寧 靜，諸昌鈐，張 兵

(1.西南交通大學(xué) 機械工程學(xué)院，成都 610031;2.西南交通大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，成都 610031;3.西南交通大學(xué) 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031)

軌道不平順是車輛振動的主要激振源。隨著列車速度的提高，軌道不平順對列車的動力作用效果被放大。因此，在高速行車條件下要求軌道具有較高的平順性。目前，國內(nèi)外進(jìn)行軌道監(jiān)測主要是采用慣性基準(zhǔn)系統(tǒng)或CCD光學(xué)系統(tǒng)。以上兩種系統(tǒng)，都是建立在專用監(jiān)測車上的，需要使用專用設(shè)備進(jìn)行軌道不平順監(jiān)測。這樣不僅提高了成本，而且占用了寶貴的線路資源?；谝陨峡紤]，直接利用列車正常運營狀態(tài)下的軸箱加速度信號來監(jiān)測軌道的不平順逐漸進(jìn)入了人們的視線［1－3］。

軸箱加速度積分法是測出軸箱加速度經(jīng)二次積分運算和濾波得到軸箱位移(即軌道的不平順)。但由于軌道不平順引起的軸箱加速度動態(tài)范圍太大，目前的傳感器和電測儀器均無法在這樣大的動態(tài)范圍內(nèi)保證分辨精度，從而未能得推廣。另外，列車軸箱加速度信號包含的振動成分非常復(fù)雜，大都屬典型的非平穩(wěn)隨機信號;同時，在列車運行過程中采集獲取的采樣信號具有非均勻性［4－5］。因此，使用傳統(tǒng)的平穩(wěn)信號處理方式，單靠時域或頻域分析方法是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。采用非平穩(wěn)隨機信號的處理方法——時－頻分析技術(shù)，將一維的信號序列擴展到二維的時－頻平面上來觀察，能較好地了解信號的時變性，對軸箱信號是一種有效的處理方法［6－7］。

Cohen核的時－頻表示方法具有很高的時－頻分辨率，但由于雙線性變換存在嚴(yán)重的交叉項干擾，影響了它的應(yīng)用［8－11］。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)法可將一個復(fù)雜的信號分解為若干個內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Function，IMF)之和。根據(jù)信號的局部時變特征進(jìn)行自適應(yīng)的時－頻分解，能夠得到極高的時－頻分辨率，具有良好的時－頻聚集性，適合對非平穩(wěn)、非線性信號的分析［12－14］。本文提出了將EMD法與 Cohen類分布相結(jié)合的時－頻分析方法，這樣既能保持Cohen類的優(yōu)良特性，又能更加有效的抑制交叉項。將此算法應(yīng)用到軸箱加速度信號的分析中，可檢測出軌道的不平順信息，得到的結(jié)論與利用軌檢車得到的軌道不平順信息一致，是軌檢車的有益補充。

1 Cohen類的時－頻分析算法

1.1 Cohen類

為抑制交叉項，使信號自項得到很好的分離，人們設(shè)計出了基于各種核函數(shù)的多種時－頻分布，如指數(shù)分布(也稱 Choi-Williams分布)，減少交叉項分布(RID)，和巴特沃思分布等，它們可以統(tǒng)一表示成為Cohen［15］提出的廣義雙線性時－頻函數(shù):

式中:*代表復(fù)數(shù)共軛，t為時間。φ(ξ，τ)表示核函數(shù)，ξ為頻率延遲，τ為時間延遲，它決定px(t，f)的特性，采用不同的核函數(shù)，將得到不同的時－頻分布。本文中使用的核函數(shù)為廣義指數(shù)分布核函數(shù)。

1.2 產(chǎn)生交叉項的原因

由于實際信號很少是僅包含單一頻率分量的單分量信號，對于多分量信號x(t)可表示為:

式中:xk(t)都是單分量信號，k=1，2，…，n。

如直接對此信號做時－頻分析，則:

式中:pxk，xk(t，f)稱為雙線性時 － 頻分布的自項，pxi，xj(t，f)(i≠j)稱為雙線性時－頻分布的互項。

其中:

交叉項在時－頻分布中模糊了真正的能量分布，是多余的信息。因此，人們都一直努力探索抑制交叉項的方法。

2 EMD的相關(guān)概念

2.1EMD

EMD方法可將一個復(fù)雜的信號分解為若干個內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)之和，對任意信號x(t)進(jìn)行EMD分解，可得 ［16－17］:

式中:ck為x(t)的第k個滿足IMF條件的分量;rn稱為殘余函數(shù)，代表信號的平均趨勢。

2.2 EMD與小波分析的比較

EMD方法與小波分析方法類似，都可以對信號進(jìn)行分解。但是，EMD方法是依據(jù)信號本身的局部特征信息進(jìn)行自適應(yīng)地分解，分解后的IMF分量具有一定的物理意義;而采用小波對信號進(jìn)行分解，需要預(yù)先確定基函數(shù)和分解尺度，因此，小波分析不是自適應(yīng)的分解方法，分解得到的時域波形可能會失去其本身的物理意義。即小波分析本質(zhì)上是一種窗口可調(diào)的傅里葉變換，其小波窗內(nèi)的信號必須是平穩(wěn)的，因而沒有擺脫傅里葉分析的局限。而EMD方法可根據(jù)信號的局部時變特征進(jìn)行自適應(yīng)的時－頻分解，消除了人為的因素，克服了傳統(tǒng)方法用無意義的諧波分量來表示非平穩(wěn)、非線性信號的缺陷，并可得到極高的時－頻分辨率，具有良好的時－頻聚集性，非常適合對非平穩(wěn)、非線性信號的分析［13］。

3 Cohen類和EMD結(jié)合抑制交叉項的算法分析

3.1 理論分析

對于多分量信號x(t)進(jìn)行EMD分解后，得到的分解結(jié)果如式(3)所示。

由于直接對信號作廣義指數(shù)核時－頻分布，對交叉項的抑制不能起到令人滿意的效果，本文提出了利用EMD和Cohen核結(jié)合抑制交叉項的時－頻分析方法。首先對信號進(jìn)行EMD分解，將一個復(fù)雜的信號分解為若干個IMF之和。然后，對每個IMF分量分別計算其廣義指數(shù)核時－頻分布。由于通過EMD分解，可將復(fù)雜的多分量信號分解成多個單分量信號之和。而對單分量信號作時－頻分布，就不會出現(xiàn)兩個不同分量之間的交叉項問題。因此，可得到第k個IMF分量的廣義指數(shù)核時－頻分布為:pck，ck(t，f)。最后，將所有IMF分量的廣義指數(shù)核時－頻分布疊加在一起，從而得到整個信號的二次分布:

3.2 仿真信號分析

由于EMD方法缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明，因此通過三種不同類型的仿真信號來驗證此算法的有效性。3種仿真信號分別為具有高斯幅度的線性調(diào)頻脈沖仿真信號、4個高斯核構(gòu)成的仿真信號以及一個由正弦調(diào)頻信號和雙曲線調(diào)頻信號構(gòu)成的多成分仿真信號。

圖1為三種仿真信號的理想時－頻分布;圖2為三種仿真信號利用本文提出的Cohen類和EMD結(jié)合方法得到的時－頻分布。由參考文獻(xiàn)［18］可知，與直接對信號作Wigner－Ville分布或直接對信號作廣義指數(shù)核時－頻分布這兩種方法相比，本文提出的此方法能夠能有效的抑制二項分布的交叉項，從而真實的反映信號本身的時－頻信息。這是由于一般的雙線性時－頻方法不適合分析復(fù)雜多分量信號，而EMD可以將任意復(fù)雜信號分解為單分量信號，從而作為一種預(yù)處理方法避免雙線性時－頻分布由于多分量所引起的交叉項干擾。

圖1 三種仿真信號的理想時－頻分布Fig.1 Ideal time-frequency distributions of three simulation signals

圖2 Cohen類和EMD結(jié)合得到的時－頻分布Fig.2 Time+frequency distribution of Cohen+EMD

4 實例分析

4.1 試驗數(shù)據(jù)的獲取

使用的軸箱加速度信號是在某次動車組綜合科學(xué)實驗中獲取的。信號的采樣頻率為4 096 Hz，列車的速度信息由車載GPS提供［1］。線路結(jié)構(gòu)采用德國博格式無砟軌道技術(shù)，鋼軌首次采用定長100 m的國產(chǎn)鋼軌，橋梁占線路總長的84.2%，且主要是30 m左右的梁。

