楊 驍，聞敏杰，高華喜

(1.上海大學(xué) 土木系，上海 200072;2.浙江海洋學(xué)院 船舶與建筑工程學(xué)院，浙江 舟山 316004)

自然土體由固液氣三相介質(zhì)組成。當(dāng)土中孔隙全部被水充滿時(shí)，則為飽和土。飽和土中球空腔動(dòng)力響應(yīng)研究已取得不少成果。陳仁朋等［1］研究了飽和土中球空腔穩(wěn)態(tài)振動(dòng)特性，并分析了其在基樁振動(dòng)中的應(yīng)用;此基礎(chǔ)上，徐長(zhǎng)節(jié)等［2-3］采用經(jīng)典 Kelvin本構(gòu)模型，得到了黏彈性飽和土中球空腔的瞬態(tài)響應(yīng);以均勻受壓球空腔為例，比較了飽和土和單相介質(zhì)中球面波的傳播特性。

嚴(yán)格地來說，自然界中絕對(duì)飽和的土是不存在的，相對(duì)于飽和土來說，準(zhǔn)飽和土更為普遍存在，即孔隙中少量氣體以氣泡形式包含于水中［4］。Anderson等［5-6］通過含氣土試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)氣泡自身會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)效應(yīng)，并影響土體的壓縮性、滲透性等性質(zhì);之后一些學(xué)者又以交通荷載等為例，分析飽和度對(duì)瑞利波傳播特性的影響［7-9］。然而，對(duì)于準(zhǔn)飽和土中球空腔動(dòng)力響應(yīng)研究較少。徐長(zhǎng)節(jié)等［10］在Laplace變換域內(nèi)得到了彈性準(zhǔn)飽和土中球空腔動(dòng)力響應(yīng)的解析解。在此基礎(chǔ)上又采用經(jīng)典Kelvin模型描述了土體的粘性［11］。上述僅考慮了邊界自由滲透或不滲透兩種特殊情況，也忽略了襯砌的影響。梁堯箎［12］提出了滲流場(chǎng)的形成與襯砌和土體的滲透系數(shù)有關(guān)，當(dāng)襯砌材料滲透系數(shù)小于土體的滲透系數(shù)時(shí)，全部水頭由襯砌(介質(zhì))承擔(dān);當(dāng)兩者相等時(shí)，滲流場(chǎng)均勻分布;當(dāng)襯砌滲透系數(shù)大于土體的滲透系數(shù)時(shí)，全部水頭由孔隙水承擔(dān)。Li［13］以隧道工程為例，提出了絕大部分隧道不單是透水或不透水，而是處于半封閉狀態(tài)的觀點(diǎn)。

另外，與經(jīng)典微分型和積分型黏彈性本構(gòu)關(guān)系相比，分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型可在較寬的頻率范圍內(nèi)擬合材料的力學(xué)性能和行為，而且具有模型簡(jiǎn)單及確定模型所需要實(shí)驗(yàn)參數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)［14-15］。近年來，在巖土工程領(lǐng)域得到了深入研究［16-18］，而在描述準(zhǔn)飽和土力學(xué)行為方面還未見相關(guān)報(bào)道。

本文基于Biot兩相動(dòng)力固結(jié)理論，將襯砌和土骨架分別視為多孔柔性材料和具有分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)關(guān)系的黏彈性體，在頻率域內(nèi)得到了簡(jiǎn)諧軸對(duì)稱荷載和流體壓力作用下分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性飽和土中球空腔穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)準(zhǔn)飽和土的位移、應(yīng)力和孔壓解析表達(dá)式。利用界面處襯砌中的流量與準(zhǔn)飽和土中孔隙水流量相等，建立了球空腔邊界部分透水條件。根據(jù)連續(xù)性條件，求得了待定系數(shù)的表達(dá)式，并考察了相對(duì)滲透系數(shù)、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)、材料參數(shù)、飽和度等對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

