安徽省馬鞍山市外國語學(xué)校 司擎天 執(zhí) 教 （郵編：243000）

安徽省馬鞍山市教育科學(xué)研究院 劉義杰 評 析 （郵編：243000）

活動目標 （1）通過分析數(shù)據(jù)、尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)并驗證課例中f、m、n三者關(guān)系.

（2）讓學(xué)生在“做”中學(xué)，通過實際操作獲得親身體驗，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.強化學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的主體地位，發(fā)揮學(xué)生的積極性、主動性和創(chuàng)造性，自主地投入活動.

（3）通過動手操作、觀察類比、分析歸納、合作交流等一系列探究活動，了解解決問題的過程和方法；經(jīng)歷從特殊到一般的過程，體驗觀察、探索、猜想、驗證的數(shù)學(xué)思維方式.

活動重點 經(jīng)歷實踐活動的過程，學(xué)會尋找思考問題的著眼點，掌握研究問題的方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.

活動難點f、m、n三者之間關(guān)系的探究.

活動過程 本活動分為兩個階段.

第一階段：課內(nèi)活動

1 提出問題

師：出示PPT1.這是2002年8月在北京舉行的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會期間，國際數(shù)學(xué)大師陳省身先生給少年兒童的題詞“數(shù)學(xué)好玩”.今天我們就以2012年我省的一道中考題為背景，一起再感受一下“數(shù)學(xué)好玩”.

PPT2.問題 在由m×n（m×n＞1）個小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)f與m、n之間的關(guān)系.

評析 從“數(shù)學(xué)好玩”的角度提出問題，激發(fā)了學(xué)生的探究欲望.

2 明確問題

觀察圖形，明確m、n、f的含義.請學(xué)生說出圖中m、n、f的數(shù)值.

3 探究問題

師：現(xiàn)在請大家任取m、n的值，在方格紙（課前已發(fā)給學(xué)生）上畫矩形網(wǎng)格，探究f與m、n之間的關(guān)系.

學(xué)生畫圖，教師巡視.

從巡視中發(fā)現(xiàn)，每個學(xué)生都畫了許多不同的矩形網(wǎng)格，有的還將m、n、f的值以表格形式呈現(xiàn)出來.

評析 教師要求學(xué)生任取m、n的值，在方格紙上畫矩形網(wǎng)格，探究f與m、n之間的關(guān)系.拓展了問題的思維空間，體現(xiàn)了“做”中學(xué)，凸顯了學(xué)生的主體地位，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動性和創(chuàng)造性.

師：請說出選取的m、n的值和由此得到的f的值.

生1：（板書）

猜想：f＝m＋n－1.

師：大家同意嗎？

生2：不同意！比如：（板書）

f≠m＋n－1，此時f＝m＝n.

師：還有別的發(fā)現(xiàn)嗎？

生3：我的結(jié)論和他們不太一樣.（板書）

f≠m＋n－1，此時f＝n＝2m.

生4：我的發(fā)現(xiàn)是：（板書）

f≠m＋n－1，此時f＝m＋n－2.

評析 把問題拋給學(xué)生，給足探究時間，學(xué)生在肯定與否定的思維碰撞中，不斷審視發(fā)現(xiàn)的問題，不斷修正提出的問題.結(jié)論的多樣性，激發(fā)了學(xué)生的探究熱情，為進一步深入研究做好了心理準備.

師：同學(xué)們討論得很熱烈，得到了f與m、n之間的一些關(guān)系，但這些關(guān)系隨著m、n的取值不同而不同，不具有普遍性.如果我們?nèi)赃@樣探究下去，一定還會得到一些特殊關(guān)系，由于m、n的取值有無數(shù)組，這樣的探究沒有盡頭.如何優(yōu)化探究方法，縮短我們的探究歷程？

評析 以學(xué)生為主體，不等于完全放手.教師的主導(dǎo)作用如何發(fā)揮？發(fā)揮到什么程度？是值得我們思考的問題.學(xué)生在得出f與m、n之間的各種不同關(guān)系后，如果老師仍放手讓學(xué)生繼續(xù)畫圖探究，那么其結(jié)果只能是盲無目標的簡單重復(fù).教師提出“由于m、n的取值有無數(shù)組，這樣的探究沒有盡頭.如何優(yōu)化探究方法，縮短我們的探究歷程？”這正是引在關(guān)鍵處，導(dǎo)在轉(zhuǎn)折點，可謂點睛之筆.