該動車由A站從停止?fàn)顟B(tài)開始加速運行，達(dá)到一定速度后，保持勻速前進(jìn)，最后減速?？吭贐站。試驗采集了動車整個過程的軸箱加速度信號?，F(xiàn)截取三段不同速度下的軸箱垂向加速度信號進(jìn)行分析，其數(shù)據(jù)的采樣時間長度均為2 s。圖3(a)、(b)、(c)分別為速度v=200 km/h、v=300 km/h、以及v=100 km/h時軸箱加速度信號的時域信號圖。

圖3 試驗信號Fig.3 Test signal

將如圖3所示的三段數(shù)據(jù)利用輪次法進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗，可得:三組數(shù)據(jù)都存在非平穩(wěn)現(xiàn)象。因此，即軸箱加速度信號為非平穩(wěn)信號。計算三組信號的自相關(guān)函數(shù)，可以看出:信號的自相關(guān)函數(shù)曲線在衰減到一定值后，就不再衰減，而會出現(xiàn)周期性的變化。根據(jù)信號周期性檢驗的相關(guān)理論可知:此隨機過程中含有周期成分。且第一組和第二組信號屬于窄帶隨機信號與周期信號的疊加，第三組信號屬于寬帶隨機信號與周期信號的疊加。

4.2 試驗信號的頻譜分析以及包絡(luò)分析

按照傳統(tǒng)的信號處理方法，對預(yù)處理后的試驗信號分別采用FFT和包絡(luò)解調(diào)的方法進(jìn)行分析。

4.2.1 試驗信號的頻譜分析

圖4是對軸箱垂向加速度信號作傅里葉變換的流程圖。將前述的三組軸箱加速度信號按照圖4所示的傅里葉變換流程進(jìn)行FFT，得到信號的頻譜圖，如圖5所示。由圖5可知，直接對軸箱垂向加速度信號作傅里葉變換，得到信號的頻率成分比較分散，基本沒有主頻率成分。由于動車組在運行過程中，其運行速度會隨時間變量t發(fā)生增大或減小的變化，因此軸箱加速度的大小也將隨之發(fā)生變化。因此，隨著時間的推移，在不同的速度下，軸箱加速度信號的頻譜存在頻率的波動以及振幅的波動，這些現(xiàn)象都屬于信號不平穩(wěn)的范疇。從而，又一次驗證了軸箱加速度信號是時變的非平穩(wěn)信號的結(jié)論。

圖4 傅里葉變換流程圖Fig.4 FFT

圖5 試驗信號的頻譜圖Fig.5 Test signal

由圖3和圖5可知，利用常規(guī)的傅里葉變換法對信號的表征要么完全在時域，要么完全在頻域，沒有反映出頻率成分隨著時間變化的規(guī)律，因此沒有提供更多有價值的信息。

4.2.2 試驗信號的包絡(luò)解調(diào)方法

機械設(shè)備故障都會產(chǎn)生周期性的脈沖沖擊力和振動信號的調(diào)制現(xiàn)象。傳統(tǒng)的振動分析技術(shù)，是直接對振動信號作傅里葉變換分析，得到“振動頻譜”。包絡(luò)解調(diào)技術(shù)主要用于檢測混雜在強大的振動信號中的微小沖擊，可以很靈敏的診斷機械傳動裝置中的故障，特別是能夠即使發(fā)現(xiàn)，精密診斷早期的故障。由于列車振動信號的實測信號，受噪聲影響較大，因此包絡(luò)解調(diào)在列車故障診斷中得到了廣泛的使用。唐德堯［19－20］分析了高速列車軸箱軸承故障多發(fā)的原因，并利用共振解調(diào)技術(shù)開發(fā)了鐵路機車走行部車載監(jiān)測裝置，對列車走行部多個部件的故障特征和故障機理進(jìn)行了診斷。圖6為包絡(luò)解調(diào)的流程圖。

