王起才，鮑學(xué)英，曹興龍，張戎令

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

基于主成分分析法的C50高性能混凝土配合比優(yōu)選研究

王起才，鮑學(xué)英，曹興龍，張戎令

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

主成分分析法能夠在保證原始數(shù)據(jù)信息損失最小的情況下，以少數(shù)的綜合變量取代原有的多維變量，使數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)大為簡化。試驗(yàn)選取了能間接反映混凝土性能的15項(xiàng)主要指標(biāo)，采用主成分分析法對這些間接指標(biāo)進(jìn)行相關(guān)的數(shù)值處理，得出了評價(jià)混凝土性能的數(shù)學(xué)模型。以蘭新二線第9標(biāo)段95組C50高性能混凝土樣本為基礎(chǔ)，運(yùn)用該模型對C50高性能混凝土樣本的性能進(jìn)行了評價(jià)，并按照該樣本的綜合性能進(jìn)行了排序，將評價(jià)結(jié)果與實(shí)際樣本進(jìn)行對比，結(jié)果表明，該模型的評價(jià)結(jié)果與C50高性能混凝土的實(shí)際性能符合得很好。

主成分分析法 混凝土配合比 評價(jià)模型

高性能混凝土不僅要求混凝土的拌合物具有大流動性的施工性能，而且要求混凝土具有良好的力學(xué)性能和耐久性［1］。蘭新鐵路第二雙線第9標(biāo)段施工工期為3年，線路穿越新疆戈壁地區(qū)，區(qū)段內(nèi)氣候環(huán)境具有干燥、大風(fēng)和大溫差特點(diǎn)［2］，這種特殊的氣候環(huán)境，極易使高性能混凝土產(chǎn)生質(zhì)量問題。研究認(rèn)為能間接反映高性能混凝土性能的因素很多，這些因素對混凝土性能的影響或重或輕，如果能夠確定混凝土強(qiáng)度及其影響因素之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，就可以在不了解材料內(nèi)部詳細(xì)機(jī)理的情況下，根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系探索混凝土的最優(yōu)配合比，以尋求材料的最佳性能［3］。近年來，隨著多元統(tǒng)計(jì)方法的普及與應(yīng)用，主成分分析法在最大限度保留原有信息的基礎(chǔ)上，對高維變量系統(tǒng)進(jìn)行最佳的綜合與簡化，并且能夠客觀地確定各個指標(biāo)的權(quán)數(shù)，避免了主觀隨意性［4］。通過對蘭新二線第9標(biāo)段梁體結(jié)構(gòu)C50混凝土的配合比試驗(yàn)，利用主成分分析法，建立高性能混凝土綜合評價(jià)模型，并對混凝土性能進(jìn)行排序，對試驗(yàn)樣本進(jìn)行優(yōu)選，為 C50混凝土最佳配合比的設(shè)計(jì)提供了一定的理論依據(jù)。

1 主成分分析法的基本原理

主成分分析法(Principal Component Analysis，PCA)是將分散在一組變量上的信息，通過恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換，使新變量—主成分成為原變量的線性組合，并選取少數(shù)幾個在變差總信息量中比例較大的主成分來分析事物的一種探索性統(tǒng)計(jì)分析方法［5］。其目的主要有兩個:一是用有限個不可觀察的潛在變量進(jìn)行解釋原變量的相關(guān)性，二是對變量或樣本進(jìn)行分類處理，用較少的指標(biāo)表達(dá)大部分信息量［6］。正是利用主成分分析法的上述優(yōu)點(diǎn)，可把高性能混凝土比較分散的性能集中到幾個指標(biāo)上來，從而實(shí)現(xiàn)對高性能混凝土配合比的優(yōu)選。

1.1 主成分分析的數(shù)學(xué)模型

假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構(gòu)成一個n×p階的數(shù)據(jù)矩陣

將原變量指標(biāo)進(jìn)行降維處理后的新變量為 F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m(m≤p)，如式(2)所示，式中，xj=［x1jx2j…x］T。

