金 琦，孫 竹

(南京藝工電工設(shè)備有限公司，江蘇南京 211199)

塑料擠出機(jī)機(jī)筒壁厚設(shè)計(jì)的線性回歸模型

金 琦，孫 竹

(南京藝工電工設(shè)備有限公司，江蘇南京 211199)

基于力學(xué)理論和熱平衡原理，建立了塑料擠出機(jī)機(jī)筒壁厚設(shè)計(jì)的線性回歸模型，并從理論上論證了模型的合理性。利用一些成熟產(chǎn)品的設(shè)計(jì)給出了模型的解，且據(jù)此求得的產(chǎn)品設(shè)計(jì)參數(shù)與經(jīng)驗(yàn)值高度吻合，明顯改進(jìn)了文獻(xiàn)提供的參考值，表明模型在實(shí)踐中是有效的。

塑料擠出機(jī);機(jī)筒壁厚;強(qiáng)度設(shè)計(jì);加熱功率

擠出機(jī)機(jī)筒設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是確定它的壁厚。過薄的機(jī)筒壁雖然溫升快、質(zhì)量輕，但因熱容量小，故難于取得穩(wěn)定的溫度條件。反之，過厚的機(jī)筒壁不僅浪費(fèi)材料，還使得機(jī)體結(jié)構(gòu)笨重，升溫慢，而且還會(huì)因熱慣性大，導(dǎo)致溫度調(diào)節(jié)滯后，影響性能。因此，合理的機(jī)筒壁厚是值得追求的。塑料擠出機(jī)機(jī)筒的壁厚取決于多方面的因素。除了滿足足夠的強(qiáng)度要求外，還必須符合塑化所需要的加熱功率配置面積的要求。除此之外，還有許多無法量化的因素影響著壁厚的設(shè)計(jì)。甚至，壁厚的設(shè)計(jì)還必須考慮成型工藝條件所帶來的影響。因此，經(jīng)驗(yàn)在設(shè)計(jì)中起著重要作用。設(shè)計(jì)手冊給出了機(jī)筒壁厚的推薦值范圍，同時(shí)還給出了理論強(qiáng)度校核公式。但是按強(qiáng)度理論計(jì)算出的壁厚往往使機(jī)筒熱慣性太小，由此得出的參數(shù)沒有實(shí)際意義。市場上大多數(shù)擠出機(jī)機(jī)筒的實(shí)際壁厚遠(yuǎn)高于理論值，這些產(chǎn)品在具備良好的安全性的同時(shí)也滿足了各種性能的要求。由于通過大量實(shí)驗(yàn)尋找最理想的設(shè)計(jì)參數(shù)是不經(jīng)濟(jì)、不現(xiàn)實(shí)的，經(jīng)驗(yàn)對于機(jī)筒設(shè)計(jì)就非常關(guān)鍵，因此將既往成功設(shè)計(jì)的經(jīng)驗(yàn)量化，使之成為新的設(shè)計(jì)的參考依據(jù)，具有明顯的實(shí)際價(jià)值。本文的目的是根據(jù)力學(xué)原理和熱學(xué)原理，綜合考慮影響機(jī)筒壁厚的各種因素，建立數(shù)學(xué)模型，給出尋找有意義的壁厚參考值的方法。

1 擠出機(jī)機(jī)筒最大壓力的確定

無論采用經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)法還是強(qiáng)度校核法確定機(jī)筒壁厚，都必須首先求得機(jī)筒內(nèi)的最大壓力值。

1.1 擠出機(jī)機(jī)筒的結(jié)構(gòu)及工作狀態(tài)下的壓力和溫度

根據(jù)不同功能，擠出機(jī)機(jī)筒通常可以劃分為如下幾個(gè)部分:

a．加料段。工作時(shí)，塑料隨著螺桿的旋轉(zhuǎn)被向前輸送，并通過機(jī)筒內(nèi)壁和螺桿表面的摩擦被壓實(shí)。塑料在加料段是以固體狀態(tài)向前輸送的。

b．熔融段。塑料被進(jìn)一步壓實(shí)和塑化，使包圍在塑料內(nèi)的空氣壓回到加料口排出，并改善塑料的熱傳導(dǎo)性能。這一段的螺槽是壓縮型的。物料在該段呈固、液二相共存狀態(tài)。

