王 彬，徐 明

（泰州師范高等?？茖W(xué)校，江蘇 泰州 225300）

函數(shù)圖像的繪制在研究函數(shù)的性態(tài)、求方程的近似解等方面具有重要的作用，因此，準(zhǔn)確地描繪出函數(shù)的圖像，是學(xué)習(xí)與應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。隨著軟件技術(shù)的不斷發(fā)展，許多數(shù)學(xué)軟件給出了較多的函數(shù)圖像繪制方案，只要輸入比較簡單的繪圖命令，就可輕松作出函數(shù)圖像。如，由沃爾夫勒姆研究公司（Wolfram Research Inc.）研發(fā)的Mathematica軟件，給出了下列基本的繪圖命令：

函數(shù)圖像類別 繪圖命令一元顯函數(shù)（二維圖形） Plot［f，{x，min，max }］一元顯函數(shù)組 Plot［{f1，f2，…}，{x，min，max}］平面曲線的參數(shù)圖 ParametricPlot［{x，y}，{t，tmin，tmax}］二元顯函數(shù)（三維圖形） Plot3D［f，{x，min，max}，{y，min，max}］空間曲線的參數(shù)圖 ParametricPlot3D［{fx，fv，fz}，{t，tmin，tmax}］空間曲面的參數(shù)圖 ParametricPlot3D［{fx，fv，fz}，{t，tmin，tmax}，{u，umin，umax }］

然而，由于系統(tǒng)的默認(rèn)效果與通常的函數(shù)圖像表示形式有一定差距，從而在視覺上影響了函數(shù)圖像的準(zhǔn)確度，以及位置特征的判定等。利用Mathematica軟件強大的人機互動功能，結(jié)合極限、導(dǎo)數(shù)等對函數(shù)圖像特征的判定，調(diào)用系統(tǒng)內(nèi)置函數(shù)，可以較好地解決以上問題。

一、函數(shù)圖像的糾偏

Mathematica在畫函數(shù)f的圖像時，為了得到光滑的曲線，系統(tǒng)需要計算許多點的函數(shù)值。系統(tǒng)“Plot”命令中，必須給出自變量的取值范圍，并默認(rèn)橫軸與縱軸比為黃金分割，系統(tǒng)根據(jù)自變量的取值情況自動計算出函數(shù)的值域，從而作出函數(shù)的圖像。

如要描繪一元函數(shù)f（x）的圖像，只要輸入命令Plot［f（x），{x，min，max}］，同時按“Shife+Enter”，系統(tǒng)則自動顯示函數(shù)圖像。

In［1］：=Plot［1+36x/（x+3）^2，{x，－6，6}］

Out［1］=Graphics

In［2］：=Plot［1+36x/（x+3）^2，{x，－60，60}］

Out［2］=Graphics

In［3］：=Plot［（1+x）^（1/x），{x，－1，2}］

Out［3］=Graphics

其實這是因為系統(tǒng)自動調(diào)整了坐標(biāo)軸的位置，其坐標(biāo)原點并不是（0，0），函數(shù)圖像并沒有失真，只是視覺上與通常函數(shù)圖像表現(xiàn)方式不一樣。對于這一問題，采用上例的方法調(diào)整x的取值范圍，可以適當(dāng)改變視覺效果，但難以解決坐標(biāo)原點不在（0，0）點的問題，這就需要對函數(shù)圖像進行優(yōu)化。

二、函數(shù)圖像的優(yōu)化

Mathematica繪圖時允許用戶設(shè)置選項值對繪制圖形的細(xì)節(jié)提出各種要求。例如，要求取消坐標(biāo)軸，給圖形加框線等。每個選項都有一個確定的名稱，以“選項名－＞選項值”的形式放在Plot中最右邊位置，一次可設(shè)置多個選項，選項依次排列，以逗號相隔，若不設(shè)置選項，系統(tǒng)取各選項的默認(rèn)值。

Mathematica對函數(shù)圖像進行修飾的選項主要分為兩大類：第一類選項的主要功能是修飾曲線的樣式，用來控制圖形的生成過程、控制圖形元素的構(gòu)造，這是比較重要的一類選項，其選項名只有一個PlotStyle；第二類選項的主要功能是修飾圖形或坐標(biāo)軸的外觀，可以通過選項改變圖形的顯示比例、為圖形加背景、加網(wǎng)格、控制作圖的區(qū)域及圖形是否顯示，以及是否顯示坐標(biāo)軸，坐標(biāo)原點的位置，坐標(biāo)軸上的刻度等。

以上選項名稱、功能及使用方法都可通過《Mathematica教程》或Mathematica軟件的幫助查閱。這里主要通過修飾坐標(biāo)軸的外觀舉例說明如何對函數(shù)圖像優(yōu)化。修飾坐標(biāo)軸外觀的常用選項如下表：

選項名 取值范圍 默認(rèn)值 功能Axes True/False True 是否畫坐標(biāo)軸AxesOrigin Automatic/{x，y} Automatic 坐標(biāo)原點AxesLabel None/{“字符串1”，“字符串2”} None 給坐標(biāo)軸標(biāo)注Frame True/False False 圖形是否加框Ticks Automatic/{x，y}/{x1，y1，…}，{x2，y2，…} Automatic 坐標(biāo)軸刻度Epilog None/{Text［“O”，{x，y}］}None 是否標(biāo)注原點

＞{0，0}，AxesStyle－＞Arrowheads［0.03］，Epilog－＞Text［“O”，{0.1，0.

2}］，AxesLabel－＞{x，y}］

Out［4］=Graphics

例4作出x2+y2+z2=1的圖像

Mathematica關(guān)于二元函數(shù)（三維圖形）的作圖命令中，默認(rèn)效果是加立體框的，坐標(biāo)軸位置位于立體框上，且為了更好地顯示立體效果，系統(tǒng)對圖像自動添加網(wǎng)絡(luò)線，并根據(jù)透視情況著色。因此在實際操作中，可以對相關(guān)選項進行設(shè)置，以達到預(yù)期效果，本例僅就去外框與調(diào)整坐標(biāo)原點的位置進行演示。

In［5］：=ParametricPlot3D［{Cos［u］Sin［v］，Cos［u］Cos［v］，Sin［u］}，{u，0，2Pi}，{v，0，2Pi}，Boxed －＞False，AxesOrigin－＞{0，0，0}］

Out［5］=Graphics3D（略）

系統(tǒng)推薦的二元函數(shù)（三維圖形）的作圖命令主要有顯函數(shù)作圖與參數(shù)方程作圖，本例隱函數(shù)的圖像是通過參數(shù)方程作圖命令實現(xiàn)的。

三、函數(shù)圖像的動畫

為了更好地研究含參數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律，可以借助Mathematica軟件中的交互式操控函數(shù)制作函數(shù)的動畫，這里僅就可以直接訪問廣大功能強大的互動函數(shù)“Manipulate”的操作舉例說明。

例5［2］作出函數(shù)y=sin（ax+b）的圖像，觀察圖像隨a，b的變化情況

In［6］：=Manipulate［Plot［Sin［ax+b］，{x，0，2Pi}］，{a，1，4}，{b，0，10}］

Out［6］=Graphics

點擊a，b滑動條右邊的“+”可出現(xiàn)如錄音機上面的按鈕（如圖所示）。

點擊a或b的播放按鈕或拖動滑動條，可以得到y(tǒng)=sin（ax+b）隨a，b變化的動畫效果，限于篇幅，這里不再演示。

利用函數(shù)圖像的動畫效果，可以很好地演示極限變化過程，以及定積分定義中分割、求和、近似計算的直觀效果。