新變量F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m構(gòu)成的坐標(biāo)系是在原坐標(biāo)系經(jīng)平移和正交旋轉(zhuǎn)后得到的。稱F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m張成的空間為m維主超平面。在主超平面上，第1主成分F1是x1，x2，…，xp的所有線形組合中方差最大者，F(xiàn)2是與F1不相關(guān)的x1，x2，…，xp的所有線形組合中方差最大者;Fm是與 F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m－1都不相關(guān) x1，x2，…，xp的所有線形組合中方差最大者。因此，新變量指標(biāo)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m分別稱為原變量指標(biāo) x1，x2，…，xp的第1，第2，…，第m主成分。從以上分析可以看出，主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定原來變量 x1，x2，…，xp在諸主成分 F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m上的載荷 lij(i=1，2，…，m;j=1，2，…，p)。

1.2 主成分分析方法計(jì)算步驟

由主成分分析的基本原理和數(shù)學(xué)模型可以看出，其估計(jì)的任務(wù)是通過確定主成分的個數(shù)，解釋主成分的實(shí)際意義和它的得分，從而可以從幾個或若干個備選方案里選擇出較優(yōu)化的方案。由于反映混凝土性能的量綱不一致，在進(jìn)行主成分分析之前可對其各指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，統(tǒng)一為無量綱的數(shù)值。

第一步:對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換

設(shè)有n個樣本，每個樣本觀測p項(xiàng)指標(biāo)，得到原始數(shù)據(jù)資料，為了排除數(shù)量級和量綱不同帶來的影響，用式(3)先對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。

第二步:計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)矩陣為

其中，rij(i，j=1，2，…，p)為原變量 yi與 yj的相關(guān)系數(shù)，rij=rji，其計(jì)算公式為

第三步:計(jì)算相關(guān)矩陣的特征值及其所對應(yīng)的特征向量

由R的特征方程:|R－λE|=0，可得p個非負(fù)特征值 λi(i=1，2，．．．，p)，并將這些特征值按由大到小的順序排列:λ1≥λ2≥…≥λp≥0。

第四步:計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率

主成分的貢獻(xiàn)率ηi和主成分Fi的累計(jì)貢獻(xiàn)率 ξF，i分別如式(7)和式(8)

累計(jì)貢獻(xiàn)率一般以其達(dá)到某一特定值時為準(zhǔn)(如85%)，保留前m個主成分來確定混凝土性能。

第五步:計(jì)算主成分載荷lij

第六步:計(jì)算樣本的綜合得分。

由上述計(jì)算可得到樣本混凝土的綜合性能，即得到式(2)?？蓮母鹘M比較分散的指標(biāo)中找出最優(yōu)化的組合。

2 利用混凝土試驗(yàn)樣本建模型求解

首先對蘭新二線第9標(biāo)段C50混凝土試驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單的刪減，保留其中能夠全面反映混凝土信息指標(biāo)的95組不同配合比的C50混凝土樣本，部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 C50混凝土部分試驗(yàn)樣本

2.1 主成分分析

1)主成分分析法的適用性驗(yàn)證

由于試驗(yàn)樣本各性能的量綱不同，要對其進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，在得到標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)后利用SPSS軟件對表1中的數(shù)據(jù)進(jìn)行主成分分析。首先，確定一組數(shù)據(jù)是否適合做主成分分析，需要做 KMO取樣適合度檢驗(yàn)和Bartlett球形檢驗(yàn)。KMO取樣適合度檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是用于比較觀測變量間相關(guān)系數(shù)平方和和偏相關(guān)系數(shù)平方和指標(biāo)。偏相關(guān)系數(shù)絕對值越小，說明兩變量存在公共因子的可能性越大，說明可能適合做主成分分析。Bartlett球形檢驗(yàn)是一種檢驗(yàn)變量之間相關(guān)性程度的檢驗(yàn)方法，它以原有變量的相關(guān)系數(shù)矩陣為出發(fā)點(diǎn)，檢驗(yàn)實(shí)際相關(guān)矩陣與假設(shè)單位陣之間的差異性。如果差異性顯著，則認(rèn)為變量間的相關(guān)性顯著，適合于做主成分分析。具體檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 KMO檢驗(yàn)

由表2中的Kaiser-Meyer-Olkin度量可知K值＞0.6，因此證明對該組C50混凝土試驗(yàn)樣本進(jìn)行主成分分析是滿足要求的。Bartlett球形檢驗(yàn)的 Sig＜0.05，說明可以做主成分分析。