如圖1，球空腔襯砌內(nèi)徑為R1，外徑為R2;而襯砌厚度d=R2-R1。襯砌邊界分別作用圓頻率為ω的軸對(duì)稱荷載qseiωt(i2=-1)和流體壓力qFeiωt(i2=-1);由于襯砌厚度遠(yuǎn)小于球空腔半徑，設(shè)荷載或流體壓力無論作用在襯砌內(nèi)邊界還是外邊界結(jié)果無任何區(qū)別［19］。假設(shè)襯砌為多孔柔性材料(EL→0)，記球空腔襯砌外邊界水頭為P2，而內(nèi)邊界水頭為P1，并忽略襯砌中孔隙水的影響。

圖1 黏彈性準(zhǔn)飽和土中球空腔模型Fig.1 Model of spherical cavity in nearly viscoelastic soil

2 分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性準(zhǔn)飽和土控制方程

由于準(zhǔn)飽和土中氣體以氣泡形式存在于水中，故可將水-氣混合物等價(jià)為一種均勻的流體，采用兩相孔隙介質(zhì)理論來模擬準(zhǔn)飽和土［20］。根據(jù)Biot兩相動(dòng)力固結(jié)理論，可知土體的動(dòng)力方程［21］

總應(yīng)力σST可表示為:

分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型描述的土骨架應(yīng)力—應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系用張量表示為［17］:

式中，σSE為有效應(yīng)力張量;λS，μS，和為土骨架材料參數(shù)，λS=2νSμS/(1-2νS)，νS為土顆粒泊松比;且0＜α＜1，Dα=dα/dtα為α階黎曼—?jiǎng)⒕S爾分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，定義為:

從式(3)中看出，當(dāng) α=0或 τσ=τε=0時(shí)，該模型退化為經(jīng)典彈性模型;而當(dāng)α=1時(shí)，該模型可退化為標(biāo)準(zhǔn)線性固體模型。

土骨架應(yīng)變-位移本構(gòu)關(guān)系可用張量表示為:

根據(jù)Biot動(dòng)力固結(jié)理論，孔隙水壓力滿足如下本構(gòu)關(guān)系:

式中，β，M分別表示土骨架和孔隙流體的壓縮性系數(shù)，可表示為［10］

式中，Ks，Kb，Kf分別表示土顆粒、土骨架和孔隙流體的體積模量。

孔隙流體的體積模量Kf可近似的表示為:

式中，Kw為孔隙水的體積模量;而p0為絕對(duì)孔隙壓力。從式(8)看出，由于絕對(duì)孔壓很小，土體中氣體含量對(duì)孔隙流體的體積模量影響較大。

孔隙流體運(yùn)動(dòng)方程為:

式中，b=nρFg/kd為土骨架和流體相互作用系數(shù);kd為動(dòng)力滲透系數(shù)。

結(jié)合式(1)～式(3)及式(5)和式(6)，可得到:

再將式(6)代入式(9)，解得:

為了求解用位移表示的土體控制方程式(10)和式(11)，引入如下位移勢(shì)函數(shù):

對(duì)于穩(wěn)態(tài)振動(dòng)，設(shè):

同時(shí)，引入無量綱量和常量

于是，將式(12)～式(14)代入式(10)和式(11)后，可整理得

式中:

由式(15)可分解得:

這里，要求 Re(δi)＞0(i=1，2)，且Ai和Bi(i=1，2)為待定系數(shù)。

將式(18)代入式(15)，可得到以下關(guān)系式

式中，

由位移勢(shì)函數(shù)式(12)和式(18)，得:

再由式(21)和(22)代入孔隙水壓力滿足的本構(gòu)關(guān)系(6)，得:

于是，由本構(gòu)關(guān)系(3)和式(21)、式(22)，可得土骨架有效應(yīng)力為:

顯然，由有效應(yīng)力算式(2)和式(3)可得到土體總應(yīng)力為:

式中，

3 邊界條件

首先，來確定簡(jiǎn)諧軸對(duì)稱荷載qSeiωt(i2=-1)作用下的邊界條件。由于多孔柔性襯砌(EL→0)的厚度遠(yuǎn)小于球空腔半徑大小，故假設(shè)荷載無論作用在襯砌內(nèi)邊界還是外邊界無任何區(qū)別。為此，應(yīng)力協(xié)調(diào)條件為