圖6 包絡(luò)解調(diào)流程圖Fig.6 Envelope demodulation diagram

圖7(a)、(b)、(c)分別為將前述的三組軸箱加速度信號按照圖6所示的流程作Hilbert變換后的包絡(luò)譜圖。所選帶通濾波器的通帶頻率范圍為1 200～1 500 Hz。

圖7 試驗信號的包絡(luò)譜圖Fig.7 Envelope demodulation spectrogram of the test signal

由圖7(a)、(b)、(c)可知，圖中沒有明顯的譜線，表明軸箱信號中沒有明顯的調(diào)制信號，其加速度變化主要是由于軌道不平順產(chǎn)生的。

4.2.3 小 結(jié)

由前面的分析可知，利用常規(guī)的傅里葉變換和包絡(luò)解調(diào)分析兩種方法沒有反映出頻率成分隨著時間變化的規(guī)律，因此沒有提供更多的有價值的信息。同時包絡(luò)解調(diào)的分析結(jié)果還與所選的帶通濾波器的通帶頻率段有關(guān)。因此下面采用時間和頻率聯(lián)合分析的方法來對在線測得的軸箱加速度信號進(jìn)行分析。

4.3 基于EMD和Cohen類結(jié)合試驗信號研究

利用前面提出的EMD和Cohen類法結(jié)合的時－頻變換方法，對圖3所示的軸箱垂向加速度信號進(jìn)行分析，其流程圖如圖8所示。

圖8 試驗信號進(jìn)行時－頻分析的流程圖Fig.8 Time+frequency distribution diagram of the test signal

其步驟為:

首先，對軸箱加速度信號進(jìn)行預(yù)處理，包括對信號進(jìn)行重采樣以及去除信號的趨勢項。其中對信號進(jìn)行重采樣就是將采樣頻率從4 096 Hz降為512 Hz。

然后，對信號進(jìn)行自適應(yīng)低通濾波。利用EMD分解重構(gòu)，自適應(yīng)的去掉信號高頻成分。圖9為以第一組試驗信號(v=200 km/h)為例，對信號進(jìn)行EMD重構(gòu)的過程示意圖。將第一組試驗信號進(jìn)行EMD分解，共得到9個IMF分量。其中圖9(a)、圖9(c)分別為信號前5個和后4個IMF分量，圖9(b)、圖9(d)分別為信號前5個和后4個IMF分量的FFT頻譜圖。觀察圖9(b)可以看出:前幾個IMF分量的主頻均大于50 Hz?？紤]到由于軌道不平順?biāo)a(chǎn)生的列車軸箱振動加速度信號頻率范圍一般在50 Hz以下［21］。所以，去掉EMD分解中的高頻分量(由最后的分析結(jié)果，最終選取去掉了前3個IMF分量)，再對剩余的IMF分量進(jìn)行重構(gòu)，得到了去掉高頻干擾的信號(如圖9(e)所示)。

最后，利用前面提出的EMD和Cohen類結(jié)合的時－頻變換方法，將去掉高頻干擾的信號進(jìn)行時－頻變換，得到軸箱加速度信號的時－頻分布圖。圖10分別為速度v=200 km/h，v=300 km/h，v=100 km/h時，軸箱加速度信號的二維時－頻分布圖。對分布圖進(jìn)行參數(shù)分析，可得表1。

表1 軸箱加速度時－頻分布特征頻率及波長分析Tab.1 The time-frequency distribution characteristics of the frequency and wavelength analysis of the acceleration of axle box

由表1可得:v=200 km/h時，信號在f1=1.5 Hz，f2=9 Hz處的整個時間軸上具有穩(wěn)定并且明顯的周期成分存在;v=300 km/h時，信號在f3=0.8 Hz處的整個時間軸上具有穩(wěn)定并且明顯的周期成分存在;v=100 km/h時，信號在f4=4.7 Hz處的整個時間軸上具有穩(wěn)定并且明顯的周期成分存在。由公式λ=v/f，計算可知，對應(yīng)波長值分別為λ1=37 m、λ2=6.17 m，λ3=104 m、λ4=6.68 m。其中，λ2和λ4表明軌道存在6.5 m左右周期性不平順，這是由于博格板上拱、翹曲或博格板支撐剛度不均勻等造成的。λ1表明軌道存在33 m左右的高低不平順周期成分，這是橋梁徐變上拱引起的。

