李 濱，林 滸，劉 峰，鄭飂默

（1.中國(guó)科學(xué)院研究生院，北京100039；2.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)計(jì)算技術(shù)研究所，遼寧 沈陽(yáng)110168）

0 引 言

五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控機(jī)床具有加工精密度高，速度快和較大的靈活性，經(jīng)濟(jì)效益高等諸多優(yōu)點(diǎn)，在電力、船舶、航空航天等各領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用。高精度雙擺頭作為五軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床中的關(guān)鍵部件，其發(fā)展水平已經(jīng)成為衡量五軸機(jī)床性能的一項(xiàng)重要指標(biāo)［1－2］，本文以CA擺頭五軸機(jī)床為研究對(duì)象，通過(guò)充分分析各運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差對(duì)機(jī)床運(yùn)動(dòng)的影響，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)建模理論，建立了一種帶誤差的CA擺頭五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并提出了一種有效的CA擺頭結(jié)構(gòu)誤差的測(cè)量和優(yōu)化方法，同時(shí)，可為其它擺頭類五軸機(jī)床結(jié)構(gòu)誤差的測(cè)量提供參考。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)變換矩陣

由齊次變換矩陣相關(guān)知識(shí)［3］，相對(duì)空間任意位置矢量L＝Lxi＋Lyj＋Lzk平移的變換矩陣通式為

繞空間任意單位矢量N＝Nxi＋Nyj＋Nzk旋轉(zhuǎn)θ的旋轉(zhuǎn)矩陣通式為

1.2 無(wú)誤差CA擺頭結(jié)構(gòu)

無(wú)誤差CA擺頭五軸機(jī)床結(jié)構(gòu)如圖1所示，該類型機(jī)床具有C軸、A軸兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，分別繞Z軸線性軸、X軸線性軸旋轉(zhuǎn)，并且兩旋轉(zhuǎn)軸軸線與主軸軸線相交于一點(diǎn)。實(shí)際加工中的加工程序都是基于此種無(wú)誤差的機(jī)床結(jié)構(gòu)進(jìn)行編制的。

圖1 無(wú)誤差擺頭

1.3 帶誤差CA擺頭結(jié)構(gòu)

在制造擺頭類五軸機(jī)床時(shí)，使兩旋轉(zhuǎn)軸相交，使旋轉(zhuǎn)軸中心在本來(lái)的位置、方向上，另外使主軸旋轉(zhuǎn)中心在本來(lái)的位置、方向上正確制造是十分困難的，會(huì)存在偏差［4－5］。這使得采用基于無(wú)誤差的機(jī)床結(jié)構(gòu)編制的數(shù)控程序進(jìn)行加工時(shí)，刀心點(diǎn)的實(shí)際位置與理想位置會(huì)存在一定的誤差，影響擺頭類機(jī)床加工精度。

帶誤差的CA擺頭五軸機(jī)床結(jié)構(gòu)如圖2所示。

1.4 帶誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

根據(jù)如圖2所示的帶誤差的CA擺頭機(jī)床結(jié)構(gòu)，設(shè)C軸單位方向矢量為 NC（NC.x，NC.y，NC.z），轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θc，A 軸單位方向矢量為 NA（NA.x，NA.y，NA.z），A軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度為θa，C 軸 與 A 軸 的 位 置 偏 離 矢 量 為 LCA（LCA.x，LCA.y，LCA.z），A 軸 與 主 軸 端 點(diǎn) （刀 心 點(diǎn)）偏 離 矢 量 為L(zhǎng)AT（LAT.x，LAT.y，LAT.z），X、Y、Z軸的運(yùn)動(dòng)矢量為 （Px，Py，Pz），刀心點(diǎn)的坐標(biāo)矢量為 （Qx，Qy，Qz），以上矢量的定義，均為同一坐標(biāo)系下的坐標(biāo)矢量。

通過(guò)充分分析CA擺頭運(yùn)動(dòng)學(xué)特性［6－7］，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)理論［8－10］，建立CA擺頭五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下

圖2 帶誤差擺頭

式中：Trans——坐標(biāo)平移變換矩陣，Rot——坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換矩陣［11］。