假設(shè)襯砌不產(chǎn)生變形，且襯砌和土體緊密接觸，忽略襯砌中孔隙流體的影響，利用Darcy滲透定律可得襯砌中的流量［13］

式中，vl為流量;kL為動(dòng)力滲透系數(shù);γw為流體重度。

然而，準(zhǔn)飽和黏彈性土中孔隙水的流量為:

由此，可得P2=p，P1=0，利用界面處(r=R2)飽和黏彈性土中流量和襯砌中水的流量相等［13］，得:

式中，κ=kL/kd(lnR2-lnR2)由襯砌和土體相對(duì)滲透系數(shù)和襯砌的幾何尺寸決定。當(dāng)kL?kd時(shí)，κ→0，邊界不滲透，襯砌處于封閉狀態(tài);當(dāng)kL?kd時(shí)，κ→∞，邊界為自由滲透，襯砌為不封閉狀態(tài)。

再次，確定流體壓力作用qFeiωt(i2=-1)下的邊界條件。假設(shè)在邊界應(yīng)力初始釋放，則流體壓力全部由孔隙水承擔(dān):

同理，得到界面處準(zhǔn)飽和土中水頭以及襯砌中的水頭為P2=p，P1=qFeiωt。由此:

因此，利用邊界條件式(27)、(30)及式(31)和(32)，可得分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)黏彈性土中球空腔穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的解析解。

4 對(duì)比分析

［11，17］取值:

圖2 三種模型比較分析Fig.2 Comparative analysis of three models

5 計(jì)算結(jié)果分析與討論

下面分析相對(duì)滲透系數(shù)κ、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)α、材料參數(shù)比Tσ/Tε和飽和度Sr對(duì)黏彈性準(zhǔn)飽和土中球空腔振動(dòng)特性的影響。按式(33)取值。

計(jì)算過程中定義位移、應(yīng)力和孔壓幅值為:

圖3 滲透系數(shù)κ對(duì)徑向位移幅值的影響Fig.3 Influence of the permeability coefficient κ on the radial displacement amplitude

圖4 階數(shù)α對(duì)徑向位移幅值的影響Fig.4 Influence of the order α on the radial displacement amplitude

圖5 材料參數(shù)比Tσ/Tε對(duì)徑向位移幅值的影響Fig.5 Influence of the material parameter Tσ/Tεon the radial displacement amplitude

首先來考察簡(jiǎn)諧軸對(duì)稱荷載作用下物性和幾何參數(shù)對(duì)徑向位移幅值和孔隙水壓力幅值的影響。圖3表示在η=1.5處襯砌和土體相對(duì)滲透系數(shù)κ對(duì)徑向位移幅值的影響?？梢?，隨著滲透系數(shù)的增加，位移幅值逐漸減小。從中發(fā)現(xiàn)當(dāng)滲透系數(shù)κ=0.1和κ=0.01時(shí)對(duì)位移幅值幾乎無任何影響，這表明當(dāng)κ=0.1時(shí)，空腔邊界已經(jīng)接近不透水狀態(tài)(κ→0);而當(dāng)κ=10和κ=100時(shí)位移幅值幾乎無變化，說明空腔邊界已經(jīng)接近透水狀態(tài)(κ→∞)。滲透系數(shù)更精確地描述了球空腔的滲透特性。圖4表示分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)α對(duì)徑向位移幅值的影響?？梢?，隨著階數(shù)的增加，位移幅值逐漸減小，共振效應(yīng)減弱。由于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)的確定受試驗(yàn)數(shù)據(jù)和土體外界環(huán)境影響較大。因此，可以通過改變其值來擬合試驗(yàn)數(shù)據(jù)。圖5為材料參數(shù)比Tσ/Tε對(duì)徑向位移幅值的影響。從圖中看出，隨著Tσ/Tε的增加，徑向位移幅值的峰值逐漸減小。這是由于Tσ/Tε較大時(shí)，準(zhǔn)飽和土的阻尼越大所導(dǎo)致的。圖5-圖7分別表示飽和度對(duì)徑向位移幅值、徑向應(yīng)力幅值和孔壓幅值的影響。可見，飽和度對(duì)孔壓幅值的影響遠(yuǎn)大于對(duì)徑向位移幅值和徑向應(yīng)力幅值的影響。圖6可見，準(zhǔn)飽和土?xí)r的位移幅值峰值大于飽和土?xí)r位移幅值的峰值。但在穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)，對(duì)于準(zhǔn)飽和土來說，飽和度對(duì)位移幅值影響幾乎相同。從圖7發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)飽和土的徑向應(yīng)力幅值峰值比飽和土的徑向應(yīng)力幅值的峰值要大，但衰減的要快。圖8可見，飽和土的孔壓幅值遠(yuǎn)大于準(zhǔn)飽和土的孔壓幅值，這是由于當(dāng)飽和土?xí)r，孔隙水充滿整個(gè)孔隙，造成孔壓較大。因此，將土體視為飽和多孔介質(zhì)過高地估算了孔壓幅值。

