劉思思，江學良，李珍玉

(中南林業(yè)科技大學土木工程與力學學院，湖南長沙 410004)

巖溶地基中超長樁承載力數(shù)值計算方法

劉思思，江學良，李珍玉

(中南林業(yè)科技大學土木工程與力學學院，湖南長沙 410004)

針對巖溶地區(qū)溶溝、溶洞發(fā)育等復雜地層，提出基于最小勢能原理的超長樁穿越巖溶地層時的承載力計算方法。首先，構建適用于巖溶地層的樁側摩阻力計算模型;其次，分別推導了非巖溶地層和巖溶地層中樁身的能量平衡方程，并由此得到樁身單元的位移、軸力計算式;再次，基于最小勢能原理推導了樁身的勢能增量計算式，并采用黃金分割搜索法作為計算程序的收斂算法。最后，以婁新資水大橋樁基工程為算例，采用文中方法對工程樁進行計算，計算結果表明超長樁穿越巖溶地層時的承載力計算方法合理可行。

超長灌注樁;巖溶地區(qū);承載力;數(shù)值計算;最小勢能原理

對于超長樁，樁身承載后壓縮變形量較大，而樁端阻力相對較?。?］。在巖溶地區(qū)橋梁深水樁基工程中，常常遇到溶溝、溶洞等不良地質(zhì)。由于溶溝、溶洞的存在，導致樁側摩阻力分布不連續(xù)，施工中拋填的碎石、黏土、水泥無法密實，不能形成摩阻力，且如果樁身穿越較大的溶洞，樁身甚至可能是臨空的。針對這種情況，工程中往往通過將樁端嵌入穩(wěn)定巖層來獲得較好的穩(wěn)定性和較強的承載能力。但是對于超長樁，由于樁頂沉降主要受樁身壓縮量的影響，因此在保證基樁穩(wěn)定性和承載力的同時，還需滿足樁頂沉降的要求，這就要求必須對巖溶地區(qū)復雜的樁側摩阻力進行分析。國內(nèi)很多學者對超長樁的承載性狀進行了系統(tǒng)而深入的研究，例如劉鐵雄等［2-5］分別對巖溶地層中灌注樁和CRG樁進行了試驗研究，蔡登山等［6-8］對巖溶地區(qū)基樁的承載機理進行了理論研究，魏剛［9］建立了樁身承載性狀的差分計算方法，但有關超長樁穿越巖溶地層時的承載力及沉降計算理論研究尚不多見。當樁身穿越巖溶軟弱地層而嵌入下部穩(wěn)定巖層時，由于樁側溶溝、溶洞的存在，樁側摩阻力的分布不連續(xù)，但是樁身位移是沿整個樁身分布的，因此計算中應考慮樁身位移發(fā)展對不同地層樁側摩阻力的影響。基于此，本文提出基于最小勢能原理的超長樁穿越巖溶地層時的承載性狀計算方法，并通過工程樁的計算對所提出的方法進行驗證。

1 樁側摩阻力與樁端阻力計算模型

1.1 樁側摩阻力計算模型

如圖1所示，地基土在樁周發(fā)生彈塑性變形時，可將地基土的豎向位移視為彈性剪切位移與塑性剪切位移之和，可得地基深度z處地基土與基樁表面剪應變s與剪應力τ的關系為

式中:Ge、Gp1、Gp2、Gp3分別為各階段土層的彈塑性剪切模量;se、sp2、sp3、sp4分別為各階段土層的彈塑性剪應變臨界值;τ1、τ2、τ3分別為各階段土層的彈塑性剪應力臨界值。

圖1 考慮樁側摩阻力卸載的多折線模型

為方便推導，設摩阻力的統(tǒng)一計算表達式為

考慮樁側摩阻力卸載的多折線模型實際上是在佐藤悟模型基礎上進行的改進，從而使之更符合實際情況。一方面，在摩阻力達到極限值之前，增加一兩條折線用于模擬彈塑性階段相對位移的增長;另一方面，在摩阻力達到極限值之后，隨著相對位移的繼續(xù)發(fā)展，摩阻力將逐漸減小。需要說明的是，雖然考慮樁側摩阻力卸載的多折線模型在形態(tài)上體現(xiàn)了軟化階段，但不一定能使每一土層在計算中都達到軟化階段，這是由樁土相對位移的發(fā)展來控制的。一般來說，靠近樁頂部分的土層樁土相對位移較大，而越往下樁端附近的樁土相對位移較小。因此，通過控制摩阻力達到極限值時的臨界相對位移就可以控制土層中有可能出現(xiàn)的軟化。