c．均化段。塑料進(jìn)一步被塑化和均勻化，并被定壓、定量和定溫地從機(jī)頭擠出。

在工作狀態(tài)下，塑料在機(jī)筒內(nèi)三段中的溫度、壓力和狀態(tài)是變化的，其變化規(guī)律如圖1所示。

圖1 擠出機(jī)過程溫度和壓力的變化

從圖1可以看出，機(jī)筒內(nèi)壓力峰值在均化段末端出現(xiàn)，并延伸到機(jī)頭。溫度峰值是從加料段中間開始出現(xiàn)，平坦地延伸到機(jī)頭。下面是用流體力學(xué)的分析方法，導(dǎo)出的應(yīng)用于擠出機(jī)均化段流率的計(jì)算公式:式中:Q表示擠出機(jī)生產(chǎn)能力;D指螺桿直徑;n指螺桿轉(zhuǎn)速;h指螺桿均化段螺槽深度;φ指螺桿的螺旋升角;e指螺桿軸向螺棱寬度;Li指螺桿均化段長度;δ指螺桿與機(jī)筒之間徑向間隙;E指螺桿偏心校正系數(shù)(通常取1．2);p指均化段末端壓力;η1指螺槽中熔融物料粘度;η2指螺桿與機(jī)筒間隙中物料粘度。

1.2 機(jī)筒內(nèi)最大壓力值的確定

在式(1)右端的第一項(xiàng)是正流流率，第二項(xiàng)是壓力流流率，第三項(xiàng)是漏流流率。當(dāng)擠出機(jī)機(jī)頭模板被異物堵塞、螺桿被熔融物料包住時(shí)，擠出機(jī)呈現(xiàn)斷流擠出狀態(tài)。此時(shí)，流率Q=0。如果把式(1)中第三項(xiàng)這一微量忽略不計(jì)，則可導(dǎo)出機(jī)頭的最大壓力理論值的計(jì)算公式:由此可以看出，機(jī)頭壓力 P 與 η1，Li，D，n成正比，與h2，tanφ成反比。此外，機(jī)頭結(jié)構(gòu)形式對機(jī)頭壓力有明顯的影響。由圖1的壓力曲線可以看出，均化段末端的壓力與機(jī)頭壓力相等。在公式(2)右端，除η1以外，其余各參數(shù)都由螺桿設(shè)計(jì)給出，因此只要測出η1的值，就可求得機(jī)頭的最大壓力(也即機(jī)筒最大壓力)。

從圖1還可以看出，機(jī)筒內(nèi)各點(diǎn)物料沿螺桿軸線方向的壓力值是不同的，其峰值出現(xiàn)在均化段末端與機(jī)頭的連接處。對于同一種機(jī)頭結(jié)構(gòu)，在各種因素中，螺桿和機(jī)筒的結(jié)構(gòu)對機(jī)頭壓力的影響最大，因此最大機(jī)頭壓力值即為機(jī)筒的設(shè)計(jì)壓力值。用機(jī)頭測壓裝置確定機(jī)筒內(nèi)的最大壓力值雖然很直觀，但它畢竟不同于擠出機(jī)正常工作壓力的測定，其測量是相當(dāng)困難的。即使是同一臺(tái)擠出機(jī)，在同一點(diǎn)、同一品種的物料，在不同時(shí)間測出來的數(shù)值也不會(huì)完全一致，會(huì)有波動(dòng)。理論計(jì)算結(jié)果只能提供最大機(jī)頭壓力值的參考值，實(shí)際經(jīng)驗(yàn)對最大機(jī)頭壓力值的確定也起著重要作用。

2 擠出機(jī)機(jī)筒的彈性應(yīng)力學(xué)分析

2.1 機(jī)筒的受力分析

擠出機(jī)機(jī)筒屬于兩端開口的厚壁圓筒，但又不同于普通的厚壁圓筒，因?yàn)閿D出機(jī)機(jī)筒還要考慮適應(yīng)于塑化加熱功率的配置要求。擠出機(jī)在擠出過程中，機(jī)筒內(nèi)壁有高壓熔體，使筒壁上任一點(diǎn)都處于應(yīng)力狀態(tài)，即周向應(yīng)力σθ、徑向應(yīng)力σr和軸向應(yīng)力σz，如圖2所示。

圖2 機(jī)筒壁厚上的應(yīng)力分布

根據(jù)文獻(xiàn)［1］，它們可以用下述公式計(jì)算:式中:pi，po分別指內(nèi)壓載荷及外壓載荷;Ri，Ro分別指圓筒內(nèi)半徑及外半徑;r表示圓筒壁內(nèi)任一點(diǎn)半徑。

對于擠出機(jī)機(jī)筒而言，僅有內(nèi)壓作用，即po=0。若記，則前述公式可以簡化如下:

由此可以看出:(1)當(dāng)r=Ri時(shí)，σθ為最大，最大值為(2)當(dāng)r=Ri時(shí)，σr為最大，最大值為 －p;當(dāng)r=Ro時(shí)，σr為最小，最小值為0。(3) 當(dāng) r=Ri時(shí)，σz=