2)主成分的特征值和貢獻(xiàn)率

對C50混凝土的15項(xiàng)指標(biāo)計(jì)算其特征值和累計(jì)貢獻(xiàn)率，如表3所示。

表3 特征值和累計(jì)貢獻(xiàn)率

根據(jù)表3可知前4個成分的方差累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)80%，在15個混凝土指標(biāo)中前4個指標(biāo)的貢獻(xiàn)率最大，因此，15個混凝土指標(biāo)歸結(jié)為4個主成分，其碎石圖如圖1。

由碎石圖可知將15個指標(biāo)化為4個主成分是成立的。同時，可以得到主成分的因子載荷圖，如圖2所示。由圖2可以發(fā)現(xiàn)隸屬于主成分F1的有指標(biāo)3 d強(qiáng)度，7 d強(qiáng)度，28 d強(qiáng)度，水泥，膠凝材料;隸屬于主成分F2的有粉煤灰，礦粉，細(xì)骨料，水，水膠比，56 d電通量，初始含氣量;隸屬于主成分F3的有粗骨料，減水劑;隸屬于主成分F4的有表觀密度。與專業(yè)知識基本吻合，綜合來看F1代表強(qiáng)度，F(xiàn)2代表水膠比，F(xiàn)3代表粗骨料，F(xiàn)4代表密實(shí)度。

圖1 指標(biāo)碎石圖

圖2 主成分的因子載荷圖

3)計(jì)算C50混凝土的綜合性能指標(biāo)

各成分的貢獻(xiàn)率由表4可得，并以其為依據(jù)作為權(quán)重因子的權(quán)重，可得到C50混凝土各指標(biāo)的綜合性能指標(biāo)。

表4 成分得分系數(shù)矩陣

各成分的貢獻(xiàn)率作為權(quán)重因子的權(quán)重，可得到C50混凝土各指標(biāo)的綜合性能指標(biāo)

根據(jù)所篩選出的反映C50高性能混凝土綜合性能的4個主成分，可以計(jì)算出主成分 F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4的權(quán)重，如表5所示，根據(jù)所測試的15項(xiàng)指標(biāo)得出C50混凝土性能綜合評價(jià)表達(dá)式為

表5 各主成分綜合權(quán)重

2.2 C50混凝土綜合評價(jià)結(jié)果

利用MATLAB工具，計(jì)算得到了每一個樣本的綜合評價(jià)結(jié)果，前10名排序結(jié)果如表6所示。由表可知樣本7的綜合質(zhì)量是最優(yōu)的，因此，可以考慮采用該樣本的配比為最佳配合比。

表6 前10名混凝土樣本評價(jià)結(jié)果

3 結(jié)論

主成分分析法可把變量間的相關(guān)性消除，且根據(jù)降維的思想降低計(jì)算的工作量，把很多不同的變量集中到一個或幾個指標(biāo)上來，這樣就大大減少分析數(shù)據(jù)的工作量。綜合評價(jià)所得的權(quán)數(shù)是伴隨數(shù)學(xué)變換自動生成的，對指標(biāo)的綜合評價(jià)具有一定的客觀性，可在一定程度上反映出各組分性能的高低［7-9］。論文在對蘭新二線第9標(biāo)段C50高性能混凝土95組試驗(yàn)樣本利用主成分分析法進(jìn)行評價(jià)后得到以下結(jié)論:①運(yùn)用主成分分析法可把混凝土的性能指標(biāo)之間的不同量綱統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為無量綱的指標(biāo)，通過對無量綱指標(biāo)的分析可有效地比較不同組別的各性能的高低，為綜合指標(biāo)性能的分析提供一種快捷的方法。②綜合應(yīng)用各種現(xiàn)代優(yōu)化算法，并合理選取學(xué)習(xí)樣本，能夠?qū)炷恋呐浜媳冗M(jìn)行定量的優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而大大減少試驗(yàn)量，在降低材料研制成本、縮短試驗(yàn)周期等方面，具有不可低估的應(yīng)用價(jià)值。

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A

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2012-12-20;

2013-01-20

長江學(xué)者和創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(IRT1139)

王起才(1962— )，男，河北晉州人，教授，博士。

(責(zé)任審編 王 紅)