李文博，陶連金，蔡東明，周明科

(北京工業(yè)大學城市與工程安全減災教育部重點實驗室，北京 100124)

豎向土壓力公式按照推導依據(jù)分兩類:一類為源于室內(nèi)滑落門試驗，代表為太沙基公式;另一類為源于工程經(jīng)驗的簡化土壓力公式，代表為土柱理論、比爾鮑曼理論、謝家恷理論、鐵路規(guī)范等。國內(nèi)學者宋玉香等［1］選用黏聚力為20 kPa，內(nèi)摩擦角為20°的土體，對各種土壓力計算公式進行了比較，基于比爾鮑曼理論，給出了地鐵隧道豎向土壓力計算公式。孫文昊［2］對土質(zhì)地層中盾構(gòu)法隧道結(jié)構(gòu)設計時采用的豎向荷載計算方法進行了探討，研究表明:鐵路及公路隧道規(guī)范中推薦的豎向土壓力公式對土質(zhì)地層中盾構(gòu)隧道不太適用。對于軟黏土地層，可采用全土柱荷載模型;對于其它土層，深淺埋均可按太沙基公式計算。本文以前人研究成果為基礎，首先修正了太沙基土壓力計算公式;其次對現(xiàn)有土壓力計算公式及修正后的太沙基土壓力公式進行對比分析，比較各種土壓力公式計算值與實測值吻合度，探求各種公式在城市地鐵設計中的適用性;最后以修正后的太沙基土壓力公式為基礎，提出了無經(jīng)驗參數(shù)，隨道埋深平順過度的地鐵豎向土壓力計算公式。

1 太沙基土壓力計算公式及簡單修正

1.1 太沙基土壓力計算公式

太沙基根據(jù)滑落門試驗結(jié)果，在平面應變條件下，推出土壓力計算公式［3］，如圖1所示。

式中，σv為豎向土壓力;B為隧道跨度;H為埋深;D為隧道高度;γ為重度;c為黏聚力;φ為內(nèi)摩擦角;K為側(cè)壓力系數(shù);B1=B/2+Dtan(45°-φ/2)。

圖1 太沙基公式計算簡圖

1.2 修正后的太沙基公式

1)側(cè)壓力系數(shù)

太沙基在滑落門試驗中，測得擋板中心以上0～2B高度內(nèi)的側(cè)壓力系數(shù)為1.0～1.5(2B為擋板寬度)。據(jù)此，在松動土壓力公式中，太沙基建議側(cè)壓力系數(shù)K取值為1.0。從力學角度可知，中心線上沒有剪應力，而滑動面上發(fā)生剪切破壞，兩處應力狀態(tài)相差較大，其側(cè)壓力系數(shù)也應是不同的。因此，以中線上的側(cè)壓力系數(shù)代替滑移面上的側(cè)壓力系數(shù)是值得商榷的［4-6］?；泼嫱馏w處于剪切破壞狀態(tài)，應力達到極限平衡時，應該與庫侖包絡線相切。取滑移面上一個單元A的應力狀態(tài)，如圖2所示。由莫爾圓的應力分析可得 β =90°- φ，τf=c+Kσztanφ

圖2 滑移面土體單元應力狀態(tài)

令 K1=1+2tan2φ;則 K=1/K1-2ctanφ/(σzK1)。

2)修正后的太沙基公式推導

計算過程和太沙基原理一樣，將K代入太沙基平衡微分方程得

化簡微分方程得

邊界條件σZ=q，h=0，解微分方程得

2 比爾鮑曼土壓力計算公式

考慮拱頂兩側(cè)破壞土體的夾制力，利用朗肯土壓力公式進行推導，考慮c和φ兩個力學指標得公式

式中，γ為重度;c為黏聚力;φ為內(nèi)摩擦角;a為斷面寬度;a1=a/2+htan(45°-φ/2);K1=tanφtan2(45°-φ/2);K2=tanφtan(45°-φ/2)。

3 謝家恷土壓力計算公式

考慮隧道兩側(cè)土體對拱頂土體的夾制作用，利用剛體平衡，φ綜合反映內(nèi)摩擦角φ和黏聚力c，并且0＜θ＜φ，推導得

式中，θ為頂板土柱兩側(cè)摩擦角，取經(jīng)驗值;λ為側(cè)壓力系數(shù);φ為計算摩擦角;β為產(chǎn)生最大推力時的破裂角;B為隧道跨度;h為隧道埋深。

4 常用土壓力計算公式比較

選典型地鐵隧道斷面，跨度6.2 m，高為6.5m，并以粉質(zhì)黏土、黏土和砂土3種土體為例，分別進行計算分析。

1)粉質(zhì)黏土的內(nèi)摩擦角為10°，黏聚力為25 kPa，H=0～50m，計算得到不同公式對應的土壓力如圖3所示。①當隧道埋深0～50m之內(nèi)，太沙基公式、修正后的太沙基公式、比爾鮑曼公式的計算始終非常接近。②鐵路規(guī)范公式計算的土壓力在超淺埋條件下略大于其它公式的結(jié)果;在淺埋條件下近似等于其它公式的結(jié)果;但是當覆土厚度達到深埋與淺埋的臨界值時(20m)，豎向土壓力出現(xiàn)突然減小，為淺埋和超淺埋的臨界值的土柱重量。③當埋深增加到35m時，謝家恷公式計算結(jié)果出現(xiàn)極值，之后逐漸減小，這顯然與實際情況不符合。