以上分析表明，周向應(yīng)力和軸向應(yīng)力均為正值，是拉應(yīng)力，徑向應(yīng)力為負(fù)值，是壓應(yīng)力。數(shù)值規(guī)律如圖3所示。

圖3 機(jī)筒受力斷面圖

由上述公式還可以知道:

a．機(jī)筒內(nèi)壁周向應(yīng)力σθ為所有應(yīng)力中的最大值，其值為，內(nèi)外壁所受壓力之差為p;徑向應(yīng)力內(nèi)壁為σr=－p，機(jī)筒外壁處σr=0。

應(yīng)力沿壁厚的不均勻程度與徑比K的值有關(guān)。以σθ為例，機(jī)筒內(nèi)壁與外壁的，因此K的值愈大，應(yīng)力不均勻程度也愈嚴(yán)重，當(dāng)K的值接近1時(shí)，其比值接近1，此時(shí)機(jī)筒的周應(yīng)力沿壁厚接近于均布。

以上分析還表明，機(jī)筒內(nèi)壁徑向應(yīng)力最大并呈壓應(yīng)力。軸向應(yīng)力σz沿機(jī)筒全長方向不變，而且其絕對值通常要比周向壓力σθ小得多，所以機(jī)筒的強(qiáng)度主要是由σθ和σr決定的。

2.2 機(jī)筒的失效及強(qiáng)度計(jì)算

機(jī)筒設(shè)計(jì)應(yīng)根據(jù)不同材料選用不同強(qiáng)度理論計(jì)算壁厚或進(jìn)行校核。目前機(jī)筒多數(shù)采用彈性材料制造，因此可按第三或第四理論計(jì)算。通常采用的是第四理論及最大變形能量理論。

根據(jù)最大變形能量理論［2］，機(jī)筒強(qiáng)度條件為:

同樣，將 σθ，σr，σz代入式(1) 得到機(jī)筒強(qiáng)度條件:。令機(jī)筒壁厚為δ，機(jī)筒內(nèi)徑為 D，則 D =D外－2δ，因此 δ=

3 擠出機(jī)機(jī)筒的熱平衡分析

擠出機(jī)機(jī)筒壁厚設(shè)計(jì)不僅需要考慮機(jī)筒的疲勞強(qiáng)度性能，而且必須符合塑化所需的加熱功率配置面積的要求。機(jī)筒的長度是已經(jīng)確定的參數(shù)，外徑是可變的。兩者是確定機(jī)筒壁厚的主要因素，其他因素還包括機(jī)筒結(jié)構(gòu)、擠出工藝等。

計(jì)算機(jī)筒加熱功率的依據(jù)是塑化原理和塑化平衡原理。擠出過程中存在熱平衡的問題。加熱器供給的熱能量和剪切摩擦能量是相互聯(lián)系的，只要改變一種能量的供給速率，對另一種能量的需求就會(huì)發(fā)生變化。這是因?yàn)槲锪系臏囟壬邥r(shí)黏度就降低，它對螺桿的阻力就減小，剪切摩擦熱也變小，即消耗電動(dòng)機(jī)所供給螺桿的機(jī)械功就小;相反，若剪切摩擦愈強(qiáng)烈，即螺桿所供給物料的機(jī)械能量愈大，則物料從加熱器所獲取的能量就愈小。它們的相互關(guān)系如圖4所示。

圖4 擠出機(jī)熱能供給情況

從圖4中可看到，當(dāng)螺桿達(dá)到一定轉(zhuǎn)速時(shí)，物料所需要的熱能將完全從螺桿轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能獲得，而不需要外部加熱，這就是所謂“自然擠出”。圖中第二組曲線與橫坐標(biāo)的交點(diǎn)A和B就是自然點(diǎn)。加熱器供給的熱量和因摩擦剪切而產(chǎn)生的熱量部分地用于使塑料產(chǎn)生物態(tài)的變化，另一部分是損失掉的。損失的這部分包括機(jī)筒機(jī)頭和周圍介質(zhì)的熱交換、冷卻介質(zhì)帶走的熱量以及加熱元件本身的熱量損失和制品帶走的熱量。有如下熱平衡方程式:

式中:H外熱是加熱系統(tǒng)所供給的能量;H內(nèi)熱表示傳動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能通過螺桿對塑料的擠壓、剪切和摩擦等而轉(zhuǎn)換成的能量;H塑化表示塑料在擠出過程中所得到的熱能;H損失表示塑料在擠出過程中的熱損失。