生5：m、n的取值雖有無數(shù)組，但我們可以對它進行分類.

師：怎么分類？

生5：可以分成三類：m、n同偶；m、n同奇；m、n一偶一奇.

生6：可以分成兩類：m、n互質(zhì)；m、n不互質(zhì).研究兩類比研究三類更簡便.

師：說得好！

生7：當m、n互質(zhì)時，就是生1一開始舉的幾個例子，此時f＝m＋n－1.

師：大家同意他的觀點嗎？能不能舉一個反例？

生8：我找 到 一 個 反 例：m＝5，n＝ 7，f＝10.

眾生：f＝11！

生8（不好意思）：我數(shù)錯了.

評析 分類使探究呈現(xiàn)“柳暗花明”新境界，閃耀著學(xué)生智慧的火花.

師：剛才你們是從“數(shù)”的角度得到這個猜想，還能從“形”的角度說明猜想的正確性嗎？

生9：我畫圖發(fā)現(xiàn)當m＝5，n＝7時，橫線有6條，豎線有8條，對角線與每條橫線和豎線都相交，這樣共有6＋8＝14個交點，而對角線的兩個端點又重復(fù)計算了一次，所以共有12個交點，這12個交點將對角線連續(xù)分成11段，每段對應(yīng)一個小正方形，因此f＝11.

（掌聲?。?/p>

評析 由“數(shù)”到“形”，拓寬了探究方法，豐富了學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

師：我們已研究了m、n互質(zhì)的情況，下面應(yīng)該研究……

眾生：不互質(zhì).

師：當m、n不互質(zhì)時，f與m、n之間有何關(guān)系？

（學(xué)生分組討論.）

生10：從前面的例子中，發(fā)現(xiàn)關(guān)系不唯一.

師：能否將這些不唯一的關(guān)系統(tǒng)一起來？

生11：我從生2、生3給的例子中發(fā)現(xiàn)當n是m的倍數(shù)時，f＝n；從生4給的例子中發(fā)現(xiàn)當n不是m的倍數(shù)時，f＝m＋n－2.

師：有不同意見嗎？

生12：當n不是m的倍數(shù)時，不一定有f＝m＋n－2.

師：請舉例說明.

生12：m＝6，n＝9，f＝12≠6＋9－2；m＝8，n＝12，f＝16≠8＋12－2.

師：當n不是m的倍數(shù)時，不一定有f＝m＋n－2原因出在哪里？

（學(xué)生分組討論.）

生13：是因為m、n的取值有變化.

師：觀察生4給出的例子

m、n的取值變了，為什么關(guān)系式f＝m＋n－2不變？

（學(xué)生沉思.）

生14：m、n中可能有不變的“東西”.

師：看來抓住m、n中的不變因素是關(guān)鍵！

生15：m、n都是偶數(shù)沒變.

生16：不對！剛才的m＝8，n＝12雖都是偶數(shù)，f≠m＋n－2.

生15（恍然大悟?。┌?！是最大公約數(shù)沒變！

師：最大公約數(shù)是多少？

生15：是2.

師：那就是說在什么情況下f＝m＋n－2？

生15：m、n的最大公約數(shù)為2的情況下，f＝m＋n－2.

師：大家同意嗎？再舉幾個最大公約數(shù)為2的m、n試試.

（學(xué)生快速進入驗證之中.）

師：有不同意見嗎？

眾生：沒有！

師：若m、n的最大公約數(shù)為3，請猜想f與m、n之間有何關(guān)系？

眾生：f＝m＋n－3！

師：請在方格紙上畫圖驗證.

生16：m＝6，n＝9，f＝6＋9－3＝12；m＝3，n＝6，f＝3＋6－3＝6.

師：若m、n的最大公約數(shù)為d，請猜想f與m、n之間有何關(guān)系？

眾生：f＝m＋n－d！

師：你們還能從“形”的角度來說明嗎？

生17：我想這和上面不互質(zhì)研究的方法一樣，可以從對角線與網(wǎng)格線的交點個數(shù)來考慮.

