崔德標(biāo)

(河海大學(xué)理學(xué)院，江蘇南京 211100)

本文討論二階非自治(q，p)－Laplace方程組

解的存在性。這里T＞0，1＜q，p＜∞，F(xiàn):［0，T］×RN×RN→R。當(dāng)p，q=2時，(1)是二階哈密頓系統(tǒng)。利用變分的方法，已經(jīng)獲得了一些存在性結(jié)果，見文［1－9］。例如，利用變分方法中的極小值原理，文 ［1］得到了一個存在性結(jié)果;文 ［2］在非線性邊界條件下，利用極小值原理和山路引理獲得了兩個存在性結(jié)果;文 ［3］利用非光滑臨界點定理得到了兩個存在性結(jié)果;當(dāng)非線性項▽F(t，x)有界時，得到了一個多解性結(jié)論，見文［4］。當(dāng)p=2時，在文 ［5］中，當(dāng)非線性條件▽F(t，x)在Rabinowitz條件下滿足次二次性，得到了一些存在性結(jié)果。受文［5］的啟發(fā)，本文概括一個新的條件:存在0＜μ1＜q，0＜μ2＜p和M＞0滿足

在條件 (2)下，可以說明方程組 (1)相應(yīng)的泛函滿足PS條件。本文借助鞍點定理可以得到方程組 (1)的一些存在性定理，然后給予證明，詳見第二部分主要結(jié)果。

1 預(yù)備知識

下面引入一些基本的記號與概念，W1，pT是Sobolev空間

和Wirtinger不等式

其中C1，C2是正的常數(shù)。F:［0，T］×RN×RN→ R滿足下面的假設(shè):

成立，其中 (x1，x2)∈ RN×RN和 a.e.t∈［0，T］。

則方程組 (1)相應(yīng)的泛函方程可以表達(dá)為

本文假設(shè)F=F1+F2，F(xiàn)1，F(xiàn)2滿足假設(shè) (A)。

定義1 (次凸性)若

對一些λ，μ?0和x，y∈RN成立，則泛函G:RN→R被稱作(λ，μ)次凸的。

引理1［8］(鞍點定理)設(shè)X是一個 Banach空間，φ∈C1(X，R1)，φ滿足 (PS)條件，將X直和分解為X=X1⊕X2，dimX1＜∞ .若存在R＞0，使得

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)F滿足假設(shè) (A)和條件 (2)，存在g∈L1(0，T)使得

對所有的 (x1，v2)∈ RN×RN和 a.e.t∈［0，T］成立。在［0，T］上存在一個子列E且有meas(E)＞0，使得

其中a.e.t∈E，則 (1)在W上有惟一解。

② φ(u1，u2)→－∞ ，當(dāng) ‖(u1，u2)‖ → ∞ 在RN×RN。

對所有的 (x1，x2)∈RN×RN和a.e.t∈［0，T］。利用Sobolev不等式和Wirtinger不等式得

則②得證。由鞍點定理易知定理1成立。

定理2 假設(shè)F滿足假設(shè) (A)，條件 (2)和

假設(shè)F(t，·，·)是(β，γ)－次凸的且 γ＞0對a.e.t∈［0，‖T］‖ ，即

對所有的(x1，x2)，(y1，y2)∈RN×RN，則問題 (1)有惟一解。

‖φ′(u1n，u2n)‖×(1+‖(u1n，u2n)‖)→0

當(dāng)n→∞，則存在一個常數(shù)C1使得

其中n∈N。設(shè)

則由假設(shè) (A)和條件 (2)得

其中 (x1，x2)∈RN×RN和a.e.t∈［0，T］。又由于

對所有的n∈N，這表明

其中n∈N，C2是常數(shù)。根據(jù)式 (10)和式 (12)，則

其中n∈N，則

其中n∈N，C3是常數(shù)。同理可得

其中n∈N，C4，C5和C6是常數(shù)。則

④ φ(u1，u2)→－∞ 當(dāng)‖u‖→∞ 在RN×RN。事實上，利用和定理1相同的證明方法易知③成立，而④直接由式 (8)可以得到，從而定理2得證。

［1］TIAN Y，GE W G.Periodic solutions of nonautonomous second-order systems withp-Laplacian［J］.Nonlinear A-nal，2007，66:192 －203.

［2］JEBELEAN P，SANU G M.Ordinaryp-Laplacian systems with nonlinear boundary conditions［J］.Math Anal Appl，2006，313(2):738－753.

［3］FILIPPAKIS M，GASINSKI L，PAPAGEORGIOU N S.Periodic problems with asymmetric nonlinearities and nonsmooth potentials［J］.Nonlinear Anal，2004，58(5 －6):683－702.

［4］LV H SH，REGAN D O，AGARWAL R P.On the existence of multiple periodic solutions for the vectorp-Laplacian critical point theory ［J］.Appl Math，2005，50(6):555－568.

［5］TANG CH L，WU X P.Notes on periodic solutions of subquadratic second order systems［J］.Math Anal Appl，2003，285(1):8－16.

［6］RABINOWITZ P H.On subharmonic solutions of Hamiltonian systems［J］.Pure Appl Math，1980，33(5):609－633.

［7］PASCA D.Periodic solutions of second-order differential inclusions systems withp-Laplacian［J］.Math Anal Appl，2007，325(1):90 －100.

［8］MAWHIN J.Some boundary value problems for Hartmantype perturbations of the ordinary vectorp-Laplacian［J］.Nonlinear Anal，2000，40(1 －8):497 －503.

［9］LIU P，AN T Q，YAN K F.Existence of periodic solutions of nonautonomous second-order differential systems with(q，p) －Laplacian［J］.Journal of Inner Mongolia University:Natural Science Edition，2011，42(2):121－126.