何慶華，衛(wèi) 星

(1.廣州市高速公路有限公司，廣州 510288;2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，成都 610031)

1 概述

曲線箱形梁兼具彎梁橋與箱形梁兩者的特點(diǎn)，彎梁橋的空間受力比較復(fù)雜，沒有直線形橋梁那樣直觀的受力特點(diǎn)。由于曲率的影響，曲線箱梁截面在發(fā)生豎向彎曲時(shí)，必然產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)，而這種扭轉(zhuǎn)作用又將導(dǎo)致梁的撓曲變形，彎曲與扭矩互相耦聯(lián)，在彎曲和扭轉(zhuǎn)相互作用下，除了發(fā)生一般的彎曲和自由扭轉(zhuǎn)變形外，還會(huì)發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)和箱形截面畸變［1-4］。曲線橋的變形比同樣跨徑直線橋大，外弧的撓度大于內(nèi)弧的撓度，曲率半徑越小、橋越寬，這一趨勢越明顯;即使在對(duì)稱荷載作用下也會(huì)產(chǎn)生較大的扭轉(zhuǎn)，通常會(huì)使外梁超載，內(nèi)梁卸載;與直線橋相比，曲線梁支點(diǎn)反力存在外弧側(cè)變大，內(nèi)弧側(cè)變小的傾向，內(nèi)側(cè)甚至產(chǎn)生負(fù)反力。

國內(nèi)外研究表明，曲線梁橋的受力特性主要取決于曲率的大小，曲線梁橋的撓曲變形一般要比相同跨徑的直橋大。曲線梁橋的撓曲變形一般與跨長L、曲率半徑R、圓心角，以及彎扭剛度比EI/GI有關(guān)，并與荷載形式等也有關(guān)［5-11］。通常彎橋的橋面寬度與曲率半徑之比越大，其與相當(dāng)?shù)闹本€橋的斷面內(nèi)力之差就越大，應(yīng)力分布也越不均勻。由于扭矩的作用及截面翹曲的存在，扭轉(zhuǎn)和翹曲產(chǎn)生的應(yīng)力使得曲線梁的受力十分復(fù)雜。加大整個(gè)橋梁的抗扭剛度、增加橫隔板的設(shè)置，可以改善彎橋荷載的橫向分布，減小截面畸變和應(yīng)力分布的不均勻。

2 曲線梁橋受力特點(diǎn)

主梁的彎曲程度是影響彎橋受力特性的最重要因素，曲率半徑并不能全面地反映彎曲程度，能全面反映主梁彎曲程度的參數(shù)是圓心角。彎梁橋在荷載作用下的總彎矩和總剪力與同樣跨徑的直線梁橋相差不多，但曲梁的內(nèi)扭矩比直梁要大得多。曲線梁橋中間支座支承方式將直接影響到全橋的內(nèi)力分布。彎-扭耦合作用是曲線梁重要受力特點(diǎn)。

圓弧梁的坐標(biāo)系及外力如圖1所示，坐標(biāo)軸x指向圓心，y軸向下，z軸指向弧線切線前進(jìn)方向。ξ是沿x方向位移，η是沿y方向位移，ζ是z方向位移，θ是繞x軸的轉(zhuǎn)角。qx、qy、qz是作用在梁上的分布力，mx、my、mz是作用在梁上的分布力矩。

圖1 圓弧梁的坐標(biāo)系位移和外力

曲梁每個(gè)截面有6個(gè)內(nèi)力分量:軸力N，x和y方向剪力Qx和Qy，扭矩Mz，面內(nèi)彎矩Mx，面外彎矩My。取出一圓弧微段，可以建立其6個(gè)平衡方程。這6個(gè)方程中可以消去N，Qx和Qy，得到只含有彎矩、扭矩的3個(gè)平衡方程

