逐點收斂并不能推出L1收斂[11]，而L1收斂則能很好的解釋收斂曲線為線段p0pi和pipn這一問題。因此，對有理參數(shù)曲線的L1收斂的研究是很有必要的。本文在文獻[12]的基礎上給出 NURBS參數(shù)曲線關于某一權因子ωi→+∞時的收斂性分析。全文用到的逐點收斂，一致收斂，L1收斂和拓撲同胚等相關概念。讀者可以查閱本文給出的相關參考文獻[13-15]。不失一般性，本文僅僅考慮u∈ [ui,ui+1]區(qū)間上的一條NURBS曲線。

1 非一致收斂

引理1 有理基函數(shù)是關于權因子iω逐點收斂的，而不是一致收斂的。

證明：由

可得命題成立。

引理2 給定2個固定常數(shù)c,d∈R，u＜c＜d＜u。那么(u)在u∈ [c,d]上是關

ii+1于權因子ωi一致收斂的，且(u)?1，其中“?”代表“一致收斂”。

證明：對?ε＞0，由

定理1 對p次NURBS曲線，當ωi→+∞時，其在u∈ [ui,ui+1]是逐點而非一致收斂的。

定理2 給定兩數(shù)c,d∈R,且ui＜c＜d＜ui+1，對 ?u∈ [c,d]，當ωi→+∞ 時，NURBS曲線是一致收斂的。

2 L1收斂

對NURBS參數(shù)曲線的L1收斂分析要涉及到積分計算，那將是一個非常繁雜的過程，以至于可能得不到解析表達式。在本文中，將應用同胚這一概念對此問題進行分析。這是因為，在拓撲分析中，如果兩個空間是同胚的，那么它們具有相同的幾何性質，所以這兩個空間也可以看成是相同的[14]。

定理3[15]仿射變換是同胚變換，即仿射變換后的曲線和源曲線是同胚的。

通過定理3，可以將被積區(qū)域簡化為由參數(shù)曲線和x軸形成的單連通區(qū)。

定理4[16]任何平面單連通閉合曲線同胚于圓周。

定理4為龐加萊猜想n=2的情況。因此，如果我們要討論在區(qū)間u∈ [ui,ui+1]上的任意一條p次NURBS曲線關于權因子ωi→+∞時的L1收斂性，那么,僅僅考慮與其同胚的特殊曲線就可以了。

定理5 當ωi→+∞時，任意一條三次有理Bézier曲線L1收斂到線段p0pi和pi p3(i=1,2)。

如圖1所示。

圖1 平面一三次有理Bézier曲線C(u)，通過通胚變換到曲線P(u)示意圖，其中q0對應p0，q1對應p1，q2對應p2，q3對應p3，權因子也依次對應

證明：由定理3和定理4，可以得到任意一條三次有理 B é z i e r參數(shù)曲線與以p0= ( 0,0),p1= ( 0,1),p2= ( 1,b),p3= (a,0)為控制頂點，其中a＞0，ω= ｛ 1,ω1= 1 ,ω2,1｝為權因子的有理三次參數(shù)曲線P(u)是同胚的（如圖1所示），相應的表達式為：

通過mathematica求解得

因此,說明當權因子ω2→+∞時，任意一條三次有理Bézier參數(shù)曲線收斂到線段p0p2和p2p3如圖2所示。

圖2 當權因子→+∞ 時，三次有理Bézier曲線P(u)收斂到線段 p 0 p2和 p 2p3

類似，也可以證明當權因子ω1→+∞時，任意一條三次有理 Bézier參數(shù)曲線收斂到線段p0p1和p1p3。最終命題得證。

本方法還可以推廣到對更高次有理參數(shù)曲線的關于權因子ωi→+∞時的討論上。

4 結 論

本文討論了 NURBS參數(shù)曲線的收斂性分析。如何求高次有理參數(shù)曲線的面積和對有理參數(shù)曲面的收斂性分析，將是我們今后研究的重點問題。

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