擠出機(jī)的加熱功率雖然可以用式(2)表示，但因?yàn)橛绊憻崞胶獾囊蛩睾芏啵阅壳八芰蠑D出機(jī)機(jī)筒加熱功率為

式中:H是機(jī)筒加熱功率，kW;L指機(jī)筒加熱部分的長度，cm;A表示單位面積加熱功率，W/cm2。A值根據(jù)經(jīng)驗(yàn)決定，一般取A≈4W/cm2。如果以D外表示機(jī)筒外徑(cm)，η1表示加熱器加熱效率，η表示加熱器有效加熱面積效率，則有 D外=

4 計(jì)算壁厚的線性回歸模型

機(jī)筒失效強(qiáng)度及機(jī)筒塑化所需的加熱功率配置面積是機(jī)筒壁厚設(shè)計(jì)最重要的理論根據(jù)。此外，諸如機(jī)頭的結(jié)構(gòu)、材料的性能、工藝方法等不易量化的因素也影響到機(jī)筒的厚度。設(shè)計(jì)教科書均會(huì)提供各種型號(hào)擠出機(jī)機(jī)筒壁厚參數(shù)的推薦值。出于安全考慮，多數(shù)推薦值過大，以此生產(chǎn)的機(jī)筒壁厚太厚，既費(fèi)材料，加熱時(shí)間且長，很不經(jīng)濟(jì)。因此，這些推薦值均有較大的修正余地。

企業(yè)通過強(qiáng)度試驗(yàn)確定機(jī)筒壁厚是不現(xiàn)實(shí)的，多數(shù)機(jī)筒壁厚的設(shè)計(jì)參數(shù)都是憑經(jīng)驗(yàn)確定的，因而設(shè)計(jì)者的個(gè)人判斷就極其重要，常常不免帶有明顯的主觀色彩。

為了盡可能減少每次設(shè)計(jì)中主觀因素的影響，根據(jù)最大變形能量理論、熱平衡原理，下面建立確定壁厚參數(shù)的線性回歸模型。

用δ1表示根據(jù)最大變形能量理論得出的機(jī)筒壁厚度，用δ2表示根據(jù)機(jī)筒塑化所需的加熱功率配置面積得出的機(jī)筒壁厚度。假設(shè)實(shí)際機(jī)筒壁厚是δ1和 δ2的線性函數(shù):

其中:a，b≥0。

這樣的假設(shè)是合理的。由于δ1和δ2是影響機(jī)筒壁厚的最重要的參數(shù)，可以認(rèn)為，機(jī)筒壁厚是關(guān)于δ1和δ2的光滑函數(shù)。從數(shù)學(xué)分析的角度來講，足夠光滑的函數(shù)一定可以展開成自變量的泰勒級數(shù)。如果將高階項(xiàng)舍掉，就可以將之近似地看作是關(guān)于自變量的線性函數(shù)。其中a，b≥0的要求表示理論值與實(shí)際設(shè)計(jì)參數(shù)的正相關(guān)性，c也具有明確的物理含義，即表示其他因素對于壁厚參數(shù)的影響。因此，建立壁厚參數(shù)的數(shù)學(xué)模型如下:

其中:a，b≥0。

這一模型以機(jī)筒壁厚設(shè)計(jì)的力學(xué)原理和熱平衡原理為依據(jù)，將專家以及既往成功設(shè)計(jì)的經(jīng)驗(yàn)量化，為以后擠出機(jī)機(jī)筒壁厚的設(shè)計(jì)提供有意義的參照。實(shí)踐表明，根據(jù)這一模型獲得的機(jī)筒壁厚比教課書上提供的推薦值更經(jīng)濟(jì)、更合理，更具參考意義。

以SJ－150×25單螺桿擠出機(jī)為例來說明如何校核機(jī)筒壁厚。先利用數(shù)學(xué)模型分析計(jì)算，并考慮結(jié)構(gòu)、材料、工藝等各方面的因素進(jìn)行修正，最終確定機(jī)筒壁厚參數(shù)。實(shí)踐表明，這樣的的設(shè)計(jì)完全符合實(shí)際要求。表1中的數(shù)據(jù)是已有機(jī)型相關(guān)參數(shù)。多年的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)及實(shí)際使用效果表明，這些機(jī)型機(jī)筒壁厚的設(shè)計(jì)完全符合生產(chǎn)和使用的要求，從來沒有因?yàn)楸诤竦淖儽《l(fā)生任何安全問題和熱容量不夠等現(xiàn)象。因此可以認(rèn)為，這些設(shè)計(jì)都是成功的，相關(guān)參數(shù)可以作為未來設(shè)計(jì)參數(shù)的參考依據(jù)。

