吳先明

（吉首大學信息科學與工程學院，湖南吉首 416000）

具有1個鞍點和2個不穩(wěn)定鞍焦點的新混沌系統(tǒng)＊

吳先明

（吉首大學信息科學與工程學院，湖南吉首 416000）

提出了一個具有1個鞍點和2個不穩(wěn)定鞍焦點的新混沌系統(tǒng)，分析了該系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的影響.Matlab仿真結果表明，新混沌系統(tǒng)確實存在混沌吸引子.

混沌；Lyapunov指數(shù)；分岔圖

在Lorenz E N［1］發(fā)現(xiàn)了第1個三維混沌系統(tǒng)之后，新混沌的發(fā)現(xiàn)引起了廣大學者的研究興趣，如Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)、Liu系統(tǒng)等［3－7］.根據(jù)文獻［8］的定義，一個系統(tǒng)可表達為一個常系數(shù)矩陣A＝（aij）3x3和非線性部分，根據(jù)a12和a21乘積值可以將Lorenz系統(tǒng)、Chen系統(tǒng)、Lü系統(tǒng)分為3類，即Lorenz系統(tǒng)（a12a21＞0）、Lü系統(tǒng)（a12a21＝0）、Chen系統(tǒng)（a12a21＜0）.后來用電路實現(xiàn)了這些新混沌系統(tǒng)［8－11］.

文中提出了一個新三維自治混沌系統(tǒng)，與Lorenz系統(tǒng)相比，該系統(tǒng)有6個項，其中系數(shù)為1的二次項2個，第2個微分表達式減少1個線性y項.筆者分析了該系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的影響.

1 新混沌系統(tǒng)

提出了一個新混沌系統(tǒng)，其表達式如下：

其中a，b，c是常數(shù).當a＝6，b＝1，c＝9，初始值x＝－1，y＝1，z＝7時，新系統(tǒng)（1）處于混沌狀態(tài)，Matlab數(shù)值仿真結果如圖1—4所示.

圖1 三維相圖

圖2 xy相圖

圖3 xz相圖

圖4 yz相圖

2 新混沌系統(tǒng)的一些基本特性

2.1 對稱性和不變性

系統(tǒng)（1）關于z軸對稱；對參數(shù)a，b，c取任意值，系統(tǒng)（1）都是關于z軸對稱.

2.2 耗散性和吸引子的存在性

對于新系統(tǒng)（1）的耗散性可用如下表達式來描述：

當a＝6，b＝1，c＝9時，h＝－7.由此可知，系統(tǒng)（1）是耗散的，但系統(tǒng)（1）是收斂的，其收斂指數(shù)為

即體積元V（0）在時間t時收縮變成體積元V（0）e－（a＋b）t.

2.3 平衡點的穩(wěn)定分析

令y－x＝0，cx－xz＝0，－bz＋xy＝0.由系統(tǒng)（1）可知，若系統(tǒng)具有對稱性，則可得3個平衡點：O（0，0，0），E＋（x1，y1，z1），E-（－x1，－y1，z1）.當a＝6，b＝1，c＝9時，可得到系統(tǒng)（1）的3個平衡點分別為O（0，0，0），E＋（3，3，9），E-（－3，－3，9）.

在平衡點O（0，0，0），可得系統(tǒng)的Jacobian矩陣為

在平衡點O（0，0，0）對系統(tǒng)（1）進行線性化，則可得矩陣的特征值方程為

由（2）式可得3個特征值，它們分別為λ1＝－10.937 3，λ2＝4.937 3，λ3＝－1.0000，其中λ1，λ3是負實數(shù)，λ2是正實數(shù).從3個特征值的值可知，平衡點O（0，0，0）是一個不穩(wěn)定的點，即鞍點.

在平衡點E＋（3，3，9）可得系統(tǒng)的Jacobian矩陣為

在平衡點E＋（3，3，9）對系統(tǒng)（1）進行線性化，則可得矩陣的特征值方程為

由（3）式可得3個特征值，它們分別為λ1＝－7.046 4，λ2＝0.232＋3.914 9i，λ3＝0.232－3.914 9i，其中λ2，λ3是復數(shù)，λ1是負實數(shù).從3個特征值的值可知，E＋（3，3，9）是一個不穩(wěn)定的點，即鞍點.