師：說得好！這個問題留給你們課下研究.

師：m、n互質(zhì)與不互質(zhì)時，我們得到了兩種關(guān)系，這兩種關(guān)系有聯(lián)系嗎？

生18：如果用d表示它們的最大公約數(shù)，都有f＝m＋n－d.（PPT3）

師：好！這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的和諧美.

評析 觀察是發(fā)現(xiàn)問題的源泉.在m、n不互質(zhì)的情況下，教師以“能否將這些不唯一的關(guān)系統(tǒng)一起來？”為“誘餌”，引導(dǎo)學(xué)生抓住不變，從變中找不變.經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的過程，學(xué)生在這一過程中進一步積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，加深了對問題本質(zhì)的理解.

4 拓展問題

（PPT4）若將原題中的“小正方形”改為“小矩形”，上述結(jié)論還成立嗎？若“小正方形”改為“小平行四邊形”，結(jié)論又如何？提出你的猜想并驗證.

生19：我認為結(jié)論應(yīng)該一樣.

師：說說理由.

生19：我是憑感覺猜的.

師：好！到底結(jié)論是否相同？我們先小組討論.

（各小組迅速進入討論中，教師不時也加入討論行列.）

生20：結(jié)論一樣.

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

生20：我是畫圖發(fā)現(xiàn)的.

師：把你畫的圖展示給大家看一下.

（通過實物投影儀將生20畫的圖展示在屏幕上.）

師：生20通過畫圖驗證了結(jié)論仍然成立.很好！還有沒有別的方法？

生21：借鑒前面的探究經(jīng)驗，我們還可以根據(jù)對角線與網(wǎng)格線的交點個數(shù)來確定f與m、n的關(guān)系.我發(fā)現(xiàn)當m、n互質(zhì)時，對角線不經(jīng)過網(wǎng)格內(nèi)部交點即格點.

師：能否舉一個具體例子？

生21：比如m＝2，n＝3.

師：好，你在黑板上畫一下.同學(xué)們再取一對互質(zhì)的m、n，在方格紙上畫圖驗證.

師：當m、n互質(zhì)時，對角線真的不經(jīng)過網(wǎng)格內(nèi)部格點嗎？

眾生：不經(jīng)過！

師：誰能說出其中道理？

（學(xué)生猶豫.）

師：大家再討論.

生22：老師！我可以到黑板前講嗎？（眾生笑）

師：可以！

生22：在生21畫的圖中，如果對角線還經(jīng)過網(wǎng)格內(nèi)部格點，我們假設(shè)格點為P，則點P到大矩形相鄰兩邊的距離為小矩形邊長的整數(shù)倍，不妨設(shè)為m′、n′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，則有＝，由于點P是網(wǎng)格內(nèi)部的點，所以m′＜2，n′＜3，這與2、3互質(zhì)是矛盾的，所以對角線不經(jīng)過網(wǎng)格內(nèi)部格點.

（掌聲一片！）

師：生22說得太精彩了！你能繼續(xù)說說為什么結(jié)論仍然成立？

生22：在m×n個小矩形組成的矩形網(wǎng)格中，橫線有（m＋1）條；豎線有（n＋1）條，對角線與每條橫線和豎線都相交，這樣共有（m＋1）＋（n＋1）個交點，而對角線的兩個端點又重復(fù)計算了一次，所以共有（m＋n）個交點，這（m＋n）個交點將對角線連續(xù)分成（m＋n－1）段，每段對應(yīng)一個小正方形，因此f＝m＋n－1.

（掌聲更熱烈！）

師：當m、n不互質(zhì)時，又如何說明結(jié)論仍然成立？

（學(xué)生陷入思考.）

生23：我發(fā)現(xiàn)當m、n不互質(zhì)時，對角線經(jīng)過網(wǎng)格內(nèi)部的格點.

師：請你也在黑板上畫圖說明，其他同學(xué)任取一對不互質(zhì)的m、n，在方格紙上畫圖驗證.

生23：取m＝3，n＝6，對角線經(jīng)過網(wǎng)格內(nèi)部2個格點，加上兩個端點，這樣對角線與網(wǎng)格線的交點中，有4點重復(fù)計算了1次，所以交點總數(shù)為（3＋1）＋（6＋1）－4＝7，這7個交點將對角線連續(xù)分成6段，每段對應(yīng)一個小矩形，所以對角線穿過6個矩形，符合f＝m＋n－d＝3＋6－3.