模型軟化終點對應的摩阻力等于零，這一觀點還不能得到嚴格的證明。為體現(xiàn)樁土軟化過程，可將模型中的參數(shù)Gp3取較小值，從而使摩阻力隨位移的發(fā)展而減小，從實際計算效果來看，這與一般經(jīng)驗是相符的。

1.2 樁端阻力計算模型

一般地，樁端阻力可采用折線模型和雙曲線模型進行計算［10］，見圖2。采用折線模型時，樁端阻力計算式可表示為

圖2 樁端阻力計算模型

式中:qp為樁端阻力;kb1、kb2分別為樁端土的彈性、塑性抗壓剛度系數(shù);sb為樁端位移;ξf為樁端土達到極限位移值時的樁端阻力;ξ0為樁端土的彈性壓縮沉降量界限值;qfp為樁端阻力極限值。

采用雙曲線模型計算時，樁端阻力的表達式為

式中:ab、bb為實測資料擬合曲線控制參數(shù)。

實際應用時，需根據(jù)具體情況選擇文中所推薦的樁側摩阻力及樁端阻力計算模型。在沒有實測樁側摩阻力和樁端阻力應力-應變資料時，建議根據(jù)地質(zhì)勘察資料選用較簡單的雙折線模型;而在有現(xiàn)場實測資料時，可根據(jù)實測資料采用較復雜的計算模型進行擬合，比如雙曲線模型。

2 巖溶地基基樁能量分析

在樁身某單元頂部與底部各設置節(jié)點i和節(jié)點i+1，見圖 3，圖中pi、pi+1為節(jié)點軸力，si、si+1為節(jié)點位移，τi、τi+1為節(jié)點剪應力，H為樁長，h為樁身單元長度，s0為樁頂沉降，P為樁頂荷載。對樁身進行能量分析可知，樁身變形能與外力對樁身所做功之和相等，即

式中:U為樁身單元彈性變形能;－∑FpD為外力對樁身單元做功之和。

圖3 基樁計算模型

2.1 基本假定

為明確分析目標、簡化推導過程，作出如下假定:①樁身不產(chǎn)生塑性變形，即樁身彈性模量為一常數(shù);②樁身在樁頂荷載作用下不發(fā)生屈曲變形，在計算中不考慮基樁的穩(wěn)定性，只考慮豎向荷載對樁身各單元的作用;③樁側摩阻力先于樁端阻力發(fā)揮，即計算中首先考慮摩阻力對樁頂荷載的分擔，只有在樁端產(chǎn)生位移的情況下，才開始考慮樁端阻力對荷載的分擔;④樁側土體不沉降，即土體不會主動產(chǎn)生位移，所有的相對位移均由樁身沉降引起。

2.2 非巖溶地層中樁身能量平衡方程

樁身在地基中的能量傳遞主要由兩部分組成，即樁身變形能與外力做功，其中樁身變形能的差分計算公式為

式中:Ep為樁的彈性模量;Ap為樁身截面積。

引起樁身單元勢能發(fā)生改變的原因在于外力做功，即重力、軸力、樁側摩阻力對樁身做功，以WG表示重力做功，Wf表示樁側摩阻力做功，Wp表示軸力做功，則樁身外力做功－∑FpD為

將式(6)、式(7)代入式(5)可得

將式(8)進行多項式變換，并使用待定系數(shù)法可得

式(9)、(10)即為非巖溶地層中樁身單元頂部與底部的軸力計算式。由式(9)還可確定單元底部位移si+1:

式中:r為基樁半徑;m為基樁計算單元質(zhì)量。

2.3 巖溶發(fā)育地層中樁身的單元位移計算

由前述分析可知，巖溶地層中由于溶溝、溶洞的存在，樁側一般為軟弱的充填物(如淤泥、松散的碎石等)。在樁身穿越較大的溶洞時，樁側甚至可能出現(xiàn)臨空現(xiàn)象。因此，這部分樁側摩阻力不計，樁身位移僅由樁身軸力引起，包括樁身上部傳遞來的荷載及自重。

與非巖溶地層中樁身能量平衡方程的推導過程類似，巖溶發(fā)育地層中的樁身能量平衡方程為

而該部分樁身單元的位移與軸力計算式分別為

3 基于最小勢能原理的求解方法

從能量角度考慮基樁位移真實解的特性，可知在所有的可能解中，基樁位移的真實解一定是使樁身勢能增量最小的位移?；诖?，可對樁身的勢能增量進行分析，從而得到使程序計算收斂的最小勢能條件。

