王 欣 王成林 周 楊 徐金帥

1.大連理工大學，大連，116023 2.大連益利亞工程機械有限公司，大連，116024

0 引言

桁架臂頂節(jié)鉸點布局問題，是桁架類吊臂方案設計的關鍵問題之一。其設計是否合理，直接關系到桁架吊臂的受力是否合理［1］和整體的抗屈曲能力大小，進而影響桁架類起重機整機的起重性能。

目前，對桁架臂結構優(yōu)化分析的方法主要有以下三種：一是采用解析法［2］計算吊臂的強度及穩(wěn)定性，然后對計算結果進行篩選取優(yōu)；二是運用有限單元法對桁架類結構進行尺寸及形狀優(yōu)化［3］；三是運用ANSYS對空間桁架結構進行拓撲優(yōu)化設計［4］。這幾種方法對桁架臂結構的研究發(fā)揮了一定的作用，但均存在諸多不足：①桁架類臂架結構復雜且工況繁多，很難通過解析法獲得最優(yōu)化的結構形式；②有限元參數化建模困難，優(yōu)化過程繁瑣，耗費大量計算成本；③拓撲優(yōu)化思想真正應用于工程實際尚有一定的距離，只停留在研究探索階段。

再者，結構鉸點優(yōu)化這類多變量優(yōu)化設計問題，是傳統(tǒng)設計方法難以求解的問題之一［5－6］。文獻［7］通過運用遺傳算法，對結構工作裝置鉸點位置進行了優(yōu)化，但又僅局限于該特定結構鉸點形式的求解，對于桁架臂頂節(jié)鉸點優(yōu)化問題，該方法不能完全適用。

鐵摩辛柯彈性梁理論［8］是工程實際中求解實心柱、組合柱以及“格子”柱壓彎穩(wěn)定性問題的經典理論之一，廣泛運用于軸向壓彎臂架結構的穩(wěn)定性計算與分析。軸心壓彎構件在橫向載荷及端部集中彎矩下將產生初始變形，軸向力除有壓縮作用外還將產生附件彎矩使構件產生更大變形，工程上稱之為“二次壓彎效應”，而這種現象在工程實際與研究中往往不應該被忽略。因此，本文以鐵摩辛柯彈性梁理論為依據建立優(yōu)化模型。

桁架臂頂節(jié)鉸點優(yōu)化問題是多變量、多極值點的約束非線性規(guī)劃問題，常規(guī)的優(yōu)化方法不易得到最優(yōu)解。遺傳算法［9－11］具有全局尋優(yōu)的能力，能夠解決復雜的優(yōu)化設計問題，在結構分析領域中的應用越來越廣泛?；诖?，本文從工程實際出發(fā)，以桁架臂頂節(jié)鉸點位置為優(yōu)化變量，以各鉸點坐標值上下邊界及兩鉸點不產生干涉最小距離為約束條件，以最小屈曲儲存應變能為目標函數建立數學模型，在MATLAB環(huán)境下編制了優(yōu)化分析程序，運用改進的遺傳算法對優(yōu)化問題進行求解。

1 結構鉸點布局優(yōu)化模型的建立

桁架臂頂節(jié)鉸點布局設計中，鉸點的合理布置可以改善桁架臂結構在起吊重物過程中的受力性能，降低撓度，提高整體穩(wěn)定性。

桁架臂鉸點布局優(yōu)化的關鍵是從工程復雜設計問題中抽象建立起合理的優(yōu)化數學模型。優(yōu)化數學模型的建立，不僅要考慮工程實際中各鉸點上各部件的安裝狀態(tài)，避免干涉，還應考慮整個頂節(jié)的運輸尺寸的要求。在此基礎上，還要尋找適合該問題的合理的目標函數。