下面來考察流體壓力作用下物性和幾何參數(shù)對(duì)徑向位移幅值和孔隙水壓力幅值的影響。圖9表示在η=1.5處襯砌和土體相對(duì)滲透系數(shù)κ對(duì)徑向位移幅值的影響?？梢?，流體壓力作用下滲透系數(shù)對(duì)位移幅值的影響與簡(jiǎn)諧軸對(duì)稱荷載作用下的影響差異很大。隨著滲透系數(shù)的增加，位移幅值反而增大。當(dāng)κ=0.01時(shí)即邊界接近不透水(κ→0)，位移幅值幾乎為零。這是因?yàn)槌跏紤?yīng)力釋放，球空腔流體壓力全部由孔隙水承擔(dān)所引起的。圖10為分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)對(duì)徑向位移幅值的影響。隨著階數(shù)的增加，位移幅值逐漸減小?？梢?，分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)更精確地描述了流體壓力作用下準(zhǔn)飽和土球空腔振動(dòng)特性。圖11表示材料參數(shù)比對(duì)徑向位移幅值的影響?？梢姡牧蠀?shù)比越大，位移幅值越小，這與軸對(duì)稱荷載作用下有類似的影響。圖12～圖14表示流體壓力作用下飽和度分別對(duì)徑向位移幅值、應(yīng)力幅值和孔壓幅值的影響。流體壓力作用下飽和度對(duì)響應(yīng)幅值的影響相對(duì)較小。圖12中，準(zhǔn)飽和土?xí)r的位移幅值比飽和土的位移幅值要大，這是由于準(zhǔn)飽和土中有以氣泡形式存在的氣體所引起的。圖13中可見，準(zhǔn)飽和土的應(yīng)力幅值大于飽和土的應(yīng)力幅值。圖14中，準(zhǔn)飽和土的孔壓幅值反而小于飽和土中的孔壓幅值，這是因?yàn)轱柡屯潦羌僭O(shè)孔隙被水充滿所造成的。

圖6 飽和度Sr對(duì)徑向位移幅值的影響Fig.6 Influence of the saturation Sr on the radial displacement amplitude

圖7 飽和度Sr對(duì)徑向應(yīng)力幅值的影響Fig.7 Influence of the saturation Sr on the radial stress amplitude

圖8 飽和度Sr對(duì)孔隙水壓力幅值的影響Fig.8 Influence of the saturation Sron the pore water pressure amplitude

圖9 滲透系數(shù)κ對(duì)徑向位移幅值的影響Fig.9 Influence of the permeability coefficient κ on the radial displacement amplitude

圖10 階數(shù)α對(duì)徑向位移幅值的影響Fig.10 Influence of the order α on the radial displacement amplitude

圖11 材料參數(shù)比Tσ/Tε對(duì)徑向位移幅值的影響Fig.11 Influence of the material parameter Tσ/Tεon the radial displacement amplitude

圖12 飽和度Sr對(duì)徑向位移幅值的影響Fig.12 Influence of the saturation Sr on the radial displacement amplitude

圖13 飽和度Sr對(duì)徑向應(yīng)力幅值的影響Fig.13 Influence of the saturation Sr on the radial stress amplitude

圖14 飽和度Sr對(duì)孔隙水壓力幅值的影響Fig.14 Influence of the saturation Sr on the pore water pressure amplitude