3.1 樁身勢能增量求解

設基樁在樁頂荷載P作用下，某個可能的樁頂沉降解為s0，與之相關的樁身節(jié)點i的位移為si，樁身的勢能增量為荷載引起的樁身變形能與勢能增量之和，可表示為

由式(6)和式(7)可知

將式(16)、式(17)代入式(15)可得

式(18)即為某個樁頂位移沉降解s0的樁身勢能增量計算式。此時，程序的計算目標為求得s0，使得樁身勢能增量取全局最小值，用計算式表示為

式(19)即為最小勢能收斂條件。使用黃金分割搜索法進行計算，程序終止條件及精度控制將以最后一次搜索的最大可能誤差ea小于一個用于控制精度的正數(shù)ε來實現(xiàn)。

3.2 黃金分割搜索法

分析基樁在某級荷載下勢能增量隨樁頂位移變化的曲線，可知其為一條先遞減后遞增的曲線，最小勢能即為該曲線的極小值。為求得該極小值對應的樁頂位移，使用黃金分割搜索法作為計算程序的收斂算法。

與二分法類似，使用黃金分割搜索法時，需要先確定一個搜索區(qū)域，即確定一個實際的樁頂位移值一定存在于其中的定義域(sl，su)，然后在該區(qū)域中選擇中間點，目的是通過用新值替換舊值以便使勢能增量的取值最小。對于二分法，通過選擇中點來實現(xiàn);而對于黃金分割搜索法，需要根據(jù)黃金分割率選擇兩個中間點:

式中:φ為迭代步長控制參數(shù)，φ≈1.618。

分別計算樁頂位移為s01和s02時樁身的變形，并將計算結果代入式(18)計算勢能增量ΔΠ?？赡軙霈F(xiàn)兩種結果:①ΔΠ(s02)＞ΔΠ(s01)，則s01為當次迭代的最優(yōu)解sopt，將s02設置成新的邊界sl，將舊的s01設置成新的s02，新的s01則根據(jù)式(20)計算得出;②ΔΠ(s02)＜ΔΠ(s01)，則s01為當次迭代的最優(yōu)解sopt，將s01設置成新的邊界su，將舊的s02設置成新的s01，新的s02則根據(jù)式(21)計算得出。

通過以上設置，每次迭代無需重新計算所有的勢能增量值，而只需計算新選擇的黃金分割點處的勢能增量即可，這樣可以大幅度地減少程序的計算量。

每次迭代的最大可能誤差ea可用式(22)來表示:

需要指出的是，對于整個基樁荷載-位移關系的求解，基于最小勢能原理的求解方法不是唯一的方法，甚至也不是最簡便、最高效的方法，但最小勢能原理作為工程中的普適原理，可為基樁承載性狀的求解提供一種合理的途徑。在實際的設計和科研工作中，當其他方法的準確性或合理性不確定或受到質(zhì)疑時，可采用該方法提供驗算資料或作為其他方法的佐證。

4 工程算例

根據(jù)婁新資水大橋樁基工程的地質(zhì)勘察資料，對6-2號基樁的工作特性展開了初步分析。結合現(xiàn)場監(jiān)測及原位取樣試驗獲得的基樁受力特征及樁周、樁端巖土層的力學參數(shù)，使用文中方法構建基樁承載力的數(shù)值計算模型。樁側摩阻力及樁端阻力計算模型均采用雙折線模型，地基承載力容許值及樁側摩阻力標準值見表1。發(fā)揮極限樁側摩阻力和極限樁端阻力的位移分別取10～15mm和20～30mm。

表1 地層力學參數(shù) kPa

基于地質(zhì)勘察資料和施工監(jiān)測數(shù)據(jù)可知，6-2號樁的地層及計算模型如圖4所示。樁周地層有漂石層、溶洞、中風化灰?guī)r、泥質(zhì)灰?guī)r和灰?guī)r。計算中，溶洞及溶溝地層不考慮與樁身的接觸，其他地層計算參數(shù)根據(jù)地質(zhì)勘察資料或取樣試驗數(shù)據(jù)對極限樁側摩阻力及樁端阻力取值。為考慮多層地基及溶洞條件下樁側摩阻力的特性，將地層根據(jù)巖體類別離散為地層單元，并使之與相同深度處的樁身單元對應。地層單元的力學性能按該深度處所屬的巖體取值。地層單元與樁身單元的接觸利用非線性三折線荷載傳遞函數(shù)計算，溶洞處接觸參數(shù)取零，僅考慮樁身的壓縮;樁端阻力按非線性材料強化模型即如前所述的折線模型進行計算。