1.1 桁架臂主要載荷的確定

桁架式吊臂采用動定滑輪實現重物升降動作。作用在桁架臂上的載荷主要有起升載荷、自重、拉索力以及風載荷等。桁架臂自重可視為沿桁架臂長度方向均勻分布，按力矩平衡原理，也可認為按重心位置分配至桁架臂根部鉸點和頂端，本文計算時采用后者。圖1所示為桁架臂受力狀態(tài)，其中，e1為桁架臂軸線到起升繩導向滑輪中心的距離（拉索鉸點與升繩導向滑輪中心重合）；e2為桁架臂軸線到起升定滑輪中心的距離；θ為桁架臂仰角；θ1為拉索與桁架臂軸線的夾角；θ2為起升鋼絲繩與桁架臂軸線的夾角；Q為起重量；T1為拉索拉力；T2為起升繩拉力。

圖1 桁架臂受力簡圖

垂直方向載荷Q0為

式中，φ1為自重沖擊系數；φ2為起升動載系數；G為吊臂自重。

桁架臂軸向載荷S為

變幅平面內端部彎矩M0為

式中，r為導向滑輪半徑。

由以上受力分析可知，起重桁架臂是以受壓為主的軸向壓彎構件。理想情況下，桁架臂在頂節(jié)處僅受軸向載荷，但實際情況下，需要考慮部件的安裝空間、工藝等要求，各鉸點位置不能重合于臂架軸線上，因此必然引起附加的彎矩。而合理布置鉸點位置，可最大限度地減小這種附加彎矩，從而改善臂架受力。

1.2 桁架臂結構截面慣性矩計算

對于圖1所示的桁架臂臂架結構，需要計算其任意截面慣性矩，才能進行力學模型的簡化，其簡化方法如下：

對于不同結構形式的臂架結構（圖2），任意截面m－n慣性矩可由下式求得：

式中，I1為桿頂端截面慣性矩；n為與形狀有關的常數，對于圖2c所示的結果取n＝2。

1.3 桁架臂力學模型簡化

如圖3所示，在變幅平面內（桁架臂繞根部鉸點轉動的平面），將桁架臂模型簡化成簡支梁形式，桁架臂受軸向載荷S、自重分量的均布載荷q以及端部彎矩M0的共同作用。

圖2 不同結構形式臂架示意圖

橫向均布載荷q大小為

式中，l為臂長名義尺寸，為桁架臂根部鉸點與起升滑輪鉸點距離，一般設計為整數。

則桁架臂力學模型可以簡化為圖3所示的簡支梁結構形式。

圖3 桁架臂簡化力學模型圖

由鐵摩辛柯彈性穩(wěn)定性理論可推知下面兩個方程。

（1）由力偶引起的梁—柱壓彎撓曲方程。如圖4所示，簡支梁受軸向力S與端部力偶作用，則y向產生的位移y1為

式中，E為彈性模量；I為截面慣性矩。

圖4 力偶引起的梁—柱彎曲圖

（2）由均載引起的梁—柱壓彎撓曲方程。如圖5所示，簡支梁受軸向力S與均載q作用，則y向產生的位移y2為

則桁架臂實際撓曲方程為

圖5 均載引起的梁—柱彎曲圖

1.4 能量法在鉸點布局設計中的應用

在彈性材料體內，如果略去加載和卸載過程中的能量損耗，外力所做的功在數值上就等于積蓄在彈性材料體內的應變能。

對于一個結構單元，整體應變能高的時候，應力會處于較高的狀態(tài)。所以從宏觀角度來看，變形以及應力可以體現在結構整體或者單元的應變能上。故本文中，以整體結構最小屈曲儲存應變能這一量化指標作為評判鉸點布局設計合理性的標準。