6 結(jié)論

將水—?dú)饣旌衔锖屯凉羌芊謩e視為一種均勻的流體和具有分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)本構(gòu)關(guān)系的黏彈性體，采用Biot兩相孔隙介質(zhì)理論來模擬準(zhǔn)飽和土，在頻率域內(nèi)得到了簡(jiǎn)諧軸對(duì)稱荷載或流體壓力作用下準(zhǔn)飽和土中球空腔穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí)位移、應(yīng)力和孔壓表達(dá)式，考察了物性和幾何參數(shù)對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響，得到如下結(jié)論:

(1)簡(jiǎn)諧軸對(duì)稱荷載和流體壓力兩種情況時(shí)，相對(duì)滲透系數(shù)κ對(duì)準(zhǔn)飽和土中球空腔的動(dòng)力響應(yīng)影響很大。軸對(duì)稱荷載時(shí)，隨著滲透系數(shù)的增加，動(dòng)力響應(yīng)減小，而流體壓力時(shí)隨著滲透系數(shù)增加，反而動(dòng)力響應(yīng)反而增大。

(2)隨著分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)階數(shù)的增加，共振效應(yīng)明顯減弱。由此可見，分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)模型更精確地反映了球空腔的振動(dòng)特性。通過改變模型參數(shù)可以更好地描述土體的力學(xué)行為。

(3)隨著材料參數(shù)比的增加，由于土體的阻抗增大，動(dòng)力響應(yīng)明顯減小。

(4)軸對(duì)稱荷載時(shí)，飽和度對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響比流體壓力作用下飽和度對(duì)動(dòng)力響應(yīng)影響較大。

參考文獻(xiàn)

［1］陳仁朋，陳云敏，宣偉麗，等.飽和土中球形空腔穩(wěn)態(tài)振動(dòng)及其在基樁中的應(yīng)用［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，1998，11(3):373-377.

CHEN Ren-peng，CHEN Yun-min，XUAN Wei-li，et al.Dynamic response of a spherical cavity in saturated soil and its application to piles［J］.Journal of Vibration Engineering，1998，11(3):373-377.

［2］徐長(zhǎng)節(jié)，蔡袁強(qiáng).粘彈性飽和土中球空腔的動(dòng)力響應(yīng)［J］.土木工程學(xué)報(bào)，2001，34(4):88-92.

XU Chang-jie， CAIYuan-qiang. Dynamicresponseof spherical cavity in viscoelastic saturated soils［J］.China Civil Engineering Journal，2001，34(4):88-92.

［3］徐長(zhǎng)節(jié)，吳世明.飽和土中球面波的傳播［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)學(xué)報(bào)，1998，19(3):223-231.

XU Chang-jie，WU Shi-ming.Spherical wave propagation in saturated soils［J］.Applied Mathematics and Mechanics，1998，19(3):223-231.

［4］周洪峰，朱陸明，徐長(zhǎng)節(jié)，等.準(zhǔn)飽和土地基剛性基礎(chǔ)的豎向振動(dòng)分析［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，38(4):605-608.

ZHOU Hong-feng，ZHU Lu-ming，XU Chang-jie，et al.Vertical vibration of a rigid foundation on nearly saturated soil［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2006，38(4):605-608.

［5］Anderson A L，Hamton L D.Acoustics of gas-bearing sediments I.Background［J］.Acoustical society of America，1980，67(6):1865-1889.

［6］Anderson A L，Hamton L D.Acoustics of gas-bearing sediments II.Measurements and models［J］.Acoustical society of America，1980，67(6):1865-1889.

［7］Bardet J P，Sayed H.Velocity and attenuation of compressional waves in nearly saturated soils［J］.Soil Dynamics and Earthquake Engineering，1993，12(7):391-401.

［8］徐 平，夏唐代，閆東明.平面P1波入射下飽和度對(duì)深埋圓形襯砌動(dòng)應(yīng)力集中因子的影響［J］.振動(dòng)與沖擊，2007，26(4):46-49.

XU Ping，XIA Tang-dai，YAN Dong-ming.Influence of saturation level on dynamic stress concentration factor of a deeply-buried circular lining caused by an incident plane P1 wave［J］.Journal of Vibration and Shock，2007，26(4):46-49.

［9］王 潔，陳漢良，夏唐代.列車行駛隨機(jī)激勵(lì)引起周圍地面振動(dòng)響應(yīng)分析及其應(yīng)用［J］.振動(dòng)與沖擊，2004，23(1):88-90.