生24：我取m＝2，n＝4，對角線經(jīng)過網(wǎng)格內(nèi)部1個格點，結(jié)論也是成立的.

師：看來確定對角線經(jīng)過網(wǎng)格內(nèi)部的格點數(shù)是關(guān)鍵.請各小組交流：對角線經(jīng)過網(wǎng)格內(nèi)部格點數(shù)與什么有關(guān)？

生25：我們發(fā)現(xiàn)：

對角線經(jīng)過網(wǎng)格內(nèi)部格點數(shù)＝m、n的最大公約數(shù)－1.

師：很好！如果m、n的最大公約數(shù)為d，對角線與網(wǎng)格線共有多少個交點？

生25：因為對角線經(jīng)過格點時，交點重復(fù)計算了1次，所以對角線與網(wǎng)格線共有（m＋1）＋（n＋1）－（d－1）－2＝m＋n－d＋1個交點.這（m＋n－d＋1）個交點將對角線連續(xù)分成（m＋n－d）段，每段對應(yīng)一個小正方形，因此f＝m＋n－d.

師：太棒了！

生26：假設(shè)圖是畫在可以拉伸的橡皮膜上，我們可以想象不論小正方形變?yōu)樾【匦芜€是小平行四邊形，結(jié)論顯然是成立的.

（掌聲雷動！）

評析 在實踐中思考，在活動中創(chuàng)造，是綜合實踐活動課程的重要價值取向之一，綜合實踐課程的重要功能就是要培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神.通過問題拓展，激活了學(xué)生的創(chuàng)新思維，在經(jīng)歷問題解決的過程中，學(xué)生體驗了建立模型、數(shù)形結(jié)合、化歸求解等數(shù)學(xué)思想方法，在反復(fù)嘗試中，不斷提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.

5 活動小結(jié)

（PPT5）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

第二階段：課外活動

數(shù)學(xué)綜合實踐活動評價報告

評析 反思參與活動的全過程，將研究的過程和結(jié)果形成報告或小論文，有利于相互交流，共享成果.通過小組和老師評價，總結(jié)參與數(shù)學(xué)活動的收獲和克服困難的過程，有利于進一步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.

教學(xué)反思

（1）拓展探究空間，增加問題開放度

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）以下簡稱“課標2011版”指出：要使學(xué)生能充分、自主地參與“綜合與實踐”活動，選擇恰當?shù)膯栴}是關(guān)鍵.這些問題既可來自教材，也可以由教師、學(xué)生開發(fā).提倡教師研制、開發(fā)、生成出更多適合本地學(xué)生特點的、有利于實現(xiàn)“綜合與實踐”課程目標的好問題.基于這一理念，本課例以2012安徽省一道中考題為背景，原題中分m、n互質(zhì)與不互質(zhì)兩種情況并且給出了5個基本圖形和表格，問題指向明確，坡度小.為了使問題變得自然、開放.這里我舍棄了m、n互質(zhì)與不互質(zhì)兩種情況以及基本圖形和表格，把問題拋給學(xué)生：為了探究f與m、n之間的關(guān)系，你準備怎么做？學(xué)生畫圖、列表、交流，得到若干組不同的m、n值以及相應(yīng)的f值.

“綜合與實踐”活動課難上，難就難在課堂是開放的，正如葉瀾教授所說：“課堂是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的風景，而不是一切都必須遵循固定路線，而沒有激情的行程.”教師如何發(fā)揮好組織者、引導(dǎo)者、合作者？如何創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生創(chuàng)新的問題情境？如何駕馭更加開放的課堂？等等，已向我們提出了新的挑戰(zhàn).