1.5 桁架頂節(jié)部鉸點布局優(yōu)化數學模型

以屈曲儲存應變能最小為目標，以頂節(jié)鉸點位置上下限為約束，對桁架臂頂節(jié)鉸點布局進行優(yōu)化設計。

桁架臂屈曲儲存應變能方程：

如圖6所示，以桁架臂軸線方向為x′坐標，過起升滑輪鉸點且垂直于桁架臂軸線方向為y′坐標，建立局部坐標系。

圖6 頂節(jié)鉸點位置可行域

可知，起升滑輪鉸點坐標P1∈Ω1，拉索鉸點坐標P2∈Ω2。這里

且根據工程實際中安裝等需要，兩滑輪距離要滿足：

式中，d0為兩滑輪最小安裝距離。

因此，該優(yōu)化模型可最終表示為

2 桁架臂受力影響因素分析

桁架臂結構整體主要受起吊過程中工作工況狀態(tài)的不同以及各鉸點位置的具體布置情況等影響，集中體現于桁架臂實際所受軸向力及端部彎矩的大小。因此，分析不同工況及頂節(jié)鉸點位置的布局對桁架臂軸向力及端部彎矩的影響，有利于確定典型工況、探尋各鉸點對桁架臂受力影響大小。

2.1 桁架臂受力典型工況的選取

以某150t桁架臂起重機為例，其頂節(jié)各鉸點如圖6所示。該型號起重機頂節(jié)起升滑輪鉸點坐標與拉索鉸點局部坐標分別為（0，y′q），（x′p，y′p）。其數值大小為：y′q＝ －477mm；x′p＝ －200mm，y′p＝608mm。桁架臂軸向力S及端部彎矩M0隨桁架臂仰角θ及起重量Q變化情況如圖7所示。

圖7 桁架臂軸向力和端部彎矩變化趨勢圖

分析可知：①該型號起重機最小臂架軸向力及最小端部彎矩工況出現在桁架臂為仰角45°左右的時候；②桁架臂軸向力及端部彎矩隨起重量的增加呈現非規(guī)律性變化。

因此，可選擇幾個不同角度、吊載不同起重量工作工況作為典型工況，分別對其桁架頂節(jié)部鉸點位置布局進行優(yōu)化，探尋其優(yōu)化結果的不同。

2.2 鉸點位置對桁架臂受力影響分析

對于選定的典型工況，桁架臂軸向力S與端部彎矩M0隨頂節(jié)各鉸點位置坐標的不同呈現規(guī)律性變化：

（1）由圖8可知，在起升滑輪鉸點坐標值確定的情況下，軸向力及端部彎矩隨拉索鉸點縱坐標的增加而遞減，而隨橫坐標的增大先遞增后遞減。

（2）由圖9可知，在拉索鉸點坐標值確定的情況下，起升滑輪鉸點縱坐標值越大，其軸向力越小，而端部彎矩值反而增大。

圖8 桁架臂軸向力和端部彎矩變化趨勢圖

圖9 桁架臂軸向力和端部彎矩變化趨勢圖

由上述變化規(guī)律可知，桁架臂軸向力與端部彎矩隨頂節(jié)鉸點位置坐標的變化呈現非嚴格遞增或遞減趨勢。優(yōu)化問題最優(yōu)解很可能不在邊界處得到，需要尋找合適的算法對可行域進行搜索求得。

3 優(yōu)化問題的求解

3.1 優(yōu)化算法的選擇

遺傳算法具有全局尋優(yōu)的能力，能夠解決復雜的優(yōu)化設計問題。但常規(guī)的遺傳算法容易陷入局部最優(yōu)，需要對其進行改進，下面介紹常見的改進方法。

3.1.1 自適應交叉和變異概率

遺傳算法中交叉概率Pc和變異概率Pm的選擇是影響遺傳算法行為和性能的關鍵所在，直接影響算法的收斂性。Pc過大，新個體產生的速度過快，會導致遺傳規(guī)模被破壞的可能性變大。但如果Pc過小，會使搜索速度緩慢，甚至停滯不前。對于變異概率Pm，如果Pm過小，不易產生新的個體；如果Pm取值過大，遺傳算法就變成了純粹的隨機搜索算法。自適應遺傳算法在保持群體多樣性的同時，能保證遺傳算法的收斂性。經過改進后的Pc和Pm的計算表達式可參見文獻［12］。

3.1.2 小生境適應度共享函數

在標準遺傳算法（SGA）中，交配完全是隨機的，雖然這種隨機化的雜交形式在尋優(yōu)的初始階段保持了解的多樣性，但在進化后期，大量個體集中于某一極值點上，其后代就造成了近親繁殖。

