宋 君， 文 磊， 雷 菁， 李文雯

（國防科學技術大學 電子科學與工程學院，湖南 長沙 410073）

0 引言

自從香農定理提出以后，人們一直在尋找一種性能好、實現簡單的糾錯碼，但是事實是，性能好的碼字其編碼復雜度越高，難于在實際的設備中使用。在眾多的糾錯碼中，RS碼已被很多領域證明是一種極具優(yōu)勢的好碼，由于 RS碼是一種線性分組碼，因此可以糾正隨機差錯，RS碼又是一種多進制碼，所以在糾正突發(fā)差錯的能力，RS碼是一種循環(huán)碼，實現簡單，這些優(yōu)點使得 RS碼是最優(yōu)的線性分組碼，也是很多領域中應用具有很好前景的碼字，目前 RS碼在智能探測車通信模塊中、水聲通信技術、低頻導航系統(tǒng)、超短波通信、車載無線通信、空空導航遙測系統(tǒng)、IPTV（網絡電視）以及現代數字電子技術領域中都有應用，并且已被驗證過在應用中具有非常良好的性能，能夠更好的完成預達目的，所以 RS碼將在未來具有很強的應用優(yōu)勢和發(fā)展空間。

1 RS碼編碼實現

圖1 多項式除法電路

基于如上的除法電路，可以得到如圖 2的 RS碼編碼電路。

圖2 RS碼編碼電路

具體的編碼過程如下：

1）2t個移位寄存器的初態(tài)全為0，開關0閉合，開關1打至a端。信息組以高位先入的順序進入電路，一路直接經編碼輸出端輸出，另一路送入 ()g x的除法電路，即完成了的運算。

2）k次移位后，信息組全部輸出，同時它也全部進入除法電路完成相應的除法運算。移位寄存器中存儲的數值即為余式 ()r x的系數，即 RS碼的校驗元。

3）開關0打開，開關1打至b端，移位寄存器中的校驗元經過2t次移位后跟在信息組后面輸出，形成一個已完成編碼的完整碼字。

4）開關0閉合，開關1打至a端，送入下一個信息組重復上述過程[1]。

根據以上電路設計實現 RS碼編碼器。設某個RS碼的信息元個數為k，校驗元個數為2t，生成多項式為代表編碼電路中的移位寄存器，其中則校驗元的計算流程如圖3所示。

在完成以上的流程后，2t個移位寄存器中存儲的結果即為 RS碼編碼信息序列所對應的校驗元。將原始信息序列與校驗元排列為系統(tǒng)碼的形式，即可得到一個RS碼的完整的碼字[2]。

基于以上內容，編程實現了RS碼的編碼函數，并將其與MATLAB軟件中內置的RS碼編碼函數進行比較，結果如表1所示。

由表2可以看出，自編函數的編碼結果與內置函數的編碼結果完全相同。

圖3 RS碼校驗元計算流程

表1 兩種編碼函數的編碼結果

2 RS碼譯碼的BM算法實現

在BCH碼和RS碼的譯碼問題主要歸結于一個關鍵方程的求解，即錯誤位置多項式的求解。各種譯碼算法實際上也是錯誤位置多項式的求解而展開。由于BM算法適合于軟件實現，因此被應用于本文，并在以下進行詳細深入的討論。

設上文中提到的錯誤位置多項式有如下形式：

很顯然可以看出，錯誤位置數就是()xσ根的倒數[3]。

下面引入表征()xσ的系數和校正子分量之間關系的方程，即廣義牛頓恒等式：

設第μ次迭代確定的最低次數多項式為()()xμ σ =,使其滿足如下lμμ-個恒等式：

重復以上步驟，直至完成2t步迭代。在第2t步迭代中，得到：

當碼元中的錯誤數目不超過t時，這個多項式就是所求的錯誤位置多項式[4]。

如果 0dμ= ，設；如果 0dμ≠ ，需要對做出相應的修正。先返回第μ次迭代前的各步，確定多項式()()xρ σ ，使得 0dρ≠ 且 lρρ-具有最大值，lρ表示多項式()()xρ σ 的次數，然后令：

在非計算機運算中，()xσ迭代過程表可以幫助更好地理解BM算法的迭代過程，也可以避免因較多的運算而造成的計算錯誤。()xσ迭代過程表如表2所示。

表2 迭代過程表

表2 迭代過程表

μ()xσdμ lμlμ μ--1 1 1 0 -1 0 1 1S 0 0 1 2?2 t

編程實現BM算法的具體步驟如下：

1）初始化。令(1)()1xσ-=，11d-=，10l-=；

3）計算1dμ+進行下一次迭代，重復步驟2直至

BM算法的流程圖如圖4示。

圖4 BM算法流程

3 仿真比較分析

在對基本理論知識加以掌握和了解的基礎上，使用MATLAB軟件構建了RS碼編譯碼器的仿真平臺，并對RS碼的糾錯性能進行了仿真。

首先將自編的RS碼譯碼函數性能與MATLAB內置 RS碼譯碼函數性能相比較。設 5m= ，碼長，糾錯能力為 3t= ，發(fā)送端發(fā)送的為全0碼字，采用BPSK調制方式，模擬信號在二元對稱信道上傳輸，信道的信噪比從4 dB至7 dB遞增。兩種譯碼實現的性能如圖5示。

由圖5曲線可以看出，在相同信道條件下，兩種譯碼實現的誤碼率在數量級上基本保持一致。因此得知，自編RS碼譯碼函數性能與MATLAB內置RS碼譯碼函數性能大致相同。但在實驗中發(fā)現，盡管在性能上保持大致相同，但是自編函數在運算速度上不及MATLAB內置函數[7]。

圖5 3m= 時兩種譯碼實現性能的比較圖

圖6 RS碼糾錯性能

由圖中曲線可以看出，傳輸信號的誤碼率總體上隨信噪比的增加而降低。在高信噪比的條件下，RS碼具有較為理想的糾錯效果，能夠保證接收到的碼字在糾錯后具有較低的誤碼率。但在低信噪比條件下，由于噪聲的增強，可能出現誤碼個數超出糾錯能力的情況。在這種情況下，RS碼不僅不能實現糾錯，甚至在誤碼個數超過碼的最小距離時，可能將接收到的碼字譯成另一個與原始碼字完全不同的碼，從而造成更大的誤差。同時也可以看出，在碼長相同的條件下，t值越大碼的糾錯性能越好。在具體工程實踐中，需要根據信道的實際情況和對通信質量的具體要求，選擇合適的碼形[9]。

4 結語

本文主要介紹了 RS碼的實際應用和編譯碼器的設計實現。在編碼方面，首先介紹了 RS碼編碼的基本原理，然后引入了使用生成多項式 ()g x編碼的n k- 級編碼器，它基于多項式的除法電路構建，能夠生成所需要的系統(tǒng)碼。在譯碼方面，詳細分析了 RS碼譯碼算法中較為典型、也是在本項目中使用的BM算法，包括基本原理、具體步驟、算法流程等幾個方面。最后，依托 MATLAB軟件搭建的RS碼編譯碼器仿真平臺對RS碼的糾錯性能進行分析，得到相應的結論。在此過程中，所使用的仿真函數都是自編函數，并將自編函數的性能與MATLAB軟件內置函數的性能進行了比較。

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