因新混沌系統(tǒng)具有對稱性，其特性在平衡點E-（－3，－3，9）與平衡點E＋（3，3，9）相同，即E-（－3，－3，9）也是一個不穩(wěn)定的點，即鞍點.

從以上分析可知，新混沌系統(tǒng)具有1個鞍點和2個不穩(wěn)定鞍焦點.

2.4 Lyapunov指數(shù)和分岔圖分析

由于系統(tǒng)（1）的最大Lyapunov指數(shù)是正數(shù)，其Lyapunov維數(shù)是非整數(shù)，因此系統(tǒng)（1）是混沌的.

考慮到參數(shù)a，b，c對系統(tǒng)（1）動力學特性的影響，參數(shù)a，b，c與系統(tǒng)（1）的Lyapunove指數(shù)和分岔圖的關系有如下情形：

情形1 當b＝1，c＝9，a在［0，10］變化時，系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)分別為如圖5，6所示.

圖5 系統(tǒng)（1）在情形1的分岔圖

圖6 系統(tǒng)（1）在情形1的Lyapunov指數(shù)變化曲線

從圖5，6可知，當0.1＜a＜1.113，λLE1＜0，λLE2＜0，λLE3＜0時，系統(tǒng)會聚于平衡點，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當113≤a≤1.114時，系統(tǒng)有許多圓周軌道；當1.114＜a≤8，0＜λLE1，λLE2＜0，λLE3＜0時，系統(tǒng)是混沌的；當8＜a≤8.7時，系統(tǒng)有一個渦卷吸引子；當8.7＜a≤10，λLE1＜0，λLE2＜0，λLE3＜0時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

情形2 當a＝6，c＝9，b在［0，10］變化時，系統(tǒng)（1）的分岔圖和Lyapunov指數(shù)分別為如圖7，8所示.

圖7 系統(tǒng)（1）在情形2的分岔圖

圖8 系統(tǒng)（1）在情形2的Lyapunov指數(shù)變化曲線

從圖7，8可知，當0.049＜b＜0.4時，系統(tǒng)是一個圓周；當0.4≤a≤1.8，0＜λLE1，λLE2＜0，λLE3＜0時，系統(tǒng)是混沌的；當b＝1.81時，系統(tǒng)有1個渦卷吸引子；當1.81＜b≤10，λLE1＜0，λLE2＜0，λLE3＜0時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

情形3 當a＝6，b＝1，c在［0－20］變化時，系統(tǒng)（1）的分岔圖和Lyapunov指數(shù)分別為如圖9，10所示.

圖9 系統(tǒng)（1）在情形3的分岔圖

圖10 系統(tǒng)（1）在情形3的Lyapunov指數(shù)變化曲線

從圖9，10可知，當0.1＜c＜7.4時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當7.4≤c≤20，0＜λLE1，λLE2＜0，λLE3＜0時，系統(tǒng)是混沌的.

從以上分析可知，只有參數(shù)a，b，c取一定值時，系統(tǒng)（1）才存在混沌吸引子.

3 結語

提出了一個新混沌系統(tǒng)，分析了該系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性，以及系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的影響.研究結果表明，新混沌系統(tǒng)確實存在混沌吸引子.

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（責任編輯 陳炳權）

New Chaotic System with One Saddle and Two Unstable Saddle-Foci

WU Xian-ming
（College of Information Science and Engineering，Jishou University，Jishou 416000，Hunan China）

A new chaotic system with a saddle and two unstable saddle-foci is proposed in this paper.The equilibria stability and the relationship between a，b，c of the system and Lyapunov exponents and bifurcation diagrams are analyzed.The numerical simulation is performed in Matlab，and the results show that the new system is chaotic.

Chaos；Lyapunov exponent；bifurcation diagram

O415.5；TP271.62

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.06.008

1007－2985（2013）06－0026－04

2013－08－12

湖南省教育廳科學研究資助項目（10C1086）

吳先明（1972－），男（苗族），湖南保靖人，吉首大學信息科學與工程學院副教授，湖南大學電氣與信息工程學院博士生，主要從事模擬集成電路、濾波器、混沌理論研究.