表1 擠出機(jī)機(jī)筒壁厚對比表 cm

從表中數(shù)據(jù)可以看出，表中所列各種不同機(jī)型壁厚均符合力學(xué)原理和熱平衡原理的要求，但實(shí)際參數(shù)往往比推薦值小很多。

根據(jù)最小二乘法的原理及上述數(shù)據(jù)以及LINGO 軟件，求得模型參數(shù) a=0，b=1．209 7，c=－0．420 1。計(jì)算結(jié)果顯示，均方差為0.044 1。因此，這一模型是可以接受的。

SJ－150×25單螺桿擠出機(jī)的機(jī)筒加熱功率H=88.2kW，機(jī)筒加熱長度L=279cm，許用應(yīng)力［σ］=2.77×104N，機(jī)頭最高壓力 p=4.41×103N，機(jī)筒內(nèi)徑D=15cm，加熱器加熱效率η1=0.7，加熱器有效加熱面積效率η=0.95。經(jīng)計(jì)算得δ1=1.30cm，δ2=3.28cm。由模型計(jì)算得δ=3.547 71cm。用模型計(jì)算所得的機(jī)筒壁厚完全符合強(qiáng)度理論和熱平衡理論的要求，并且與經(jīng)驗(yàn)值高度吻合。綜合各種因素，SJ－150×25單螺桿擠出機(jī)的機(jī)筒的實(shí)際壁厚確定為3.05cm，比教材推薦值4.50cm小了1cm。實(shí)際使用結(jié)果表明，這款機(jī)型機(jī)筒壁厚完全符合生產(chǎn)的安全要求。

5 結(jié)束語

上述例子中參數(shù)a=0的結(jié)果完全符合直觀的預(yù)想，因?yàn)樵诖蟛糠智樾蜗?，機(jī)筒壁厚的設(shè)計(jì)中，熱平衡原理的要求是決定性的，凡符合熱平衡原理要求的壁厚一定符合機(jī)筒失效強(qiáng)度的要求，所以擠出機(jī)機(jī)筒加熱功率設(shè)計(jì)必須建立在塑料塑化所需熱能的基礎(chǔ)上，而不是根據(jù)機(jī)械強(qiáng)度設(shè)計(jì)的機(jī)筒的表面積去考慮設(shè)計(jì)加熱功率。在這一點(diǎn)上，數(shù)學(xué)分析的結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)判斷是一致的。

由于材料疲勞強(qiáng)度的復(fù)雜性，以及新工藝、新材料、新技術(shù)的應(yīng)用使得難以給出一個(gè)普遍適用的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，對目前的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則也很難作出絕對正確的檢驗(yàn)。如果單憑經(jīng)驗(yàn)或類比的辦法確定相關(guān)參數(shù)，則難免會(huì)因個(gè)人的主觀臆斷而產(chǎn)生設(shè)計(jì)上的偏差。上述模型提供了將經(jīng)驗(yàn)量化的方法，從而可以有效減少設(shè)計(jì)的盲目性。實(shí)踐證明，用這種方法最終確定機(jī)筒壁厚是可行的。量化的模型則可以提供相對來說既經(jīng)濟(jì)且安全的參考。從這個(gè)意義上講，不論模型是否最優(yōu)，這一想法是有意義的。

［1］李志義，丁信偉.厚壁圓筒形構(gòu)件的疲勞性能［J］.化工裝備技術(shù)，1996(4):41－46.

［2］北京化工學(xué)院，華南工學(xué)院.塑料機(jī)械設(shè)計(jì)［M］.北京:中國輕工業(yè)出版社，1994.

The Linear Regression Models for Barrel Wall Thickness Design of Plastic Extruder

JIN Qi，SUN Zhu
(Nanjing Yigong Electrical Equipment Co.，Ltd.，Jiangsu Nanjing，211199，China)

Based on the mechanical theory and the principal of thermal equilibrium，it establishes a mathematical model for the barrel wall thickness design of the plastic extruder，proves the rationality of the model mathematically.According to parameters in the designs of some successful products，it obtains the solution of the mode，the design parameters includes the empirical value.The result improves considerably the reference value provided by the literature.This illustrates the validity of the model in practice.

Plastic Extruder;Barrel Wall Thickness;Strength Design;Heating Power

TH12

B

2095－509X(2013)11－0097－05

10.3969/j.issn.2095－509X.2013.11.025

2013－09－18

金琦(1963—)，女，江蘇南京人，南京藝工電工設(shè)備有限公司工程師，主要從事電工機(jī)械設(shè)計(jì)工作。