圖4 6-2號樁計算模型(單位:m)

經(jīng)計算，6-2號樁的荷載-沉降曲線如圖5所示。由圖5可知，當荷載小于20 MN時，6-2號樁的剛性系數(shù)基本為常數(shù)，即基樁沉降線性發(fā)展;當荷載超過20 MN時，基樁沉降非線性發(fā)展，且隨著荷載的增大沉降速度逐漸增大。從圖5還可以大致判斷出6-2號樁的極限承載力在35 MN左右。6-2號樁在各級荷載作用下的軸力分布曲線如圖6所示。由圖6可知，樁身穿過溶洞層時，雖然樁身仍受到壓縮，但樁身軸力保持不變。同時，雖然6-2號樁的樁端進入了巖性較好的巖層，但樁頂荷載仍主要由樁側摩阻力承擔，這與其他超長樁的工作特點是一致的。6-2號樁在各級荷載作用下的樁側摩阻力如圖7所示。由圖7可以更加清楚地看到，在溶洞層樁側摩阻力是缺失的。此外，6-2號樁側摩阻力曲線在樁端附近樁身有突變，因為樁身進入完整的灰?guī)r層大約有7 m長，該部分巖層的極限側阻力及極限相對位移較中風化灰?guī)r中的數(shù)值小，所以按嵌巖樁處理。在荷載級別較大時，6-2號樁的樁側摩阻力曲線出現(xiàn)了鈍化現(xiàn)象，表明基樁已接近或達到極限承載力。

圖5 6-2號樁荷載－沉降曲線

綜上所述，6-2號樁穿越溶洞后的承載性能與普通超長樁雖然有某些共同點(如樁頂荷載主要由樁側摩阻力承擔)，但不可否認兩者之間有較大的差異。樁側摩阻力的組成、樁端阻力的發(fā)揮模式、樁身變形及承載模式等均不同。計算時應注意區(qū)分巖溶地基與普通巖土地基的區(qū)別。

圖6 6-2號樁軸力分布曲線

圖7 6-2號樁樁側摩阻力分布曲線

以上計算均基于實測地質(zhì)勘察資料及巖土體取樣試驗實測參數(shù)完成，由于在計算中使用的模型及接觸計算方法與實際情況仍有差異，且?guī)r溶地區(qū)樁基礎的設計計算理論還不完善，因此更為準確、合理的計算模型及接觸處理方法仍有待進一步探討。

5 結語

本文針對巖溶地區(qū)溶溝、溶洞發(fā)育等復雜地層，提出基于最小勢能原理的超長樁穿越巖溶地層時的承載力計算方法。算例計算結果表明，樁側摩阻力軟化折線計算模型能夠反映超長樁的樁側摩阻力發(fā)展特性;基于能量原理推導的樁身單元計算差分方程及相應的計算程序能夠用于巖溶地基的超長樁承載力的計算;基于最小勢能原理推導的樁身勢能增量計算式及黃金分割搜索法能夠使計算趨于收斂，即文中計算方法具有合理性與科學性，其計算結果可為相關的科研和設計工作提供參考。

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Method for calculating bearing capacity of super-long pile in Karst region

LIU Sisi，JIANG Xueliang，LI Zhenyu(College of Civil Engineering and Mechanics，Central South Univeristy of Forestry and Technology，Changsha410004，China)

According to complex foundations including channeling and Karat caves in a Karst region，a new method for calculating the bearing capacity of a super-long pile was presented.First，a calculation model of pile lateral friction in Karst stratum was established.Second，energy balance equations of a super-long pile in non-Karst stratum and Karst stratum were deduced，respectively.Based on it，a displacement formula and axial force formula of the pile unit were determined.Third，the pile incremental potential energy formula was derived from the principle of minimum potential energy，with the golden section method as program convergence algorithm.At last，taking an engineering pile in the Zishui Bridge foundation as an example，the bearing capacity was calculated using the method proposed in this paper.Calculation results show that this method is reasonable and practicable，and can provide a scientific reference for research and design in actual projects.

super-long pile;Karst region;bearing capacity;numerical calculation;minimum potential energy principle

TU413.4

A

1006-7647(2013)01-0027-06

10.3880/j.issn.1006-7647.2013.01.006

國家自然科學基金(51108470);湖南省科技計劃(2011TT2061)

劉思思(1980—)，男，湖南長沙人，講師，博士，主要從事樁基礎設計理論研究。E-mail:30849650@qq.com

2012-04-25 編輯:駱超)