趙彥惠

(中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所，河北石家莊050081)

0 引言

連續(xù)相位調(diào)制(CPM)是一類恒包絡(luò)相位連續(xù)的調(diào)制方式［1］。由于CPM調(diào)制方式的射頻信號(hào)是包絡(luò)恒定的，故它對(duì)放大器的非線性不敏感，同時(shí)射頻信號(hào)的恒包絡(luò)性可以大大降低接收端的復(fù)雜度［2］。其傳輸相位在時(shí)間上是連續(xù)的，帶外功率小，臨信道干擾小，具有較高的帶寬和功率利用率。因此被廣泛應(yīng)用于移動(dòng)通信和衛(wèi)星通信領(lǐng)域，在全球通GSM系統(tǒng)中采用的高斯濾波最小頻移鍵控GMSK調(diào)制方式即為二進(jìn)制連續(xù)相位調(diào)制［3，4］。在傳統(tǒng)CPM調(diào)制基礎(chǔ)上，介紹了一種引入多項(xiàng)式函數(shù)實(shí)現(xiàn)相位平滑的新方法。

1 連續(xù)相位調(diào)制

在連續(xù)相位調(diào)制信號(hào)中，信息符號(hào)是通過(guò)改變載波的相位來(lái)發(fā)送的，對(duì)于所有的符號(hào)序列，傳輸?shù)南辔皇沁B續(xù)的。CPM傳輸信號(hào)可表示為［5，6］:

式中，T為符號(hào)間隔;E為符號(hào)能量;fc為載波頻率。α ={α1，α2，α3…}為經(jīng)過(guò)映射的 M 進(jìn)制數(shù)據(jù)序列。一般情況下 M∈{2，4，6，8，16…}，αi∈{±1，±3，…，±(M－1)}。對(duì)于第n個(gè)碼元，相位函數(shù)為:

式中，h為調(diào)制指數(shù);ψ(t)為相應(yīng)的頻率函數(shù)g(t)的積分函數(shù)，即

2 多項(xiàng)式函數(shù)實(shí)現(xiàn)相位平滑

2.1 多項(xiàng)式函數(shù)模型的建立及求解

下面介紹一種引入了相關(guān)性的多項(xiàng)式信號(hào)形式，并用這種信號(hào)來(lái)實(shí)現(xiàn)相位軌跡的平滑過(guò)程。它可以用多項(xiàng)式f1(t)和f2(t)來(lái)表示。在時(shí)間區(qū)間［0，T/2］內(nèi)，任何函數(shù)都可表示為如下多項(xiàng)式形式:

式中，Bn，n=0，1，2…是多項(xiàng)式的系數(shù)，在確定它們的值時(shí)，應(yīng)考慮函數(shù)f1(t)存在的邊界條件，通過(guò)邊界條件限制來(lái)得到具有優(yōu)良功率譜特性的信號(hào)。相關(guān)性的限制條件可表達(dá)為如下形式:

根據(jù)信號(hào)的相關(guān)理論可知，如果時(shí)間有限長(zhǎng)信號(hào)在2個(gè)時(shí)間端點(diǎn)處滿足(γ－1)階以下的導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，并且γ階導(dǎo)數(shù)處處為有限值的條件下，那么它們的帶外功率譜的衰減速度不小于c/fγ+1，c為常數(shù)，因此可以說(shuō)γ決定了所得信號(hào)帶外功率譜的衰減速度。取邊界限制條件f1(0)=0，f1(T/2)=1，為保證函數(shù)f1(t)在邊界t=0及t=T/2上滿足(γ－1)階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，可得到以下方程組:

則在給定γ值的情況下，可通過(guò)建立以下方程組來(lái)求解多項(xiàng)式f1(t)中的各項(xiàng)前的系數(shù):

從以上方程組可以得出給定的γ值與最小的多項(xiàng)式冪級(jí)數(shù)值n滿足如下關(guān)系，即n=2γ－1。解方程組可得到不同n值條件下f1(t)的表達(dá)式:

2.2 相位平滑函數(shù)的求解

取一個(gè)碼元周期T的時(shí)間內(nèi)相位變化值為π/2，調(diào)制系數(shù)為 0.5，即，可以求得在n為不同值條件下的頻率調(diào)制函數(shù)。

取n=5為例，所得曲線如圖1所示。

圖1 n=5時(shí)的頻率調(diào)制函數(shù)gf(t)