為避免上述現象的產生，常運用小生境適應度共享函數代替原有的個體適應度值，其基本做法如下：通過表征個體之間相似程度的共享函數（表示群體中兩個個體之間關系密切程度的函數）來調整群體中各個體的適應度，從而在群體的進化過程中，依據調整后的新適應度來進行選擇操作，以便維護群體的多樣性，創(chuàng)造出小生境的進化環(huán)境。共享函數的表達式參見文獻［13］。

3.1.3 幾種常見算法對比分析

依據上述改進方法，本文分別用標準遺傳算法（SGA）、自適應遺傳算法（AGA）、小生境遺傳算法（NSGA）、自適應小生境遺傳算法（NAGA）求解鉸點優(yōu)化問題，優(yōu)化目標函數為臂架強度應力公式，其優(yōu)化結果如表1所示，優(yōu)化圖解如圖10所示。

圖10 四種優(yōu)化算法優(yōu)化圖解

結果表明：①NSGA、NAGA優(yōu)化結果優(yōu)于SGA、AGA優(yōu)化結果，但計算效率較之更低；②NAGA優(yōu)化效率強于NSGA優(yōu)化結果，收斂性更強。

表1 四種優(yōu)化算法優(yōu)化結果對比

考慮到工程實際要求，本文選取自適應小生境遺傳算法為本文的最終優(yōu)化算法，其優(yōu)化結果更好、收斂性更強，計算效率也能滿足要求。

3.2 問題求解

以某150t桁架臂起重機為例，選取該起重機典型工況如表2所示?；谧赃m應小生境遺傳算法進行優(yōu)化設計，取群體大小為200，交叉概率Pc＝0.8，變異概率Pm＝0.08，基因型與表現型Niche半徑分別取σr1＝3，σr2＝0.005。

表2 150t桁架臂起重機典型工況

針對表2中工況，在MATLAB中編寫遺傳算法求解優(yōu)化問題，優(yōu)化結果如表3所示。

表3 三種典型工況下最優(yōu)解

由表3可知：優(yōu)化后臂架結構整體應變能較之前得以大大降低，優(yōu)化后臂架結構總體應變能處于較低能級狀態(tài)；鉸點位置最優(yōu)解隨工況的變化而變化。

工程實際中，可根據需要選取關鍵性的代表性工況進行優(yōu)化問題求解（例如，臂架結構對于工況1有較高要求，則優(yōu)化目標函數可選擇為該工況下其整體應變能），也可以選擇多個典型工況以各個工況應變能的加權之和為目標函數進行求解（例如，臂架結構對于工況1、工況2、工況3均有較高要求，則優(yōu)化目標函數可選擇為三種工況下其整體應變能的加權之和）。

圖11 三種典型工況下最優(yōu)圖解

4 優(yōu)化結果對比分析

針對上述優(yōu)化結果，分析比較吊臂整體穩(wěn)定性。具體表達式參見文獻［14］。由此計算出的軸向力、彎矩及整體穩(wěn)定性應力的對比如表4所示。

表4 優(yōu)化前后桁架臂整體穩(wěn)定性應力對比

優(yōu)化前后結果對比分析表明：優(yōu)化后桁架臂整體穩(wěn)定性得到改善，軸向力減小，端部彎矩大幅降低。

5 結論

（1）將鐵摩辛柯彈性梁理論運用于鉸點優(yōu)化設計過程中，通過實際算例驗證，在優(yōu)化結果上取得了滿意的表現。

（2）提出了以頂節(jié)鉸點位置坐標上下限及鉸點距離大小為約束條件，以結構整體最小屈曲儲存應變能為目標函數的數學模型，優(yōu)化結果分析表明其合理性。

（3）通過將遺傳算法應用于鉸點位置布局優(yōu)化當中，并運用自適應小生境的思想對其進行改進，求解工程實際中的結構組合優(yōu)化問題。

（4）該方法除可以應用于桁架臂結構鉸點布局優(yōu)化，還可以為其他形式細長梁鉸點布局提供設計依據。

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