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(湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院 深海裝備研究與開發(fā)中心，長沙 410082)

近年來，混沌化(或混沌反控制)越來越被學(xué)者所重視，其工程應(yīng)用已涉及信息加密、寬帶通信、溶劑混合以及生命科學(xué)等領(lǐng)域［1］。近期Lou等［2］提出當(dāng)隔振系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)，將簡諧輸入轉(zhuǎn)化為寬頻輸出，有效改變了噪聲的線譜特征，提高了水下航行器的隱蔽性。但系統(tǒng)混沌狀態(tài)敏感地依賴于激勵條件和系統(tǒng)參數(shù)，當(dāng)其改變時(shí)，混沌很可能隨之而消失;而且針對某一激勵條件確定的混沌參數(shù)對應(yīng)的隔振系統(tǒng)不能保證其隔振性能。因此，多種方法被用來實(shí)現(xiàn)隔振系統(tǒng)的混沌化。

Yu等［3］提出用一種類似于廣義混沌同步的方法，用類似達(dá)芬系統(tǒng)的混沌信號驅(qū)動隔振系統(tǒng)使之處于混沌狀態(tài)，但該方法似乎僅適用于特定參數(shù)。Wen等［4］基于改進(jìn)的投影混沌同步化方法，利用電系統(tǒng)(達(dá)芬系統(tǒng))驅(qū)動隔振系統(tǒng)，使系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，且隔振性能良好，但該方法需要較大的能量完成控制過程。Liu等［5］提出用反饋控制來實(shí)現(xiàn)隔振系統(tǒng)的混沌化，該方法以最大Lyapunov指數(shù)為正作為控制目標(biāo)，但這類控制方法在實(shí)時(shí)控制中不可行［4］。張振海［6］基于 Konishi［7］的離散反饋控制方法對隔振系統(tǒng)進(jìn)行了混沌化。該方法通過在時(shí)間區(qū)間［nT，(n+1)T］對系統(tǒng)積分建立x［(n+1)T］與x(nT)的映射關(guān)系，將連續(xù)系統(tǒng)離散，然后利用離散時(shí)間系統(tǒng)反饋混沌化方法［8］對系統(tǒng)實(shí)施混沌化。而時(shí)延反饋混沌化方法［9］可以直接對連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)實(shí)施混沌化，且研究表明不管線性系統(tǒng)還是非線性系統(tǒng)，都能達(dá)到很好的混沌化效果。Xu等［10］也指出時(shí)延反饋控制可作為系統(tǒng)狀態(tài)混沌或非混沌的開關(guān)。但是，多數(shù)混沌化方法都是針對確定系統(tǒng)，且對系統(tǒng)的動力學(xué)特征需分析得十分透徹，而針對未知系統(tǒng)的混沌化研究幾乎沒有。

本文將基于作者之前的工作［11］，提出一種針對未知參數(shù)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)反饋混沌化方法。基于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)構(gòu)造性能指標(biāo)，量化系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)行為(周期或混沌等)，隨著時(shí)間進(jìn)程的推進(jìn)，依照直接尋優(yōu)算法，調(diào)整反饋控制器的時(shí)延，直至算法收斂，此時(shí)認(rèn)為性能指標(biāo)達(dá)到最小值，且系統(tǒng)進(jìn)入最佳混沌狀態(tài)。本方法最大的優(yōu)勢在于僅僅需要通過數(shù)值仿真或試驗(yàn)測試獲取系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并構(gòu)造頻譜性能指標(biāo)來量化系統(tǒng)狀態(tài);通過優(yōu)化時(shí)延量來控制頻譜特性，將混沌化問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，跨越了界定混沌參數(shù)的傳統(tǒng)方法;本方法的實(shí)施無需知道系統(tǒng)參數(shù)，對于工程實(shí)際系統(tǒng)易于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制。

1 混沌化方法

1.1 理論模型

如前所述隔振系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)可有效控制噪聲線譜特征［2］，但針對激勵條件，系統(tǒng)混沌參數(shù)域是一定的，而具備混沌參數(shù)的系統(tǒng)不一定具備隔振性能;而且當(dāng)激勵條件改變時(shí)混沌狀態(tài)會隨之而消失。因此，多種控制方法被用來對隔振系統(tǒng)實(shí)施混沌化。本文擬采用時(shí)延反饋控制，對雙層線性隔振系統(tǒng)實(shí)施混沌化。雙層隔振系統(tǒng)可簡化為如圖1所示的二自由度質(zhì)量－彈簧系統(tǒng)。m1，m2分別表示被隔振設(shè)備和筏體;k1，k2為線性彈簧;c1，c2為黏性阻尼。在 m1和m2之間安裝作動器 u，以實(shí)現(xiàn)反饋控制。控制流程亦見圖1:采集系統(tǒng)響應(yīng)，并對信號進(jìn)行延遲和非線性函數(shù)運(yùn)算處理，進(jìn)而作為控制信號輸入作動器并執(zhí)行，從而實(shí)現(xiàn)時(shí)延反饋控制。在簡諧激勵力和控制器作用下系統(tǒng)的運(yùn)動方程為:

其中:u(t，τ)為時(shí)延反饋控制器。如果系統(tǒng)參數(shù)已知，根據(jù)Wang和Chen的方法［1］可以推導(dǎo)出控制器的解析表達(dá)式;而本文考慮的是未知參數(shù)系統(tǒng)，故采取類似形式的控制器:

這種非線性控制器能比較容易實(shí)現(xiàn)動力系統(tǒng)的混沌化，但混沌參數(shù)區(qū)間需要利用分岔分析來界定。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)未知時(shí)，混沌參數(shù)區(qū)間的界定將無從下手。基于我們之前提出的最優(yōu)時(shí)延反饋混沌化概念［11］，跨越尋找混沌參數(shù)的傳統(tǒng)方法，針對未知系統(tǒng)混沌化提出以下控制策略。

圖1 受時(shí)延反饋控制的二自由度系統(tǒng)Fig.1 Two DOFs system under time-delay feedback control

1.2 控制策略

核心思想:實(shí)時(shí)跟蹤系統(tǒng)響應(yīng)，獲取一段時(shí)間內(nèi)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)得到系統(tǒng)響應(yīng)的幅值譜，然后利用并改造我們之前構(gòu)造的性能指標(biāo)［11］，量化系統(tǒng)的動力學(xué)行為，混沌行為越明顯則性能指標(biāo)越小。依照Hooke-Jeeves方法［12］，隨著時(shí)間進(jìn)程，及時(shí)調(diào)整控制器的時(shí)延，直至性能指標(biāo)趨近于最小值，則認(rèn)為系統(tǒng)已處于較好的混沌狀態(tài)。其流程圖如圖2所示。

圖2 實(shí)時(shí)最優(yōu)時(shí)延反饋混沌化流程圖Fig.2 Flow chart of the optimal time-delay feedback chaotification method

基于數(shù)值仿真或?qū)嶒?yàn)測試獲得的系統(tǒng)響應(yīng)，性能指標(biāo)通過如下表達(dá)式來構(gòu)造:

其中:Y為系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間序列di的幅值譜;Ymax，Ymin分別為幅值譜的最大值和最小值;為幅值譜除去前三個(gè)最大值后所有幅值的均方根，該值用來衡量響應(yīng)中諧波或(和)次諧波成分的多少，即用其來近似描述幅值譜的寬度。除去前三個(gè)最大值是為了區(qū)分?jǐn)M周期、鎖相與混沌。眾所周知，寬頻連續(xù)譜預(yù)示著系統(tǒng)響應(yīng)很可能是混沌的［13］。

在時(shí)間歷程中，先后取等長的三個(gè)時(shí)間段ΔTk，ΔTk+1，ΔTk+2，分別施加時(shí)延為τj，τj－δ，τj+δ的控制輸入，如圖3所示。每個(gè)時(shí)間段ΔT包含三部分:第一部分Td消除瞬態(tài)響應(yīng);第二部分Ts為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)間段;考慮到實(shí)際控制系統(tǒng)，第三部分Tc為性能指標(biāo)計(jì)算和尋優(yōu)算法所消耗的時(shí)間。性能指標(biāo)I便是基于第二部分時(shí)間段內(nèi)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)構(gòu)造而來。

Hooke-Jeeves方法［12］是一種直接搜索方法，包含探索步和加速步。探索步通過比較τj，τj－δ，τj+δ對應(yīng)的指標(biāo)值，確定每個(gè)迭代的基點(diǎn)τj+1。如果指標(biāo)值沒有改善則折減探索步增量δ/λ，再進(jìn)行探索，當(dāng)δ≤ε時(shí)搜索結(jié)束。探索步成功找到新基點(diǎn)后，實(shí)施加速步。如果指標(biāo)有所改善，則加速成功，將加速后的點(diǎn)作為基點(diǎn)返回探索步;如果加速失敗，則直接回到探索步?？刂破鲿r(shí)延值每次探索或加速，時(shí)間歷程按ΔT推進(jìn)，性能指標(biāo)不斷被改善，直到滿足算法的收斂條件，性能指標(biāo)達(dá)到最小值，從而達(dá)到混沌化的目標(biāo)。

圖3 尋優(yōu)時(shí)間歷程Fig.3 Time process for searching optimal time delay

2 數(shù)值算例

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters

圖5 混沌化過程中四個(gè)時(shí)段的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.5 Steady state responses in four time intervals in the process of chaotification