WANG Jie，CHEN Han-liang，XIA Tang-dai.Analysis of ground vibration under random excitation induced by passing train its application［J］.Journal of Vibration and Shock，2004，23(1):88-90.

［10］徐長(zhǎng)節(jié)，馬曉華，蔡袁強(qiáng).彈性準(zhǔn)飽和土中球空腔的動(dòng)力響應(yīng)［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2005，27(8):934-938.

XU Chang-jie，MA Xiao-hua，CAI Yuan-qing.Dynamic response of spherical cavity in nearly saturated elastic soils［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，2005，27(8):934-938.

［11］徐長(zhǎng)節(jié)，馬曉華.粘彈性準(zhǔn)飽和土中球空腔的動(dòng)力響應(yīng)［J］.巖土力學(xué)，2005，26(8):1189-1194.

XU Chang-jie，MA Xiao-hua.Dynamic response of spherical cavity in nearly saturated viscoelastic soils［J］.Rock and Soil Mechanics，2005，26(8):1189-1194.

［12］梁堯箎.水工隧洞中的滲透動(dòng)水壓力［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，1984，6(1):85-90.

LIANG Yao-chi.Hydrodynamic seepage pressure of hydraulic pressure tunnel［J］.Chinese Journal of Geotechnical，1984，6(1):85-90.

［13］ Li X.Stress and displacement fields around a deep circular tunnel with partial sealing［J］.Computers and Geotechnics，1999，24(2):125-140.

［14］ Bagley R L， Torvik P J. A theoretical basis for the application of fractional calculus to viscoelasticity［J］.Journal of Rheology，1983，27(3):201-210.

［15］劉林超，楊 驍.基于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型的粘彈性樁振動(dòng)分析［J］.應(yīng)用基礎(chǔ)科學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2009，17(2):303-308.

LIU Lin-chao，YANG Xiao.Dynamic analysis of viscoelastic piles based on fractional derivative model［J］.Journal of Basic Science and Engineering，2009，17(2):303-308.

［16］劉林超，閆啟方，孫海忠.軟土流變特性的模型研究［J］.巖土力學(xué)，2006，27(增刊):214-217.

LIU Lin-chao，YAN Qi-fang ，SUN Hai-zhong.Study on model of rheological property of soft clay［J］.Rock and Soil Mechanics，2006，27(Supp):214-217.

［17］劉林超，閆啟方，楊 驍.分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)粘彈性土層模型中樁基豎向振動(dòng)特性研究［J］.工程力學(xué)，2011，28(8):177-182.

LIU Lin-chao，YAN Qi-fang，YANG Xiao.Vertical vibration of single pile in soil described by fractional derivative viscoelastic model［J］，Engineering Mechanics，2011，28(8):177-182.

［18］何利軍，孔令偉，吳文軍，等.采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)描述軟黏土蠕變的模型［J］.巖土力學(xué)，2011，32(增刊2):239-244.

HE Li-jun， KONG Li-wei， WU Wen-jun， etal. A description of creep model for soft soil with fractional derivative［J］.Rock and Soil Mechanics，2011，32(Supp.2):239-244.

［19］劉干斌，頓志林，謝康和，等.粘彈性飽和土體中半封閉圓形隧洞的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析［J］.中國(guó)鐵道科學(xué)，2004，25(5):78-83.

LIU Gan-bin，DUN Zhi-lin，XIE Kang-he，et al.Steady state response ofa partially sealed circulartunnelin viscoelastic saturated soil［J］.China Railway Science，2004，25(5):78-83.

［20］徐 平，夏唐代.飽和度對(duì)準(zhǔn)飽和土體中瑞利波傳播特性的影響［J］.振動(dòng)與沖擊，2008，27(4):11-14.

XU Ping，XIA Tang-dai.Influence of saturation degree on propagation characteristics ofrayleigh waves in nearly saturated soils［J］.Journal of Vibration and Shock，2008，27(4):11-14.

［21］ Biot M A.Theory of propagation of elastic waves in a fluidsaturated porous media.I.Low frequency range［J］.The Journal of the Acoustical Society of America，1956，28(2):168-178.