滕 凱

(齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江齊齊哈爾 161006)

蛋形斷面隧洞臨界水深的簡易算法

滕 凱

(齊齊哈爾市水務(wù)局，黑龍江齊齊哈爾 161006)

蛋形斷面臨界水深計算需完成表達形式復(fù)雜且分3個區(qū)段給出的超越方程求解，針對解析法無法直接完成求解而采用常規(guī)的試算法計算工作量大、效率低、不便實際應(yīng)用等問題，依據(jù)優(yōu)化擬合理論，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)，經(jīng)擬合計算得到了一個表達形式簡單直觀、計算不分區(qū)段、便于實際應(yīng)用的通用簡化公式。精度分析及實例計算結(jié)果表明，該公式最大計算誤差僅為0.649%，利用該公式完成蛋形斷面臨界水深計算可大大簡化計算過程，提高工作效率。

過水隧洞;蛋形斷面;臨界水深;優(yōu)化擬合;近似計算

相比馬蹄形、門洞形、圓形及矩形等其他斷面，蛋形斷面具有受力條件好、防淤積能力強(小流量時與其他斷面比較流速相對較大)、適應(yīng)水位變幅空間大、便于工程維修養(yǎng)護等優(yōu)點，是城市排水工程的最佳斷面形式，但由于蛋形斷面施工難度相對較大，在一定程度上影響了實際工程推廣應(yīng)用。隨著近幾年機械化施工技術(shù)及工藝的不斷提高，使蛋形斷面有了廣闊的發(fā)展空間［1-2］，因此有理由相信，蛋形斷面將在未來的輸配水工程中發(fā)揮越來越重要的作用。

由于蛋形斷面的幾何圖形是由不同半徑的4段圓弧曲線連接而成，斷面形式相對復(fù)雜，由此求得的水力要素被劃分為3個區(qū)間給出，且屬超越方程，因此該種斷面的臨界水深計算既涉及公式分段又需完成超越方程計算，無法由解析法直接求解。常規(guī)的試算法［3］由于公式形式復(fù)雜，大量的重復(fù)計算不但容易出錯而且效率低、精度差，不便實際應(yīng)用，利用微機編程求解又不便實際工作;而截至目前，用一個簡化近似計算公式表示及解算蛋形斷面臨界水深的相關(guān)研究尚未見文獻報道。

針對現(xiàn)有計算方法存在的問題，本文應(yīng)用優(yōu)化擬合理論，取目標(biāo)函數(shù)收斂于剩余差最小［4-6］，通過對多組備選函數(shù)多條路徑的搜索逼近，在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)，獲得了一個十分簡捷、直觀且便于實際應(yīng)用的簡化表達通式，具有實際推廣價值。

1 臨界水深的基本計算公式

依據(jù)水力學(xué)原理［7］，當(dāng)水深為臨界水深時，發(fā)生在該斷面的單位比能最小，其基本計算公式為式中:Q為設(shè)計流量，m3/s;B為水面寬度，m;A為過水?dāng)嗝婷娣e，m2;g為重力加速度，m/s2;α為流速分布不均勻系數(shù)，通常取為1.0。

1.1 蛋形斷面水力要素

圖1 蛋形斷面結(jié)構(gòu)

圖2 蛋形斷面計算示意圖

1.2 蛋形斷面臨界水深計算公式

將式(2)～(4)分別代入式(1)，并設(shè):

在實際工程中，因k值可依據(jù)已知的Q及r求得，根據(jù)k值所在區(qū)間，在式(6)～(8)中選取相應(yīng)的計算公式通過非解析法即可完成無量綱水深x的求解，并由下式計算臨界水深:

由式(6)～(8)可見，就數(shù)學(xué)意義而言，無量綱水深x的值域應(yīng)為［0，1］，而對于過水隧洞工程，x＜0.05時實際應(yīng)用意義不大;另一方面，DL/T5195—2004《水工隧洞設(shè)計規(guī)范》［8］規(guī)定，洞內(nèi)水面線以上空間不宜小于隧洞斷面面積的15%，且凈高不應(yīng)小于0.4 m，據(jù)此可得x＜0.82，即在一般情況下，洞內(nèi)最大正常水深所對應(yīng)的x應(yīng)小于或等于0.82，而在低流速恒定流情況下，臨界水深應(yīng)小于正常水深。考慮上述實用條件，本文取x的值域為［0.05，0.80］，相應(yīng)參數(shù)k的取值范圍為［0.082，3.107］。

2 蛋形斷面臨界水深簡化公式及精度分析

2.1 簡化公式的建立

由式(6)～(8)可見，根據(jù)已知的參數(shù)k求解x涉及非常繁復(fù)的超越方程，無法直接由解析法求解。為簡化求解計算過程，假定函數(shù)xi=f(k)(i=1，2，3)在工程適用參數(shù)范圍內(nèi)(即0.05≤x≤0.80，0.082≤k≤3.107)可以分別替代式(6)～(8)，依據(jù)式(6)～(8)中變量與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系繪制曲線圖，并根據(jù)曲線關(guān)系選取多個備選函數(shù)，經(jīng)分別對各備選函數(shù)的優(yōu)化擬合，以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù)［9-10］:

式中:n為擬合計算的數(shù)組數(shù)。經(jīng)逐次逼近及各備選函數(shù)的優(yōu)化比選即可得到如下替代函數(shù):

根據(jù)k值由式(11)即可求得無量綱水深x，并由式(9)求得臨界水深hk。

根據(jù)式(11)也可在已知蛋形斷面臨界水深hk(即已知x)情況下不考慮函數(shù)分段問題(如式(6)～(8))直接推求出過水流量Q的計算公式，即

2.2 簡化公式的精度分析

為分析本文簡化計算通式(11)的擬合精度，在已確定的參數(shù)值域范圍內(nèi)，即可利用公式(6)～(8)計算出與xi相對應(yīng)的ki，再由式(11)求得與ki相對應(yīng)的x'i(x'i為近似計算值)，根據(jù)所求得的xi及x'i，即可由式(14)完成公式(11)與3個分段公式(6)～(8)的擬合相對誤差計算。計算結(jié)果見表1。

式中:zi為擬合相對誤差;i為擬合計算的第i個比較數(shù)據(jù)。

由表1可見，當(dāng)無量綱水深x的取值在工程適用范圍內(nèi)時，本文簡化公式(11)的最大擬合相對誤差僅為0.649%，平均相對誤差僅為－0.057%，且有84%計算數(shù)據(jù)的相對誤差小于0.5%。可見，用式(11)實現(xiàn)擬合3個區(qū)段的計算公式具有較高的替代精度，可以滿足設(shè)計精度要求。

3 實例計算

3.1 算例1

某蛋形斷面引水隧洞的設(shè)計流量Q=38 m3/s，頂拱的設(shè)計半徑r=2.5 m，利用本文簡化公式計算隧洞內(nèi)的臨界水深hk值。

根據(jù)已知參數(shù)即可由式(5)求得k=1.146567，代入式(11)即可求得x=0.381 124，則可求得臨界水深hk=3rx=2.858 m。

通過微機編程可求得該斷面臨界水深的精確解為2.860m，本文簡化公式的計算相對誤差為0.07%。

3.2 算例2

例1中其他參數(shù)不變，計算當(dāng)隧洞內(nèi)的臨界水深hk=5.0 m時洞內(nèi)的通過流量Q。

表1 式(11)擬合精度

利用式(7)及式(12)可求得洞內(nèi)通過流量的精確解為115.05 m3/s，本文簡化公式的計算相對誤差為0.06%。

4 結(jié)語

本文采用優(yōu)化擬合法，將蛋形過水?dāng)嗝媾R界水深計算由分段超越方程簡化為一個表達形式簡單(僅為一個正弦函數(shù))、具有較高計算精度(最大相對誤差不超過0.649%)的簡化近似通式，較好地解決了目前常規(guī)算法受公式不連續(xù)束縛、求解成果精度差、重復(fù)計算工作量大、效率低、不便應(yīng)用等問題，不僅使蛋形斷面隧洞工程臨界水深計算變得更加簡捷、直觀，而且也為解決類似復(fù)雜過水?dāng)嗝嫠矶垂こ趟τ嬎愕暮喕峁┝艘环N有效而實用的計算方法，具有一定的理論及實用意義。

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Simple algorithm for the critical depth of an egg-shaped section water tunnel

TENG Kai(Qiqihar Municipal Water Affairs Bureau，Qiqihar 161006，China)

A transcendental equation which has a complex expression form needs to be solved in three sub-sections in order to calculate the critical depth of an egg-shaped cross section.The equation can not be solved directly by an analytical method and the conventional trial method has the drawbacks of heavy computational effort，low efficiency and inconvenience for practical applications.Based on the optimal fitting theory，an objective function was chosen for the smallest standard residual difference.By fitting computation confined to suitable parameters in engineering，a general approximation formula was proposed.The formula has a simple expression，no sub-sections for calculation，easy for practical application.Precision analysis and computational results show that the maximum fitting error is only 0.649%and the process for critical depth calculation of an egg-shaped cross section can be greatly simplified，and the working efficiency can be improved significantly.

water tunnel;egg-shaped cross section;critical depth;optimal fitting;approximate calculation

TV131.4

A

1006-7647(2013)06-0037-03

10.3880/j.issn.1006-7647.2013.06.007

滕凱(1957—)，男，黑龍江齊齊哈爾人，高級工程師，主要從事水利防災(zāi)減災(zāi)及工程優(yōu)化設(shè)計研究。E-mail:tengkai007@163.com

book=47,ebook=164

2012-11-14 編輯:熊水斌)