王小英，尹欣梅，汪 越，黃 穎，周紅梅

(中國航天科技集團公司四院四十二所，襄陽 441003)

0 引言

目前，為獲得發(fā)動機中推進劑藥柱結(jié)構(gòu)完整性分析所需的靜態(tài)力學(xué)參數(shù)，如應(yīng)力松弛模量主曲線、抗拉強度主曲線等，需通過靜態(tài)大型材料試驗機來測定，費時且成本非常高。動態(tài)力學(xué)分析所需樣品量很小，測試成本和時間均大大低于靜態(tài)試驗，因而動態(tài)力學(xué)分析在推進劑中得到廣泛應(yīng)用。為尋找動態(tài)力學(xué)與靜態(tài)之間的關(guān)系，廣大學(xué)者先后提出了一系列利用動態(tài)復(fù)模量求靜態(tài)應(yīng)力松弛模量的近似轉(zhuǎn)換公式［1］。Husband利用動態(tài)力學(xué)分析確定出發(fā)動機服役壽命和力學(xué)性能退化程度［2］。Villeneuve等用動態(tài)力學(xué)和單軸拉伸力學(xué)分析研究了2種固體推進劑在高溫(60℃)加熱老化后的貯存性能，認(rèn)為推進劑動態(tài)儲能模量和單向拉伸最大延伸率之間存在一定相關(guān)性［3］。張昊［4］曾詳細比較了兩類固體推進劑動態(tài)儲能模量主曲線與靜態(tài)應(yīng)力松弛模量和最大抗拉強度主曲線的對應(yīng)關(guān)系，認(rèn)為動、靜模量主曲線存在一常數(shù)差關(guān)系。沈庭芳［5］指出，動、靜模量主曲線應(yīng)相差關(guān)于加載時間的函數(shù)項，而非常數(shù)項。楊根［6］利用一維線性粘彈性理論中動態(tài)儲能模量與靜態(tài)應(yīng)力松弛模量的關(guān)系，導(dǎo)出了一種計算固體推進劑修正應(yīng)力松弛模量的數(shù)值方法。

綜合現(xiàn)有文獻可知，已有多種采用動態(tài)模量主曲線估算靜態(tài)應(yīng)力松弛模量的方法，但利用動態(tài)模量主曲線估算抗拉強度主曲線的文獻目前還沒有報道，而抗拉強度主曲線是判斷發(fā)動機在給定載荷作用下推進劑能否滿足結(jié)構(gòu)完整性要求的必需數(shù)據(jù)。因此，本文擬找出動態(tài)儲能模量(簡稱動態(tài)模量)主曲線、靜態(tài)應(yīng)力松弛模量(簡稱靜態(tài)松弛模量)主曲線和抗拉強度主曲線三者之間關(guān)聯(lián)，并給出由動態(tài)模量主曲線估算抗拉強度主曲線的結(jié)果。

1 靜態(tài)與動態(tài)模量關(guān)系理論分析

固體推進劑屬于典型的粘彈性材料，根據(jù)一維線性粘彈性理論，動態(tài)儲能模量與靜態(tài)松弛模量具有如下理論關(guān)系［7］:

式中 E(t)為靜態(tài)應(yīng)力松弛模量;ω為角頻率;E'(ω)為動態(tài)儲能模量;Ee為平衡模量。

測試動態(tài)模量主曲線時，實際測試頻率ω不可能達到無窮大，只能達到某個最大值ω'，因此式(2)變?yōu)?/p>

由于式(3)的無窮積分理論上是一個收斂函數(shù)，且通過DMA實測觀察多種推進劑E'(ω)·sinωt/ω函數(shù)隨頻率變化曲線，見圖1。將曲線部分放大，觀察該函數(shù)均為一逐漸衰減為零的函數(shù)，且基本上處于X軸以下，因此其與X軸圍成的面積為負值。這也說明文獻［6］依據(jù)E'(ω)曲線，通過數(shù)值積分得出有限頻率內(nèi)的結(jié)果，但其舍棄了后面部分的積分。因此，通過計算得出的靜態(tài)模量大于實際值。

由于式(3)很難積分出，因此尋求近似轉(zhuǎn)換公式。沈庭芳［5］對某推進劑擬合得出動、靜態(tài)模量之間存在以下關(guān)系:

對式(4)進行轉(zhuǎn)化，得

即動、靜態(tài)模量相差一個關(guān)于時間t(實際計算時需加入移位因子的換算)的函數(shù)。對于不同的推進劑，函數(shù)的表現(xiàn)形式和取值應(yīng)不同。

圖1 t=1 s時動態(tài)儲能模量主曲線Fig.1 Master curves of dynamic storage modulus at 1 s

2 實驗

實驗樣品為某高能固體推進劑，組成為PET/NG/TEGDN/RDX/AP/Al/TDI。

靜態(tài)力學(xué)性能采用Instron 4502材料試驗機測試;靜態(tài)松弛模量主曲線數(shù)據(jù)采集時間為2～1 000 s，測試溫度為－40～50℃;抗拉強度主曲線測試為恒溫、恒速拉伸，測試溫度為－60～70℃，拉伸速率為0.5～500 mm/min。