（2）突出活動過程，積累活動經(jīng)驗

課標2011版強調(diào)：“綜合與實踐”的實施是以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動.它有別于學(xué)習(xí)具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授.它是教師通過問題引領(lǐng)、學(xué)生全程參與、實踐過程相對完整的學(xué)習(xí)活動.“綜合與實踐”是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要載體.在經(jīng)歷具體問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生體驗如何發(fā)現(xiàn)問題，如何選擇適合自己完成的問題，如何把實際問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，如何設(shè)計解決問題的方案，如何選擇合作的伙伴，如何有效地呈現(xiàn)實踐的成果，讓別人體會自己成果的價值.通過這樣的教學(xué)活動，逐步讓學(xué)生積累運用數(shù)學(xué)解決問題的經(jīng)驗.

在我的幾次教學(xué)過程中，為了探索f、m、n三者之間關(guān)系，多數(shù)學(xué)生都采用了列表探究，還有學(xué)生提出了如下處理方法.生1：利用函數(shù)探究（模型思想出現(xiàn)）.我問：函數(shù)是研究兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，而這里有三個變量，如何處理？生1：可以把m、n看成一個整體（整體思想出現(xiàn)）.我又問：m、n如何組合成一個整體？生1：我發(fā)現(xiàn)f的值不小于m、n的值，我猜想f一般不會是m、n相減；f是正整數(shù)，我猜想f一般不會是m、n的商；從表中看某些m、n的積要比f的值大得許多，所以我猜想f應(yīng)與m＋n之間存在某種函數(shù)關(guān)系.生2：既然有三個變量，我們可以限制一個變量.如m都取1然后觀察f與n的關(guān)系（轉(zhuǎn)化思想出現(xiàn)）.生3：可以用比較法，把有相同規(guī)律的放在一起研究（分類思想出現(xiàn)）.生4：當m是n的倍數(shù)時，f＝m.生5：當m＝n時，f＝m＝n等等.學(xué)生在觀察、探究中迸發(fā)出來的這些思維火花，真是令人興奮不已！這些寶貴的活動經(jīng)驗推動著課堂向縱深發(fā)展，使課堂精彩紛呈.

（3）增強問題意識，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

“綜合與實踐”是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力的有效載體，而學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題又是創(chuàng)新的基礎(chǔ).因此增強學(xué)生的問題意識在教學(xué)過程中顯得尤為重要.如何培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題能力？這又將成為我們研究的課題.“拓展問題”的設(shè)計給出了提出問題的一種方法，但不足的是這里的問題是由教師提出的，若能改為學(xué)生提出將會更好.

美國著名學(xué)者布魯巴克指出：“最精湛的教學(xué)藝術(shù)，遵循的最高準則就是讓學(xué)生自己提問題.”有專家在中西方教育的比較研究中曾說：“中國衡量教育成功的標準是：將有問題的學(xué)生教育成沒問題，全懂了，所以中國學(xué)生年齡越大，年級越高，問題越少；而美國衡量教育成功的標準是：將沒問題的學(xué)生教育得有問題，如果學(xué)生提出的問題教師都回答不了，那算是非常成功.所以美國學(xué)生年級越高，越有創(chuàng)意、越會突發(fā)奇想.”這確實值得我們深思.

（4）課內(nèi)課外結(jié)合，升華活動成果

整個活動分兩部分：課內(nèi)和課外.“綜合與實踐”活動實際上是一種“小課題長作業(yè)”.目前，在課程改革背景下，我國學(xué)生小課題的探究也受到極大的重視，正逐漸成為改善學(xué)生學(xué)習(xí)方式的一個重要方法.“小課題長作業(yè)”的基本過程是：提出問題——動手實驗——觀察記錄——解釋討論——得出結(jié)論——表達陳述.設(shè)計第二階段：課外活動《數(shù)學(xué)綜合實踐活動評價報告》，目的是想在這些方面作些嘗試，引導(dǎo)學(xué)生在“綜合與實踐”活動中，積累活動經(jīng)驗、展現(xiàn)思考過程、交流收獲體會、激發(fā)創(chuàng)造潛能.

初中數(shù)學(xué)“綜合與實踐”是一種激發(fā)學(xué)生主動探求知識、重視問題解決、促進學(xué)生形成終身學(xué)習(xí)習(xí)慣的課程.它體現(xiàn)了創(chuàng)新教育改革的方向，其內(nèi)容的豐富性和實施模式的多樣性，值得我們深入研究和廣泛實踐.

1 中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012

2 汪宗興，劉義杰.穿越彰精彩化歸顯本質(zhì)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2012（9）