雍龍泉

（陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西漢中 723001）

應(yīng)用凸函數(shù)證明不等式的2點(diǎn)注記＊

雍龍泉

（陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西漢中 723001）

基于凸函數(shù)的判別定理，指出了在應(yīng)用凸函數(shù)證明不等式時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題，即二階導(dǎo)數(shù)是否存在決定了利用凸函數(shù)證明不等式的出發(fā)點(diǎn).之后，應(yīng)用凸函數(shù)的性質(zhì)證明了康托洛維奇不等式的矩陣形式.

凸函數(shù)；不等式；康托洛維奇不等式

定義1［1］設(shè)f（x）定義在［a，b］上，若對(duì)?x，y∈［a，b］及?α∈［0，1］，有f［αx＋（1－α）y］≤αf（x）＋（1－α）f（y），則稱(chēng)f（x）為［a，b］上的凸函數(shù).

定理1，2為凸函數(shù)的判別［1－2］.

定理2 設(shè)f（x）在［a，b］內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，則f（x）在［a，b］上為凸函數(shù)的充要條件是f″（x）≥0.

事實(shí)上，?x1，x2∈R，α∈［0，1］，由于

命題1 在應(yīng)用凸函數(shù)的性質(zhì)證明不等式時(shí)，應(yīng)注意函數(shù)是否可導(dǎo)：（1）若未告訴f（x）二階可導(dǎo)條件，則只能用定理1來(lái)證明相關(guān)不等式；（2）若告訴了f（x）二階可導(dǎo)條件，則既可用定理1，也可用定理2來(lái)證明相關(guān)不等式.

下面通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明該問(wèn)題.

分析 由于這里f（x）雖然為凸函數(shù)，但是卻未知f（x）二階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)信息，因此只能利用定理1來(lái)證明不等式.

證明 由f（x）為［a，b］上的凸函數(shù)，知f（x）在（a，b）內(nèi)連續(xù)（換句話(huà)說(shuō)，凸函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)只能在邊界上.關(guān)于凸函數(shù)的更多性質(zhì)，可以參考文獻(xiàn)［4－5］），因此f（x）在（a，b）內(nèi)可積.又因

分析 由于這里告訴了f（x）二階可導(dǎo)且f″（x）≥0，因此f（x）在［a，b］上為凸函數(shù)，故可用定理1來(lái)證明該不等式，方法如上.下面利用二階導(dǎo)數(shù)存在且非負(fù)的性質(zhì)來(lái)證明該不等式，作為對(duì)例2的補(bǔ)充.

證明 由于f（x）二階導(dǎo)數(shù)存在，因此做f（x）在［a，b］中點(diǎn)處的二階泰勒展式，有

又因?yàn)閒″（x）≥0，所以f′（x）在［a，b］上為單調(diào)遞增函數(shù).當(dāng)a＜x＜b時(shí)，結(jié)合Lagrange中值定理有

關(guān)于如何利用凸函數(shù)的性質(zhì)來(lái)證明不等式是微積分課程的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，鑒于該內(nèi)容對(duì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)《泛函分析》、《凸分析》等課程具有重要的作用，筆者希望通過(guò)文中的幾個(gè)例題使讀者受到啟發(fā)，使得讀者在利用凸函數(shù)證明相關(guān)不等式時(shí)能夠思路清晰，運(yùn)用準(zhǔn)確，少走彎路.下面利用凸函數(shù)來(lái)證明一個(gè)重要的不等式——康托洛維奇不等式（康托洛維奇不等式是優(yōu)化理論中重要的不等式之一，它在許多方面都有重要應(yīng)用），作為對(duì)命題1的一個(gè)應(yīng)用.

定理3（康托洛維奇不等式） 設(shè)G為n×n的對(duì)稱(chēng)正定矩陣，其特征值為λ1≥λ2≥...≥λn，則對(duì)任何非0向量x∈Rn，總成立不等式

證明 由于G為n×n的對(duì)稱(chēng)正定矩陣，因此存在正交矩陣U，使得G＝UTΛU，其中Λ＝diag（λ1，λ2，...，λn）.做正交變換y＝Ux，得

［1］ 陳傳璋，金福臨.數(shù)學(xué)分析［M］.第2版.北京：高等教育出版社，1983.

［2］ 陳開(kāi)周.最優(yōu)化計(jì)算方法［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1985.

［3］ 胡 克.解析不等式的若干問(wèn)題［M］.第2版.武漢：武漢大學(xué)出版社，2007.

［4］ 應(yīng)玖茜，魏權(quán)齡.非線(xiàn)性規(guī)劃及其理論［M］.北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1994：53－61.

［5］ DIMITRI P BERTSEKAS.Convex Analysis and Optimization（英文影印版）［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2000.

［6］ 賈建華，王克芬.微積分證明方法初析［M］.天津：南開(kāi)大學(xué)出版社，1989.

［7］ 匡繼昌.常用不等式［M］.第3版.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.

（責(zé)任編輯 向陽(yáng)潔）

Two Notes on Proving Inequation by Using Convex Function

YONG Long－quan
（School of Mathematics and Computer Science，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723001，Shaanxi China）

Based on the distinguishing theorem for convex function，the author indicates some problems needing attention on proving inequation by using convex function：whether there exists second derivative is the starting point in proving some inequation.The author then proves the matrix form of Kantorovich inequation by using the property of convex function.

convex function；inequation；Kantorovich inequation

O178；O174.13

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.06.004

1007－2985（2013）06－0012－03

2013－03－20

陜西省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目（12JK0863）

雍龍泉（1980－），男，陜西洋縣人，陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院副教授，碩士，主要從事最優(yōu)化算法研究.