通過(guò)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解模型 （1），可求得給定5個(gè)軸的進(jìn)給量后刀心點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系的坐標(biāo)。

模型 （1）中的矢量NC、NA、LCA、LAT即為本文所提算法要測(cè)量計(jì)算的CA擺頭五軸機(jī)床的誤差參數(shù)。

2 誤差測(cè)量

由于旋轉(zhuǎn)軸位于擺頭內(nèi)部，無(wú)法方便的用測(cè)量設(shè)備直接測(cè)量各誤差項(xiàng)的值，因此采用間接測(cè)量的方式。

通過(guò)分析各誤差項(xiàng)對(duì)五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)的影響，可得到如下關(guān)系：保持一旋轉(zhuǎn)軸角度不變，使令一旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，刀心點(diǎn)軌跡所在平面的法線方向即為此旋轉(zhuǎn)軸軸向方向。又因?yàn)橥ㄟ^(guò)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定平面法向矢量，因此，本文提出了分兩次測(cè)量，每次固定一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，每次測(cè)量3個(gè)刀心點(diǎn)的測(cè)量方法。

兩次測(cè)量具體步驟為：第一次測(cè)量保持C軸角度不變，A軸轉(zhuǎn)動(dòng)3個(gè)行程內(nèi)任意角度，機(jī)床X、Y、Z線性軸進(jìn)給量取行程內(nèi)任意值，以確定機(jī)床3個(gè)位置，測(cè)量相應(yīng)位置機(jī)床刀心點(diǎn)的坐標(biāo)；第二次測(cè)量保持A軸角度不變，C軸轉(zhuǎn)動(dòng)3個(gè)行程內(nèi)任意角度，機(jī)床X、Y、Z線性軸進(jìn)給量取行程內(nèi)任意值，以確定機(jī)床3個(gè)位置，測(cè)量相應(yīng)位置機(jī)床刀心點(diǎn)的坐標(biāo)。

算法分析及具體流程如下：

為描述方便，設(shè)第一次測(cè)量時(shí)，機(jī)床3個(gè)位置的各軸進(jìn)給量相應(yīng)分別為：X、Y、Z線性軸為 PAi（PAi.x，PAi.y，PAi.z）（i＝1，2，3）；A軸旋轉(zhuǎn)角度為θai（i＝1，2，3）；C軸旋轉(zhuǎn)角度為θc保持不變。同時(shí)，設(shè)測(cè)得的刀心點(diǎn)的坐標(biāo)相應(yīng)分別為：QAi（QAi.x，QAiy，QAiz，1）T（i＝1，2，3）。設(shè)第二次測(cè)量時(shí)，機(jī)床3個(gè)位置的各軸進(jìn)給量相應(yīng)分別為：X、Y、Z線性軸為PCi（PCi.x，PCi.y，PCi.z）（i＝1，2，3）；C 軸旋轉(zhuǎn)角度為θci（i＝1，2，3）；A軸旋轉(zhuǎn)角度為θa保持不變。同時(shí)，設(shè)測(cè)得的刀心點(diǎn)的坐標(biāo)相應(yīng)分別為：QCi（QCi.x，QCi.y，QCi.z，1）T（i＝1，2，3）。

對(duì)于兩次測(cè)量設(shè)置的每個(gè)位置，將其各軸進(jìn)給量帶入模型 （1）即可得到刀心點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合測(cè)量得到的刀心點(diǎn)的坐標(biāo)，得到下列關(guān)系式

2.1 C軸軸向單位矢量

為計(jì)算C軸軸向單位矢量，記位置矢量Trans（PCi.x，PCi.y，PCi.z）－1×QCi＝ μci， 根 據(jù) 式 （3），位 置 矢 量 μc1、μc2、μc3位于刀心點(diǎn)繞C軸旋轉(zhuǎn)的圓周上。因此3個(gè)刀心點(diǎn)所在平面的法向量即為C軸軸向，通過(guò)向量差乘的方法，求得 C軸的單位方向矢量 NC（NC.x，NC.y，NC.z）