根據(jù)頻率與相位的關(guān)系可以得到相位調(diào)制函數(shù)的表達(dá)式ψ(t):

其波形圖如圖2所示。

圖2 n=5時(shí)的相位調(diào)制函數(shù)ψ(t)

在圖3中給出了二進(jìn)制隨機(jī)序列為0110111100時(shí)的相位變化圖。

從圖2和圖3可以看出，相位變化軌跡較平滑，不但保持連續(xù)，而且滿足碼元周期拐點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

圖3 二進(jìn)制隨機(jī)序列為0110111100時(shí)的相位變化

作為比較分析，可以分別得出n=3，7，9時(shí)的頻率調(diào)制函數(shù)及相位調(diào)制函數(shù)的表達(dá)式:

2.3 調(diào)制方案及頻譜分析

可以采用2種正交調(diào)制方案實(shí)現(xiàn)信號(hào)的調(diào)制過(guò)程。一種為相位波形存儲(chǔ)法，即根據(jù)所傳輸?shù)亩M(jìn)制隨機(jī)信息形成相位信號(hào)，再分別乘以正弦及余弦，從而形成基帶信號(hào)，然后分別乘以正余弦載波信號(hào)、相加，最終形成調(diào)制信號(hào);另一種方法與MSK信號(hào)正交調(diào)制的方法類似，即先形成正交調(diào)制系統(tǒng)同相信道及正交信道中的基帶碼元函數(shù)，根據(jù)所傳輸?shù)亩M(jìn)制隨機(jī)信息輸出相應(yīng)的基帶碼元函數(shù)，形成基帶信號(hào)，然后分別乘以正余弦載波信號(hào)、相加，最終形成調(diào)制信號(hào)?；鶐Тa元函數(shù)(n=5為例)可表達(dá)為如下形式:

其波形如圖4所示。

圖4 n=5時(shí)的基帶碼元函數(shù)曲線

應(yīng)用MATLB軟件計(jì)算了所得信號(hào)的功率譜密度，并與傳統(tǒng)MSK信號(hào)的歸一化功率譜進(jìn)行了比較，如圖5所示。

圖5 歸一化功率譜密度曲線

圖5中曲線1表示MSK信號(hào)［4］的功率譜，曲線2表示n=5時(shí)的多項(xiàng)式函數(shù)作為相位調(diào)制函數(shù)時(shí)所得信號(hào)的歸一化功率譜，曲線3表示n=11時(shí)的多項(xiàng)式函數(shù)作為相位調(diào)制函數(shù)時(shí)所得信號(hào)的歸一化功率譜。其中，G為所得信號(hào)的歸一化功率譜。Gs為G(f)在f=0時(shí)的值，即Gs=G(0)。

從圖5中可看出，在 G/Gs為 －60 dB、n=5、多項(xiàng)式函數(shù)U(t)作為正交調(diào)制信道的碼元函數(shù)時(shí)，頻帶寬度為3.7fT，而MSK的頻帶寬度為7.8fT，減小了2.1倍，比MSK的功率譜衰減速度明顯加快，帶外信號(hào)能量輻射小，即對(duì)鄰信道信號(hào)的干擾小。n=11時(shí)的多項(xiàng)式函數(shù)作為相位調(diào)制函數(shù)時(shí)所得信號(hào)的歸一化功率譜相對(duì)于n=5時(shí)的歸一化功率譜的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在－100 dB以下衰減速度明顯加快。隨n增大，相位調(diào)制函數(shù)曲線變化更為緩慢，其相位變化軌跡更為平滑了。

3 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種引入多項(xiàng)式函數(shù)實(shí)現(xiàn)連續(xù)相位調(diào)制信號(hào)相位平滑的新方法，給出了多項(xiàng)式函數(shù)的求解過(guò)程。從所給出的相位變化軌跡及歸一化功率譜密度曲線來(lái)看，所得信號(hào)的相位更平滑，在碼元周期拐點(diǎn)不但保持連續(xù)，而且拐點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)仍然保持連續(xù)，因此，信號(hào)的頻譜特性得到了極大的改善，結(jié)果證明了該方法的可行性。

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［2］AULIN T，SUNDERG C E W.Continuous Phase Modulation-part II;Partial Response Signaling［J］.IEEE Trans.Inform.Theory，1981，29(3):210 －225.

［3］馬 雯.連續(xù)相位調(diào)制信號(hào)的功率譜及帶寬特性研究［J］.現(xiàn)代電子技術(shù)，2010(5):38 －41.

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