梁堅生，陳 樂

（玉林師范學院，廣西 玉林 537000）

非線性聚集生長是一種常見的不可逆自然現象，如大氣顆粒物的形成過程、固體沉積物的凝聚、液體懸濁物的沉淀、點陰極下金屬的電沉積、準晶體的生長等過程，該類過程的一個顯著特點就是生長得到的凝聚物（聚集物）大多具有分形結構[1－5]，如圖1所示。為了研究非線性聚集生長過程的物理機制及其相關的物理特性，1981年美國物理學家Witten和Sander就提出了著名的擴散限制凝聚模型（Diffusion－limited aggregation，簡稱DLA模型 ），該模擬最初用于研究懸浮在溶液或大氣中的煤灰煙塵和粉末等微粒對凝聚過程。DLA模型及在DLA基礎上發(fā)展的多種模型（如1983年由物理學家P.Meakin在DLA模型基礎上提出的集團—集團凝聚模型，簡稱CCA模型）均已成為研究非線性聚集生長的重要模型[6－7]。

圖1 從實驗獲得的煙霧顆粒物的放大圖像

由于DLA模型相對簡易，且模擬得到的凝聚物與實驗得到的電化學沉積物在形態(tài)、結構上又非常相似，所以在過去的30多年里面，人們利用DLA模型及其相關模型模擬研究了自然界中大量聚集過程，探索了凝聚物形成的物理機制、過程特點及影響凝聚的各種因素。實驗研究方面，由于電化學沉積物與DLA模型模擬得到的凝聚物在形態(tài)上較為相似，人們便將電沉積過程的研究與DLA模擬的研究密切地聯(lián)系起來。長期以來，人們利用計算機模擬與實驗研究相結合的方法對非線性聚集生長的理論進行了大量的研究并取得了豐富的成果。另外，非線性聚集生長的理論研究成果還在實際凝聚生長研究方面有著廣泛的應用。例如，非線性聚集生長的計算機模擬能較好地模擬自然中大氣顆粒物的形成過程，這有利于研究固體沉積物的物理性質和沉積的生長過程。其最大的優(yōu)點就是可以通過計算機的方法，輕易地實現非線性聚集生長過程的模擬，通過改變模擬的參數探索不同條件下凝聚物的生長，以及不同條件下形成凝聚物的結構特征，分析形成的物理機制以及凝聚物的分形維數等方面的信息。非線性聚集生長理論還在薄膜生長方面有著廣泛的應用，對于探索不同條件下薄膜的生長，以及形成薄膜的特性等方面，具有良好的應用前景。

本文將介紹非線性聚集生長計算機模型與生長規(guī)則和非線性聚集生長的實驗原理與裝置，闡述了計算凝聚物分形維數的模擬方法和實驗計算方法，以及非線性聚集生長理論在大氣顆粒物、薄膜生長方面的應用研究，這對于全面了解非線性生長理論及其應用有一定幫助。

1 二維DLA模型的計算機模擬與生長規(guī)則

P.Meakin最先在文獻[8]中給出了二維傳統(tǒng)DLA模型的計算機模擬與生長規(guī)則，其基本思想如下：

（1）將二維正方形平面分割成許多相同小方格，形成點陣，在點陣的正中心放置一個粒子，稱為種粒子。

（2）在以種粒子為圓心，半徑足夠大的圓周上隨機釋放一個粒子，并在點陣內作無規(guī)行走，步距為一個小方格的邊長。如果粒子抵達種粒子（或凝聚集團其它粒子）的最近鄰（或次近鄰）格點，則停止運動并固定成為集團的一個組成部分。

（3）如果粒子行走到與種粒子距離過遠時，取消該粒子。重復（2）過程。

（4）不斷重復（2）和（3）過程，則可形成逐漸長大的DLA凝聚集團。

模型如圖2所示，由該模型所得到的一個粒子數凝聚物如圖3所示，凝聚物具有統(tǒng)計自相似性的分形特征和開放性的樹枝狀結構。

圖2 DLA模型的計算機模擬圖

圖3 隨機模擬得到粒子數的凝聚物

2 非線性聚集生長的實驗原理與裝置

通過在硫酸鋅、硫酸銅溶液中極進行電解沉積的方法，可以得到在形態(tài)、結構上與二維DLA模擬凝聚物相似的沉積物，該類沉積物還具有DLA凝聚物相似的分形特征。通過控制或者選取不同的溶液濃度、不同的電場強度和不同的電極形狀等，可以得到不同形狀和結構的沉積物。

在文獻[9]中，實驗將ZnSO4溶于蒸餾水中配成0.5mol／L的 水溶液。實驗裝置如圖4所示，環(huán)繞培養(yǎng)器（直徑約為6cm）邊緣的細銅薄片作為陽極，培養(yǎng)器中心區(qū)域上方懸掛的細鉛筆心作為點陰極，實驗中以濾紙作為載體進行，如圖5所示。通過該實驗，選取合適的電壓，即可以很快得到Zn的電沉積物。從沉積物的形態(tài)來看，沉積物與模擬凝聚物非常相似，具有開叉性的樹狀結構。

圖4 電沉積Zn實驗裝置圖

在傳統(tǒng)的DLA模型中，隨機擴散是粒子凝聚過程中起主導作用的生長動力，利用擴散理論對凝聚物生長形成的物理機制進行了深入研究，并在隨機擴散理論的框架內對隨機生長進行了大量的計算機模擬，取得了豐富的理論成果，且大大加深了對非線性聚集生長形成機制的認識。然而，相對于電解沉積生長的實驗而言，僅靠擴散動力并不能有效地形成沉積生長，必須在溶液內部通以電流，以便形成合理的電場分布，電場力在沉積物的形成過程中發(fā)揮了至關重要的作用。正是由于電場力的作用，使得沉積物的生長過程及沉積物的形狀與電場線的分布有關，所以電解沉積物的形狀與電極的形狀有關，不同的陰極形狀將會得到不同形狀的沉積物[9]，如圖6和7所示。