式 （4）中沒(méi)有其他未知參數(shù)，因此，可以通過(guò)式（4），根據(jù)已知量和測(cè)量值準(zhǔn)確計(jì) NC（NC.x，NC.y，NC.z）的值，當(dāng)式 （4）求得的單位方向矢量的Z方向分量為正時(shí)，式 （4）右邊取正號(hào)，為負(fù)時(shí)，取負(fù)號(hào)。

2.2 A軸軸向單位矢量

為計(jì)算A軸軸向單位矢量，記位置矢量Rot（NC，θc）－1Trans（PAi.x，PAi.y，PAi.z）－1QAi＝μai。根據(jù)式 （2），位置矢量μa1、μa2、μa3位于刀心點(diǎn)繞A軸旋轉(zhuǎn)的圓周上。因此3個(gè)刀心點(diǎn)所在平面的法向量即為A軸軸向，通過(guò)向量差乘的方法，求得 A 軸的單位方向矢量 NA（NA.x，NA.y，NA.z）

式中，NC（NC.x，NC.y，NC.z）已有式 （4）求得，式 （5）中沒(méi)有其他未知參數(shù)，因此，可以通過(guò)式 （5），準(zhǔn)確計(jì)算NA（NA.x，NA.y，NA.z）的值，當(dāng)式 （5）求得的單位方向矢量的X方向分量為正時(shí)，式 （5）右邊取正號(hào)，為負(fù)時(shí)，取負(fù)號(hào)。

2.3 A軸主軸位置偏離矢量

在建立CA擺頭五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型時(shí)，需要選取A軸的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)，理論上，可選取A軸軸線上任意點(diǎn)作為A軸的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)，因此，可以通過(guò)設(shè)置LAT.x的值 （稱為A軸X方向定標(biāo)），以確定A軸的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)。

分析式 （2），可得到如下關(guān)系式

結(jié)合式 （6），給定i、j，可求得LAT.y、LAT.z的值。

為描述方便記

式中：vax，vay，vaz——方向矢量μaj－μai的X、Y、Z方向分量

則計(jì)算LAT.y、LAT.z的表達(dá)式為

式中：NC（NC.x，NC.y，NC.z）、NA（NA.x，NA.y，NA.z）已分別由式 （4）、式 （5）計(jì)算得到。式 （7）、式 （8）為L(zhǎng)AT.y、LAT.z關(guān)于LAT.x的方程，通過(guò)給A軸X方向定標(biāo)，設(shè)置LAT.x的 值， 即 可 應(yīng) 用 式 （7）、 式 （8）求 得 LAT.y、LAT.z的值。

2.4 C軸A軸位置偏離矢量

分析式 （3），可得到如下關(guān)系式

由此得到計(jì)算LCA（LCA.x，LCA.y，LCA.z）的表達(dá)式如下

式中：NC（NC.x，NC.y，NC.z）、NA（NA.x，NA.y，NA.z）已分別由式 （4）、式 （5）計(jì)算得到。LAT（LAT.x，LAT.y，LAT.z）的值已通過(guò)A軸X方向定標(biāo)以及式 （7）、式 （8）求的，因此可以用式 （10）求得LCA（LCA.x，LCA.y，LCA.z）的值。

2.5 測(cè)量流程

經(jīng)過(guò)以上4個(gè)步驟，即可求得CA擺頭各誤差項(xiàng)的值，進(jìn)而校驗(yàn)CA擺頭是否存在誤差及存在何種誤差，將各誤差項(xiàng)的值，補(bǔ)償?shù)侥Ｐ?（1）中，進(jìn)行優(yōu)化，得到模型 （1）的準(zhǔn)確表達(dá)式，利用模型 （1），即可得到刀心點(diǎn)的實(shí)際坐標(biāo)值，實(shí)現(xiàn)機(jī)床的準(zhǔn)確加工。

在具體測(cè)量時(shí)，測(cè)A軸時(shí)設(shè)置的A軸的3個(gè)角度值，差距應(yīng)該足夠大，否則，會(huì)影響各誤差項(xiàng)的測(cè)量計(jì)算精度。同理，測(cè)C軸時(shí)，C軸的3個(gè)角度值的差距應(yīng)設(shè)置的足夠大。