第1個(gè)方程是面外彎矩平衡方程，此方程中內(nèi)力項(xiàng)只含有My，所以圓弧梁單元的面外彎矩是獨(dú)立的。第2個(gè)和第3個(gè)方程是面內(nèi)撓曲和扭轉(zhuǎn)兩個(gè)方向的平衡方程，兩個(gè)方程都含有內(nèi)力項(xiàng)Mx和Mz，可見曲線梁的扭矩和面內(nèi)彎矩是耦合在一起的。實(shí)際上這一效應(yīng)是由于沿著弧線坐標(biāo)前進(jìn)，坐標(biāo)系會(huì)發(fā)生繞豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，致使終點(diǎn)的Mx在起點(diǎn)的z方向上有分量，終點(diǎn)截面的Mz在起點(diǎn)的x方向上也有分量，而y軸指向不變。這就是曲線梁彎矩和扭矩相耦合的來源。

通過曲梁變形分析，可以得出圓弧梁截面軸向應(yīng)變、面內(nèi)曲率、面外曲率以及繞z軸的扭轉(zhuǎn)率與梁的位移直接的關(guān)系，這樣得到4個(gè)幾何方程［11］。

根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，對(duì)應(yīng)力在截面上進(jìn)行積分，可以得到軸力N，兩個(gè)方向的彎矩以及扭矩與截面應(yīng)變的關(guān)系。再將上述幾何方程代入，就得到了截面內(nèi)力與截面變形的方程式。這一關(guān)系式代入上述方程(1)，就得到只含梁位移的3個(gè)微分方程

上述方程推導(dǎo)中略去了翹曲扭矩。從方程(2)第1式可見，曲梁的橫向位移是獨(dú)立的。從第2和第3個(gè)方程看，撓度和扭轉(zhuǎn)位移是耦合在一起的，這是面內(nèi)彎矩和扭矩相耦合的自然結(jié)果。

由于曲線梁橋存在彎扭耦合作用，其受力特性與直梁橋截然不同。梁的彎曲自然使得荷載偏離梁兩端支座連線，這自然引起梁的扭轉(zhuǎn)(扭矩)，扭矩使得曲線外側(cè)腹板的剪力增大。同時(shí)，由于平面曲線存在，會(huì)產(chǎn)生較大的橫向彎矩。橫向彎矩引起腹板外側(cè)正應(yīng)力增大。曲線梁中預(yù)應(yīng)力和橫向分量會(huì)使得曲線內(nèi)側(cè)腹板受拉，外側(cè)受壓。因此，曲線梁橋受力分析應(yīng)主要關(guān)注由扭矩和橫向彎矩引起的截面受力變化影響因素及其趨勢。

3 曲線梁內(nèi)力分析

曲線箱梁中，扭轉(zhuǎn)效應(yīng)即截面扭轉(zhuǎn)和畸變引起的縱、橫截面上的應(yīng)力，比同樣條件的直線箱梁大很多，彎扭耦合作用明顯，扭矩往往成為控制設(shè)計(jì)的關(guān)鍵因素之一，而翹曲應(yīng)力與基本彎曲應(yīng)力和扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力相比，所占比例比較小，一般都在10%以下，在初步設(shè)計(jì)時(shí)可以不予考慮，但施工設(shè)計(jì)時(shí)需予以計(jì)算。

選取一單箱形截面、60 m單跨簡支梁，剛性橋墩，曲線半徑60 m。利用TDV有限元分析軟件，選用板單元建立空間有限元模型，如圖2所示。計(jì)算得到自重下截面應(yīng)力分布，通過對(duì)截面應(yīng)力進(jìn)行積分得到截面內(nèi)力［12］。

圖2 橋例殼單元模型

曲線梁對(duì)截面豎向軸向不對(duì)稱，左右半側(cè)箱梁的頂、底板存在分布彎矩和豎向剪力，因此左右側(cè)半截面的受力不相同。計(jì)算結(jié)果表明，內(nèi)外側(cè)半截面的彎矩分布圖形有較大差別，外側(cè)半截面的跨中彎矩小于內(nèi)側(cè)半截面;內(nèi)側(cè)半截面在支座處出現(xiàn)了較小的負(fù)彎矩區(qū)段，這是內(nèi)側(cè)支座的負(fù)反力所致，如圖3所示。曲線梁全截面剪力分布與直線梁相同，但內(nèi)外側(cè)半截面剪力分配差別就很大了，特別是在支座附近區(qū)段，內(nèi)側(cè)半截面剪力與直線梁剪力方向相反，如圖4所示。