圖3 粉質(zhì)黏土豎向土壓力與埋深關(guān)系

2)黏土的內(nèi)摩擦角為15°，黏聚力為40 kPa，H=0～50m，具體結(jié)果如圖4所示。從中可以看出:①當隧道埋深0～40m時，各公式計算結(jié)果大小排列順序為:土柱理論＞謝家恷公式＞比爾鮑曼公式＞修正后的太沙基公式＞太沙基公式，并且修正后的太沙基公式的計算結(jié)果略大于太沙基公式的計算結(jié)果。②當埋深35m時，謝家恷公式和比爾鮑曼公式的計算結(jié)果都會出現(xiàn)反彎現(xiàn)象，相對粉質(zhì)黏土，其凸形曲線趨于陡峭，顯然與實際情況也不符合。

圖4 黏土豎向土壓力隨埋深的變化關(guān)系

3)砂土的內(nèi)摩擦角為30°，黏聚力為0，H=0～50m，經(jīng)不同公式計算，其結(jié)果如圖5所示。該圖表明:①當埋深0～40m時，各公式計算結(jié)果的大小順序為:土柱理論＞謝家恷公式＞比爾鮑曼公式＞修正的太沙基公式＞太沙基公式。謝家恷公式和比爾鮑曼公式的計算曲線均會出現(xiàn)反彎現(xiàn)象，相對黏土凸形曲線更加趨于陡峭。②隨著埋深的增加，修正后的太沙基公式和太沙基公式計算結(jié)果的變化規(guī)律趨于一致，但兩者的差值比黏土和粉質(zhì)黏土的差值顯著增加。③隨著摩擦角的增加，各公式之間的計算差值開始增加，說明土體的內(nèi)摩擦角對土壓力的影響較大。

圖5 砂土豎向土壓力隨埋深的變化關(guān)系

5 計算值與實測數(shù)據(jù)之對比分析

將國內(nèi)外11條隧道14個測試斷面對應的隧道直徑、埋深、土體參數(shù)、實測豎向土壓力及各公式的計算結(jié)果匯總［7-12］，并將統(tǒng)計結(jié)果繪于圖6。由圖6可得以下結(jié)論:

圖6 較大計算誤差的統(tǒng)計結(jié)果

1)在砂土地層條件下，無論深埋還是淺埋，太沙基公式計算結(jié)果與實測結(jié)果相比偏小(計算值/實測值＜0.95 定義為偏小)，比值分別為 0.94，1.15，0.95，0.82，0.89，0.71;修正后的太沙基公式計算結(jié)果與實測結(jié)果相比略大，比值分別為1.00，1.20，1.29，1.02，1.11，1.01。

2)在黏土和粉質(zhì)黏土地層條件下，淺埋時，比爾鮑曼公式、謝家恷公式及鐵路規(guī)范的計算結(jié)果均偏大(理論值/實測值＞1.2定義為偏大)，偏大者分別占71%，57%，86%，深埋隧道時，均出現(xiàn)偏小現(xiàn)象，主要因為反彎現(xiàn)象，不適合深埋隧道。

3)在黏土和粉質(zhì)黏土地層條件下，無論深埋還是淺埋，修正后的太沙基公式和太沙基公式均略大于實測值，且偏大情況較少，分別占25%和20%。

6 地鐵隧道豎向土壓力計算推薦公式

以上研究表明，修正后的太沙基公式的計算值和實測值吻合較好，且略大于實測值，因此該公式與其它公式相比，經(jīng)濟和安全兼?zhèn)?，比較適用于土質(zhì)隧道的豎向土壓力計算。

1)日本土木協(xié)會的《隧道標準規(guī)范(盾構(gòu)篇)及解說》的相關(guān)規(guī)定［13］:如果埋深＜B(B為隧道跨度)，一般不考慮地層的拱效應，采用土柱理論;當埋深＞1B～2B時，砂質(zhì)土和硬質(zhì)黏土，采用太沙基土壓力計算公式。作者參考國內(nèi)外土壓力計算資料，以修正太沙基公式為基礎，推導了隨埋深增加平順過度的土壓力計算公式，并且計算參數(shù)只有c，φ，H，B，無經(jīng)驗參數(shù)。

2)地鐵隧道豎向土壓力計算推薦公式的推導

①當H≤B時，按照土柱理論計算

②當H＞B時，按照修正后的太沙基公式計算

③為了避免在超淺埋和淺埋的臨界點處，土壓力不出現(xiàn)鋸齒形狀，對①和②進行修正

④建議地鐵隧道豎向土壓力計算推薦公式

⑤豎向荷載隨埋深的關(guān)系曲線

以地鐵隧道常用的標準跨度為例(寬為6.2 m，高為6.5m)，土體參數(shù)選c=0，φ=30°，推薦土壓力的計算結(jié)果與埋深的關(guān)系，如圖7所示。

圖7 豎向土壓力隨埋深變化關(guān)系

7 結(jié)論

本文以修正后的太沙基土壓力公式為基礎，通過側(cè)壓力系數(shù)修正了太沙基公式。選用粉質(zhì)黏土、黏土及砂土3種土體，分析各種常用土壓力公式及本文修正后的公式的計算結(jié)果隨埋深的變化關(guān)系，探求各種土壓力公式在城市地鐵設計中的適用性及存在的問題，對比了不同公式的計算值與實測數(shù)據(jù)的吻合程度。

在砂土地層的條件下，修正后的太沙基公式的理論值與實測結(jié)果吻合度最好，基于修正的太沙基公式及國內(nèi)外土壓力計算資料，得出了隨埋深平順過渡、計算值與實測值吻合較好的豎向土壓力計算公式。

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