對(duì)各誤差項(xiàng)的測(cè)量計(jì)算過(guò)程中，需要對(duì)A軸旋轉(zhuǎn)軸定標(biāo)，以確定A軸旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)，不同的旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)，線 性 偏 離 量 LCA（LCA.x，LCA.y，LCA.z）、LAT（LAT.x，LAT.y，LAT.z）會(huì)有所不同，但都對(duì)應(yīng)同一種機(jī)床結(jié)構(gòu)，即將誤差項(xiàng)的值補(bǔ)償?shù)竭\(yùn)動(dòng)學(xué)模型中后，模型是一樣的。

為更形象、更直觀的展示本文所提算法，建立本算法的流程示意圖如圖3 （用五元組 （X，Y，Z，C，A）表示CA擺頭五軸機(jī)床相應(yīng)軸的進(jìn)給量）。

圖3 誤差測(cè)量流程

3 實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證

根據(jù)上述算法分析及算法流程，使用VC6.0開(kāi)發(fā)了一種CA擺頭誤差測(cè)量系統(tǒng)，系統(tǒng)輸入為兩次測(cè)量的刀心點(diǎn)位置矢量及各軸相應(yīng)進(jìn)給量 （如圖4所示），在輸入完成后，系統(tǒng)會(huì)應(yīng)用本文所提算法，計(jì)算CA擺頭的各個(gè)誤差參數(shù)值并輸出 （如圖5所示）。

為驗(yàn)證本算法及測(cè)量系統(tǒng)的正確性，根據(jù)已建立的CA擺頭五軸機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，基于VC6.0開(kāi)發(fā)了一種CA擺頭機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真系統(tǒng) （如圖6所示），系統(tǒng)通過(guò)設(shè)定模型中的各個(gè)誤差項(xiàng)的值 （machine set）模塊，形成特定的機(jī)床結(jié)構(gòu)，給定機(jī)床線性軸及旋轉(zhuǎn)軸的值 （get tips coordinate values）模塊，模擬機(jī)床運(yùn)動(dòng)，準(zhǔn)確計(jì)算輸出刀心點(diǎn)的位置矢量。

圖6 機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真系統(tǒng)

針對(duì)CA擺頭五軸機(jī)床進(jìn)行測(cè)量實(shí)驗(yàn)，應(yīng)用機(jī)床仿真系統(tǒng)按表1設(shè)置各個(gè)誤差項(xiàng)的值，并仿真測(cè)量過(guò)程，得到各軸進(jìn)給量及相應(yīng)刀心點(diǎn)的坐標(biāo)，輸入到測(cè)量系統(tǒng)中，得到如圖5所示的輸出結(jié)果。

表1 仿真系統(tǒng)誤差項(xiàng)預(yù)設(shè)值

通過(guò)對(duì)比表1和圖5中相應(yīng)誤差項(xiàng)的值，表明應(yīng)用本文所提算法，可以準(zhǔn)確的測(cè)量計(jì)算CA擺頭的各項(xiàng)誤差參數(shù)，且具有較高的計(jì)算精度。將測(cè)得的誤差項(xiàng)的值補(bǔ)償?shù)紺A擺頭運(yùn)行學(xué)模型 （1）中，可實(shí)現(xiàn)CA擺頭五軸機(jī)床的準(zhǔn)確加工。

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)CA擺頭五軸機(jī)床的結(jié)構(gòu)誤差進(jìn)行校驗(yàn)補(bǔ)償和優(yōu)化，能夠有效提高五軸機(jī)床的加工精度，本文所提出的算法，可以準(zhǔn)確自動(dòng)測(cè)量CA擺頭兩旋轉(zhuǎn)軸方向偏差和它們之間的位置偏差以及A軸與主軸之間的位置偏差，通過(guò)分析得到的誤差項(xiàng)的值，可校驗(yàn)機(jī)床是否存在偏差，若機(jī)床有偏差，可指導(dǎo)調(diào)整機(jī)床結(jié)構(gòu)，也可將各測(cè)量誤差補(bǔ)償?shù)剿⒌倪\(yùn)動(dòng)學(xué)模型中，進(jìn)行模型優(yōu)化，得到準(zhǔn)確的刀心點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)現(xiàn)五軸機(jī)床的高精度加工。

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