圖3 彎矩分布

圖4 剪力分布

4 曲線梁截面應(yīng)力分布

4.1 正應(yīng)力分布

圖5給出了自重作用下3種不同曲線半徑(60，180 m和300 m)曲線梁橋頂板正應(yīng)力沿橫向分布趨勢。為便于比較，圖6給出了等跨徑的直橋頂板正應(yīng)力分布。可以看出，直線橋和曲線橋頂板正應(yīng)力分布差別較大，曲線梁橋頂板正應(yīng)力除在曲線外側(cè)腹板處出現(xiàn)極大值外，曲線內(nèi)側(cè)頂板正應(yīng)力在截面邊緣逐漸增大。

圖5 曲線梁橋頂板正應(yīng)力分布

曲線梁橋正應(yīng)力分布在曲線外側(cè)小，曲線內(nèi)側(cè)大這一現(xiàn)象是由于曲線內(nèi)外側(cè)橋梁弧線長度差異引起的，如圖7所示。

圖6 直線橋頂板正應(yīng)力分布

圖7 彎橋曲線半徑示意

假設(shè):(1)同一截面各位置處豎向撓度與梁心撓度差別不大，均取截面形心處的撓度，即

(2)截面面內(nèi)彎曲變形是繞過曲線圓心的水平中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)的。圖7中微梁段梁端相對(duì)轉(zhuǎn)角(繞徑向)是

在(x，y，z)坐標(biāo)處的軸向位移量為:ζ(x，y，z)=κ(z)y

在(x，y，z)坐標(biāo)處的應(yīng)變?yōu)?/p>

該式與直線橋的差別在于:求應(yīng)變時(shí)直線橋未變形纖維長度為Rdφ，曲線梁橋橫向x處未變形纖維長度為(R-x)dφ。把應(yīng)變式子中的系數(shù)1/(R-x)取冪級(jí)數(shù)第一項(xiàng)近似，得

當(dāng)x=0時(shí)，就退化為直線橋的應(yīng)變計(jì)算式

可見曲線梁橋橫向x位置處的正應(yīng)力要在按直線梁橋計(jì)算的應(yīng)力基礎(chǔ)上乘以一系數(shù)［1+x/R］;其中x以向曲線內(nèi)側(cè)為正。因此，曲線梁橋頂?shù)装逭龖?yīng)力均是曲線內(nèi)側(cè)大，曲線外側(cè)小。從上式也可看出，隨曲線半徑的減小，這一變化趨勢加劇。

不考慮剪力滯效應(yīng)，按照上式計(jì)算頂板應(yīng)力橫向分布圖式如圖8所示。對(duì)比圖8與圖5，可知曲線內(nèi)側(cè)正應(yīng)力增大的主要原因就在于曲線內(nèi)外側(cè)弧長不同引起的。在圖8應(yīng)力分布基礎(chǔ)上疊加剪力滯效應(yīng)后就得到圖5應(yīng)力分布。

圖8 彎橋頂板正應(yīng)力分布

綜上所述，考慮曲線梁橋頂?shù)装逭龖?yīng)力不均勻分布時(shí)應(yīng)計(jì)入兩個(gè)因素:(1)由于內(nèi)外側(cè)弧長不等引起的應(yīng)力增大系數(shù)［1+b0/R］，其中b0為頂板或底板半寬;(2)剪力滯系數(shù)，曲線橋梁可以取與直線梁橋相同的剪力滯系數(shù)。