圖5給出了時(shí)間歷程中四個(gè)時(shí)間段的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，分別為 ΔT1∶0 ～90 s，ΔT4∶270 ～360 s，ΔT7∶540 ～630 s，ΔTf∶1 890 ～1 980 s，其中 ΔTf是指系統(tǒng)最終狀態(tài)的響應(yīng)。系統(tǒng)無控制作用時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)為周期，如圖5(a)、圖6(a)所示，其功率譜為線譜。ΔT4時(shí)間段內(nèi)，控制器時(shí)延為0.4 s，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的功率譜為連續(xù)譜，最大李雅普諾夫指數(shù)(LE)為0.688 2，依此判斷系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，但觀察響應(yīng)時(shí)間歷程(圖5(b))，其混沌狀態(tài)不甚明顯。時(shí)延系統(tǒng)在數(shù)學(xué)意義上是無窮維動力學(xué)系統(tǒng)，其最大LE無法直接按照定義法計(jì)算，本文采用基于小數(shù)據(jù)量的Rosenstein方法［14］計(jì)算。ΔT7時(shí)間段內(nèi)，控制器時(shí)延為1 s，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的功率譜為連續(xù)譜(圖6(c))，最大LE為0.662 3，意味著系統(tǒng)響應(yīng)是混沌的，且響應(yīng)時(shí)間歷程也可以比較明顯地觀察到混沌(圖5(c))。時(shí)延經(jīng)過不斷調(diào)整，最終收斂于1.1 s，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖5(d)，可以比較明顯地觀察到混沌，且其功率譜為連續(xù)譜，最大 LE為1.871 1。ΔT7時(shí)間段內(nèi)響應(yīng)雖然是混沌的，但其振動幅值明顯比最終狀態(tài)的幅值大，且其最大LE比最終狀態(tài)的小，這說明系統(tǒng)最終狀態(tài)的混沌特征最明顯，且振動幅值較小，對于混沌隔振系統(tǒng)［4］是比較理想的狀態(tài)。

圖6 與圖5時(shí)程響應(yīng)相對應(yīng)的相圖和功率譜密度(PSD)Fig.6 Phase plane and power spectrum density(PSD)corresponding to time histories in Fig.5

圖7 時(shí)延(a)和性能指標(biāo)(b)隨性能指標(biāo)計(jì)算步數(shù)的變化Fig.7 Variations of(a)time delay and(b)performance index against index evaluation count

通過上述對時(shí)程響應(yīng)的分析可知，按照直接尋優(yōu)算法調(diào)整時(shí)延，很容易使系統(tǒng)混沌化，而且隨著時(shí)延逐漸趨近于最優(yōu)值，系統(tǒng)響應(yīng)混沌特性越來越明顯，最終系統(tǒng)狀態(tài)定格于混沌化性能最優(yōu)的混沌狀態(tài)。從圖7可以觀察時(shí)延和性能指標(biāo)隨指標(biāo)計(jì)算步數(shù)的增加，也就是隨著時(shí)間歷程向前推進(jìn)，指標(biāo)值I越來越小，最終時(shí)延收斂至最優(yōu)值τopt=1.1。

眾所周知，混沌運(yùn)動對初始條件的依賴性很強(qiáng)。程序開始時(shí)，及ΔT1∶0～90 s，系統(tǒng)初始條件為(0，0，0，0)，但隨著時(shí)間推進(jìn)，每個(gè)時(shí)間段ΔTk的初始條件都是繼承前一個(gè)時(shí)間段ΔTk－1的末了狀態(tài)，那么，對于作用相同時(shí)延的控制，性能指標(biāo)I可能因初始條件不同而不同，也就是說，性能指標(biāo)與時(shí)延不是完全一一對應(yīng)的。然而，本文數(shù)值仿真的結(jié)果已經(jīng)證實(shí):假設(shè)性能指標(biāo)與時(shí)延一一對應(yīng)的前提下得到的‘最優(yōu)’時(shí)延能使系統(tǒng)處于較好的混沌狀態(tài)。

需要說明的是，對于未知參數(shù)系統(tǒng)，為更好地實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的控制，首先應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)，對系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)識別獲取系統(tǒng)近似參數(shù)，把握系統(tǒng)的振動動力學(xué)特性，然后再利用本文的控制方法對系統(tǒng)進(jìn)行混沌化。

3 結(jié)論

本文針對未知參數(shù)系統(tǒng)提出一種基于頻譜優(yōu)化和時(shí)延反饋控制的實(shí)時(shí)混沌化方法。本方法僅需系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)構(gòu)造性能指標(biāo)，然后依照直接尋優(yōu)方法調(diào)整時(shí)延反饋控制器參數(shù)——時(shí)延，直至算法收斂，使系統(tǒng)混沌化。仿真結(jié)果表明:該方法能有效地實(shí)現(xiàn)未知參數(shù)系統(tǒng)的混沌化，且本方法量化系統(tǒng)狀態(tài)，將混沌化問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，跨越了界定混沌參數(shù)域的傳統(tǒng)方法，解決了目前混沌化方法無法解決的問題。因此，本方法對于工程實(shí)際系統(tǒng)易于實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)控制。針對實(shí)際系統(tǒng)的混沌化試驗(yàn)研究是我們即將開展的工作。

致 謝

感謝海軍工程大學(xué)朱石堅(jiān)教授提供數(shù)值仿真模型參數(shù)，以及與博士研究生楊慶超的有益討論。

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