圖5 點形陰極沉積物生長花樣

圖6 線形陰極沉積物生長花樣

圖7 圓形陰極沉積物生長花樣

3 凝聚物分形維數的計算

分形結構是非線性聚集生長凝聚物的一個重要特征，通過分形維數可以定性地描述凝聚物的分形特征。自從DLA模型問世以來，人們曾做了大量的工作來確定凝聚集團的分形維數。其中，在計算機模擬上較為常用的方法是“密度相關函數法”[6]和“回轉半徑法”[8]等，在理論上較為常用的則是物理學家M.Muthukumar利用“平均場理論”（Mean－Field Theory）導出的計算DLA集團分形維數的方法[10]。雖然方法各異，但它們得到的結果卻基本一致，都認為較為理想的計算了DLA集團的分形維數。

對于回轉半徑法，一般令DLA凝聚集團的回轉半徑為[8]：

其中：N為凝聚集團的粒子數，ri為第i個粒子離種粒子的距離。則Rg與N的標度關系為：

式中Df為凝聚集團分形維數。由上式，如果以lnRg為橫坐標，lnN為縱坐標，作出Rg與N的雙對數曲線lnRg～lnN，則Df為該曲線的斜率。通過計算機模擬容易得到[11]，二維DLA凝聚集團，其維數Df≈5／3，三維DLA凝聚集團，Df≈2.50。

對于實驗得到沉積物，由于實驗難以實現對沉積物“回轉半徑”的計算，所以對于實驗沉積物分形維數的計算，一般利用電鏡拍下沉積物的生長圖并導入計算機，然后通過編寫計算機程序對沉積物的分形維數進行計算。目前該方法大多采用“盒維數”的思想計算其分形維數，該方法的基本思想如下：

（1）將沉積物的圖像導入計算機程序中，然后對圖像進行二值化處理，即使圖像上每一個像素點為黑或白兩種顏色，如圖6所示。

（2）采用二維的正方形網格對圖形進行覆蓋，然后把二值化圖像轉化成數據文件，其行列數分別對應于二值圖的行列數，每一個數據取值1或0，如果是黑色，則對應的數據取1，否則取0。

（3）在正方形網格的中心選擇一點，并以該點為圓心作一系列等間隔的圓（用R表示圓的半徑），形成一系列的同心圓環(huán)。

（4）以lnR為橫坐標，lnN為橫坐標，N為圓半徑R范圍內的像素數（即將二值圖內的所有的1值相加），做出R和N的雙對數曲線lnR～lnN，則該曲線的斜率為凝聚物的分形維數，如圖7所示。利用該方法，得到圖5、6、7沉積物的分形維數分別為1.721、1.749和1.759[9]。該結果與 DLA模擬結果1.67的值相差不大。

圖8 分形圖的二值化處理

圖9 半徑R與像素數N的雙對數曲線

4 非線性聚集生長理論的應用研究

4.1 在大氣顆粒物研究中的應用

大氣顆粒物的形成過程就是一種常見的非線性聚集生長過程[12－14]。目前利用非線性聚集生長理論研究大氣顆粒物方面，主要包括利用聚集理論探索大氣顆粒物的形成過程，分析大氣顆粒物的分形特征和物理結構，推斷大氣顆粒物的粒子來源，分析粒子來源的種類等。研究表明，許多大氣顆粒（如煤煙、灰塵）的形成過程與DLA模型或CCA模型的形成過程相似，形成的顆粒物通常具有分形結構。因此，通過分析大氣顆粒物的分形特征，不但可以深入探討大氣顆粒物形成的物理機制，還可以了解不同顆粒物的相關物理特性，如大氣顆粒物的粒度分布、表面特征等。研究還表明，不同條件下凝聚得到顆粒物，雖然一般具有分形特征，但其分形維數和分形結構卻不完全相同[12]。因此，通過比較不同顆粒物的分形維數和分形結構等方面的差異，有助于推測顆粒物的形成環(huán)境，了解顆粒物粒子源的相關信息等。另外，大氣顆粒物對人體的危害與其分形結構有關，因此，通過對顆粒物的分形特性的分析還有助于了解顆粒物的致毒效應等。

4.2 在薄膜生長研究中的應用

薄膜生長也是一種常見的非線性生長過程，薄膜形成的早期階段一般包括粒子在襯底上的沉積、簇或島的形成和長大，以及相互連接形成的連續(xù)性結構，其中形成薄膜的晶粒尺寸、晶粒對電子遷移阻力的大小等，都對薄膜的生長過程以及薄膜性能的好壞產生重要影響。因此，非線性生長理論的研究對于揭示薄膜生長的物理過程有著重要的指導意義。主要表現在于以下幾個方面[15－18]：（1）從原子或者分子的尺度模擬薄膜的結構和行為，動態(tài)顯示薄膜的生長過程；（2）分析環(huán)境因素對成膜生長的影響；（3）從原子、分子的尺度分析各種環(huán)境中成膜生長的物理機制；（4）在一定程度上有助于了解由于實驗條件所限造成的薄膜生長過程中的“黑箱”生長，揭示實驗中影響薄膜生長的各種客觀因素，從而能更好地開展實驗工作，節(jié)約實驗成本和提高實驗效率。

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