兩種因素出現(xiàn)最大值的位置不同，不宜直接疊加，建議按如下考慮:(1)先按［1+x/R］算出腹板處和橋?qū)捵钔鈧?cè)的應(yīng)力增大系數(shù)αw，αf;(2)腹板處再考慮剪力滯后系數(shù) λ，得腹板處應(yīng)力增大系數(shù) λαw;(3)取max(λαw，αf)為總的應(yīng)力增大系數(shù)。本算例橋梁曲線半徑為60 m和180 m時(shí)，系數(shù)αf＞λαw，曲線半徑為300 m 時(shí)，λαw＞αf。

4.2 剪應(yīng)力分布

截面豎向剪應(yīng)力按兩種方法計(jì)算:(1)殼單元計(jì)算的應(yīng)力結(jié)果在全截面上積分，得到全截面上的剪力和扭矩，再按照梁單元理論，用積分得到的截面剪力和扭矩計(jì)算此點(diǎn)應(yīng)力;(2)用單個(gè)殼單元面積積分內(nèi)力除以積分面積的平均值。

橋例外、內(nèi)側(cè)腹板剪應(yīng)力(梁高度中心)見圖9和圖10。

圖9 曲線外側(cè)腹板豎向剪應(yīng)力

為便于比較，計(jì)算了同跨徑直線橋腹板同一位置剪應(yīng)力，剪應(yīng)力沿跨分布如圖11。直線橋用殼單元與梁單元算得的剪應(yīng)力差別不大，只是在支座位置處由于豎向力局部效應(yīng)，略有差別。而曲線梁腹板剪應(yīng)力的殼單元結(jié)果與梁單元結(jié)果差別較大。

曲線橋腹板豎向剪應(yīng)力分布如圖12所示，外側(cè)最大值3.56 MPa，內(nèi)側(cè)最大值1.8 MPa。

圖10 曲線內(nèi)側(cè)腹板豎向剪應(yīng)力

圖11 直橋腹板剪應(yīng)力

圖12 曲線橋腹板豎向剪應(yīng)力分布(單位:MPa)

直線橋自重下腹板剪應(yīng)力分布如圖13所示，最大值2.5 MPa，方向向上。比較曲線梁和直線梁腹板剪應(yīng)力，可知曲線梁外側(cè)腹板剪應(yīng)力由于扭矩作用而顯著增大，內(nèi)側(cè)腹板剪應(yīng)力減小。扭矩作用對(duì)腹板剪應(yīng)力分布影響很大。

圖13 直橋腹板剪應(yīng)力分布(單位:MPa)

自重作用下頂?shù)装寮魬?yīng)力分布如圖14所示，剪應(yīng)力朝向箭頭方向。截面剪力方向向上，扭矩為正(指向截面外)。

通過對(duì)曲線梁截面應(yīng)力分布狀態(tài)分析，可以得出以下結(jié)論。

圖14 曲線梁頂?shù)装逋饩壖魬?yīng)力分布(單位:MPa)

(1)曲線梁內(nèi)外側(cè)半截面的彎矩存在差異。外側(cè)半截面的跨中彎矩小于內(nèi)側(cè)半截面，這是由于曲線內(nèi)側(cè)跨度小、剛度大，因此分配到的內(nèi)力大所致。內(nèi)側(cè)半截面在支座處出現(xiàn)了較小的負(fù)彎矩區(qū)段，這是內(nèi)側(cè)支座的負(fù)反力所致。

(2)曲線梁內(nèi)外側(cè)半截面的剪力存在差異。特別是在支座附近區(qū)段，內(nèi)側(cè)半截面剪力與直線梁剪力方向相反。

(3)考慮曲線梁橋頂?shù)装逭龖?yīng)力不均勻分布時(shí)應(yīng)計(jì)入由于內(nèi)外側(cè)弧長不等引起的應(yīng)力增大系數(shù)及剪力滯系數(shù)。

(4)比較曲線梁和直線梁腹板剪應(yīng)力，曲線梁外側(cè)腹板剪應(yīng)力由于扭矩作用而顯著增大，內(nèi)側(cè)腹板剪應(yīng)力減小。

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