由公式λ=v/f，對于長波不平順，其響應(yīng)的頻率值較小，在時－頻圖中，靠近橫坐標(biāo)，很難觀察?？蓪⑿盘柕臅r－頻率信息結(jié)合起來分析，加以彌補。v=200 km/h時，信號在t1=0.2 s和 t2=1.9 s處分別產(chǎn)生了較強的沖擊。兩沖擊信號之間的時間間隔約為1.8 s左右，再乘以GPS采集得到的速度信息v=200 km/h可以得到?jīng)_擊信號產(chǎn)生的空間距離約為λ5=94.4 m左右。同理，v=300 km/h時，t3=0.2 s、t4=1.9 s。兩沖擊信號之間的時間間隔約為1.25 s左右，空間距離約為λ6=104 m。λ3、λ5和λ6都接近100 m，考慮到列車速度并非勻速，以及速度信號的本身的誤差，可以認(rèn)為:軌道不平順中存在100 m左右的長波不平順。由于本線路鋪設(shè)的無縫線路由100 m定長的鋼軌焊接而成，因此可以認(rèn)為如此間隔的沖擊信號應(yīng)與無砟軌道鋼軌焊接的接縫質(zhì)量有關(guān)。

另外，在v=200 km/h、v=100 km/h以及v=100 km/h時，軌道不平順分別激起了軸箱10 Hz、0.8 Hz以及20 Hz左右的共振頻率。通過以上三例的數(shù)據(jù)分析，說明由于軌道不平順引起的轉(zhuǎn)向架在強度較大處會與車體之間產(chǎn)生共振，且共振頻率隨著速度的增加而逐漸降低。

圖9 第一組試驗信號的EMD重構(gòu)Fig.9 EMD reconstruction of the 1stgroup test signal

圖10 軸箱加速度信號的二維時－頻分布圖Fig.10 The two-dimension time-frequency distribution of the acceleration of axle box

以上是利用軸箱加速度信號進(jìn)行時－頻分析后，得到的軌道不平順情況。

文獻(xiàn)［22］利用軌檢車，對同一線路的軌道不平順譜特征進(jìn)行分析，得到以下結(jié)論:

(1)線路中存在6.5 m左右的周期性高低不平順。6.5 m的高低周期成分在v=200 km/h左右速度時容易引起某車型車體發(fā)生10 Hz左右的共振和車體抖動;

(2)線路中存在33 m左右的周期性高低不平順;

(3)線路中存在100 m周期不平順。

表1中右上角括號中的數(shù)字，表示符合文獻(xiàn)［22］利用軌檢測檢測軌道不平順結(jié)論中的第幾條結(jié)論?？梢?，文獻(xiàn)［22］中的結(jié)論與文中利用軸箱加速度信號進(jìn)行時－頻分析，得到的軌道不平順情況一致，從而證明了文中所使用方法的正確性。

5 結(jié)論

針對信號的非平穩(wěn)性和單獨使用Cohen核二次分布中的出現(xiàn)交叉項的實際情況，提出了一種基于EMD和Cohen核的軌道不平順信號分析方法。利用此方法對三種不同類型的仿真信號進(jìn)行計算，將其時－頻分布結(jié)果與直接對信號作Wigner-Ville分布和直接對信號作廣義指數(shù)核時－頻分布的結(jié)果進(jìn)行比較，比較的結(jié)果證明此方法能夠很好的抑制由于二次分布所產(chǎn)生的交叉項，從而得到較為理想的時－頻分析結(jié)果。

將此算法應(yīng)用到基于軸箱加速度信號的軌道不平順信號分析中，將信號的時間和頻率信息聯(lián)合進(jìn)行分析，得到的結(jié)論與利用軌檢車得到的軌道不平順信息一致。由于目前應(yīng)用軌道檢查車存在檢測周期較長，需要騰出專門的時間來進(jìn)行軌道檢測等不足，論文將基于EMD和Cohen核的時－頻分析方法應(yīng)用到列車振動加速度信號在線監(jiān)測軌道不平順中，有效的彌補了軌檢車在線檢測高密度軌道不平順的不足之處，對高速高密度下的軌道不平順檢測具有重要應(yīng)用價值。

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