馬長飛，張亞輝，譚 平，周福霖，

(1.大連理工大學 工業(yè)裝備結(jié)構分析國家重點實驗室，大連 116023;2.廣州大學 工程抗震研究中心，廣州 510405)

隔震作為一種在強震作用下有效減小結(jié)構破壞的技術，已被廣泛應用在新建建筑以及已有建筑的抗震加固中。由于地震的不確定性，隨機振動分析是地震工程中的一個有力工具，近年來吸引了大量學者的關注。Jangid等［1］研究了上部結(jié)構的偏心對基礎隔震結(jié)構動力響應的影響，結(jié)構的隨機響應通過求解Lyapunov方程求得，隨著計算自由度數(shù)量的增加，該方法的計算效率將大幅下降。近年來，針對多自由度系統(tǒng)和大型有限元模型，Schuélle 等［2－3］結(jié)合 Karhunen-Loéve分解技術，提出了一種計算線性和非線性隨機響應問題的求解方法。它把非平穩(wěn)隨機響應的問題轉(zhuǎn)化為一系列的確定性逐步積分的問題，避免了協(xié)方差矩陣的整體求解，減小了計算機的存儲量，但是計算結(jié)果的精度嚴重依賴于K-L分解截取振型的選取。采用虛擬激勵法可以避免上述問題，王軍等［4］采用虛擬激勵法和等效線性化技術研究了剪切型多自由度滯回系統(tǒng)的隨機振動問題;杜永峰等［5］將該方法擴展到求解基礎隔震結(jié)構的平穩(wěn)隨機響應。但是，對于高層的隔震結(jié)構，如果所有的自由度都參與計算，計算量依然相當可觀，特別是結(jié)構采用有限元模型時，某些情況下甚至是不可能做到的。所以只能采用模態(tài)分解技術，提取上部結(jié)構的前若干階振型參與運算，這樣又形成了截斷誤差。為了引入結(jié)構高階振型的影響又不顯著增加運算量，文獻［2，3，6－8］對此作了深入的研究。

本文結(jié)合虛擬激勵法和等效線性化技術計算了基礎隔震的高層建筑在非平穩(wěn)隨機激勵下的隨機響應，研究了高階振型對高層隔震結(jié)構響應的影響。隔震建筑的上部結(jié)構采用了串聯(lián)剪切多自由度模型，并假定其在地震動中一直處于彈性狀態(tài)，這樣上部結(jié)構可以利用振型分解法選取前若干階振型參與動力分析。將上部結(jié)構高階振型的影響以擬靜位移的形式加以考慮，這樣上部結(jié)構的總的位移響應由兩部分組成，即動力響應項(對應結(jié)構低階振型)和擬靜力響應項(對應結(jié)構高階振型)。按照這種改進的求解方法，顯著提高了計算效率，同時又保證了計算精度。

1 隔震系統(tǒng)的運動方程

圖1 高層基礎隔震建筑Fig.1 A base-isolated high-rise building

如圖1所示，基礎隔震建筑采用剪切型多自由度串聯(lián)模型，隔震層采用鉛芯橡膠支座。上部結(jié)構自由度數(shù)為n，上部結(jié)構的運動方程為［9］:

其中，mb是隔震層的質(zhì)量，ku為隔震層的初始剛度，α0表示隔震層初始剛度和屈服后的剛度之比，顯然屈服后剛度kd=α0ku，cb為隔震層處阻尼

其中

表示隔震建筑總的質(zhì)量。在方程(2)中，z是為描述隔震層的滯回特性而引入的輔助變量，且滿足下列微分方程［10］

其中

2 靜力校正

上部結(jié)構在地震動中保持彈性狀態(tài)，為了減小計算量，通常取前N(N ＜n)階振型參與計算，振型采用質(zhì)量歸一化振型，即滿足

其中，φi表示上部結(jié)構的第i階振型，δij為克羅內(nèi)克函數(shù)，I為N階單位矩陣表示上部結(jié)構的第i階振型對應的特征值

上部結(jié)構的運動可寫為以下形式:

其中

上述推導中第N階振型以后的高階振型對結(jié)構響應的貢獻被忽略掉了。為了彌補截斷誤差帶來的影響，一種近似的修正算法引入進來，因為高頻振型產(chǎn)生的響應可以忽略掉動力效應，把高階振型形成的位移以靜力加載的方式處理。假定上部結(jié)構的位移xs由動位移和擬靜位移兩部分組成［6－8］，即

其中，動位移可以表示為:

上部結(jié)構的柔度陣可以表示為:

高階振型對應的擬靜位移為:

其中:

表示結(jié)構在外力f(t)的作用下，高階振型所對應的位移按照靜力加載的方式求得。

3 狀態(tài)空間法

方程(2)和(9)可以統(tǒng)一寫為

其中

引入狀態(tài)向量V，即

利用狀態(tài)空間法把上部結(jié)構和隔震層的二階運動方程轉(zhuǎn)換為一階的微分方程組的形式，由式(6)和(16)得:

其中:

4 虛擬激勵法求解非平穩(wěn)隨機響應

4.1 選取地震動功率譜模型

為了抑制低頻地震動分量的效果，功率譜采用Ruiz和Penzien建議的雙過濾白噪聲模型

其中ωg和ξg分別為場地土的卓越角頻率和阻尼比，ωf和ξf分別為地面過濾參數(shù)，S0為基巖加速度自譜密度。

對于均勻調(diào)制非平穩(wěn)的隨機振動的功率譜密度函數(shù)可表示為

其中，g(t)為均勻調(diào)制函數(shù)，可表示為

4.2 虛擬激勵法求解步驟

(1)構造虛擬激勵，tj時刻的地面加速度的虛擬激勵表示為［11］

代入式(19)右端的非齊次項，tj=0時刻時對ce和ke賦初值。

式(7)，(19)，(20)，(25)和(26)構成了求解隔震系統(tǒng)的閉合迭代表達式。

剩余的高階振型對結(jié)構響應的貢獻由式(14)可表示為

由式(11)上部結(jié)構總的位移響應為

5 數(shù)值算例

為了方便計算，把一18層的隔震框架結(jié)構簡化成剪切型多自由度串聯(lián)系統(tǒng)，如圖1所示，隔震系統(tǒng)的質(zhì)量分布和剛度分布分別如表1和表2所示。

表1 質(zhì)量分布Tab.1 Distribution of mass

圖2 虛擬激勵法求解精度驗證Fig.2 Verify the accuracy of the response that evaluated by PEM

表2 剛度分布Tab.2 Distribution of stiffness

上部結(jié)構采用基礎固結(jié)時，基本周期為Ts=1.62 s，采用隔震措施后，基本周期變?yōu)?Tiso=3.5 s，上部結(jié)構的阻尼比ζ=0.03，隔震層處的阻尼比ζb=0.15，屈服后剛度比α0=0.1，屈服位移 Dy=0.008 m，ωg=15.7 rad/s，ξg=0.72，ωf=1.57 rad/s，ξf=0.72，S0=0.02 m2/s3，調(diào)制函數(shù)參數(shù)取值:t1=0.8 s，t2=8 s，激勵持續(xù)時間 tf=12 s，c= －0.35。

為了驗證虛擬激勵法求解此類滯回非線性問題的可行性，把虛擬激勵法求解的響應的統(tǒng)計值和Monte Carlo數(shù)值模擬的結(jié)果做了比較，Monte Carlo法采用了2000個計算樣本。由圖2可知，兩種方法計算的結(jié)果非常的吻合。

圖3 高階振型對隔震層響應的影響Fig.3 Influence of the higher modes on the responses of isolation layer

圖4 靜力校正法對結(jié)構層間位移響應精度的改進Fig.4 Improvement of the accuracy of storey drifts by the static correction procedure

圖3給出了上部結(jié)構前 N(N=1，2，3，…，18)階振型參與運算時，隔震層響應的截斷誤差。顯然，當N=18時，表示上部結(jié)構所有的振型都參與了計算，此時沒有截斷誤差。由圖3可知:上部結(jié)構的前若干階低階振型對隔震層的加速度影響非常顯著，但是隨著計算選取的振型數(shù)目的增加，結(jié)構響應的截斷誤差急劇減小;隔震層的位移響應對上部結(jié)構的振型的選取并不敏感，上部結(jié)構的高階振型對隔震層的位移都幾乎沒有影響。

圖4顯示了靜力校正法對結(jié)構位移響應計算精度的改進。同樣采用上部結(jié)構前4階振型參與運算，顯然，采用靜力校正算法的計算精度要比未采用該算法的精度有很大提高。

6 結(jié)論

針對基礎隔震高層建筑的特點，通過靜力校正的方法考慮了上部結(jié)構高階振型對結(jié)構位移響應的影響，利用虛擬激勵法和等效線性化技術求解了結(jié)構的非平穩(wěn)隨機響應，并得到以下結(jié)論:

(1)靜力校正法有效改善了結(jié)構位移的計算精度，卻沒有顯著增加計算量，特別適合隔震結(jié)構這種局部非線性的多自由度、大型有限元模型的隨機動力響應分析。

(2)上部結(jié)構的高階振型對隔震層位移幾乎沒有任何影響，但是如果計算過程中選取的參與動力運算的振型過少，會使得隔震層加速度響應偏大。

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