動態(tài)力學(xué)性能采用DMA2980動態(tài)熱力學(xué)分析儀測試，振動模式為強迫非共振，振幅15 μm，形變模式為單懸臂梁彎曲，樣品尺寸為3 mm×10 mm×30 mm，質(zhì)量約2 g，恒溫頻率掃描，溫度范圍－50～65℃，頻率1～16 Hz。

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 動態(tài)儲能模量與靜態(tài)松弛模量主曲線的關(guān)系

將動態(tài)儲能模量與靜態(tài)松弛模量主曲線放入同一坐標(biāo)系中進行比較，見圖2(左y軸、下x軸為動態(tài)模量坐標(biāo)，右y軸、上x軸為靜態(tài)松弛模量坐標(biāo))。由圖2可見，動、靜模量差異并非一常數(shù)。將兩者之差重新作圖，如圖3所示。由圖3可見，2條模量主曲線隨著頻率的增加初始增加較快，后期變化很小。將其進行曲線擬合，得 lgE'(ω)－ lgE(t)=0.48 －0.13 ×0.5lgt，作為一般情況，則

由式(6)可見，隨著時間t的增加，關(guān)于時間t的函數(shù)部分接近于0。因此，粗略計算時，動、靜模量主曲線主要相差一個常數(shù)，同時說明文獻［4］即是不考慮時間因素時的結(jié)果。

圖2 動態(tài)儲能模量、應(yīng)力松弛模量主曲線Fig.2 Master curves of dynamic storage modulus and static relaxation modulus

圖3 動態(tài)儲能模量、應(yīng)力松弛模量主曲線差值隨時間變化Fig.3 Diversity of dynamic and static modulusmaster curves against time

依據(jù)動態(tài)下相應(yīng)頻率對應(yīng)的儲能模量值和式(6)擬合應(yīng)力松弛模量，擬合值與實際測試結(jié)果對比見圖4。由圖4可看出，由動態(tài)模量主曲線擬合出的靜態(tài)松弛主曲線基本一致。該結(jié)果進一步驗證說明動、靜模量差異并非為常數(shù)值，而是關(guān)于時間t的函數(shù)。

圖4 動態(tài)模量主曲線擬合靜態(tài)松弛主曲線Fig.4 Utilize dynamic modulus master curves simulate static master curves

同時，對比了動態(tài)與靜態(tài)水平位移因子αT，結(jié)果見圖5。由圖5可看出，動態(tài)儲能模量和應(yīng)力松弛模量的αT值非常接近，說明同一溫度下靜態(tài)測試時間和動態(tài)測試頻率值基本相當(dāng)，且動態(tài)和靜態(tài)力學(xué)性能應(yīng)存在一定關(guān)聯(lián)。

圖5 不同溫度下的水平位移因子αT比較Fig.5 Comparison of horizontal shift factor αTin differente temperatures

3.2 抗拉強度的計算

高能固體推進劑是顆粒填充粘彈性材料，初始存在很多空洞和缺陷。因此，應(yīng)用適合該類材料的Griffith方程，建立材料抗拉強度與模量、裂紋的關(guān)系式:

式中 γ為材料表面能;c為裂紋半徑;E為彈性模量。

對同一推進劑配方，γ與c基本相同，因此σ∝E1/2，故推進劑在不同溫度、拉速下的抗拉強度之比應(yīng)和相應(yīng)的模量(時間t函數(shù))均方根比相對應(yīng)。由于材料的模量和強度均與環(huán)境溫度有關(guān)，因此抗拉強度需乘以溫度折算量 Ts/T［8］，故得

將式(6)代入式(8)，得

式(9)表示，在一定溫度范圍內(nèi)，若已知推進劑在某一參考溫度Ts下的動態(tài)力學(xué)性能和某一加載速率下的強度σ，由式(9)可計算其再任意溫度和加載速率下的抗拉強度，從而作出抗拉強度主曲線圖。具體計算方法和步驟:

(1)首先給出某推進劑樣品動、靜模量主曲線，得出兩者關(guān)系，即求 a、b、c的值，粗略計算也可只求 a值，關(guān)于t的函數(shù)值為0。

(2)根據(jù)拉伸速度v，求頻率ω。根據(jù)圖5，可假設(shè)試樣動態(tài)角頻率ω與相應(yīng)溫度下的試樣靜態(tài)拉伸時的應(yīng)變速率R相等，則R=v/l，式中l(wèi)為試樣長度，再加上動態(tài)水平位移因子即可。

(3)根據(jù)角頻率，從動態(tài)儲能模量主曲線中求出參考溫度下lgE'(ω1)值。

(4)將lgE'(ω1)及相應(yīng)參數(shù)值代入式(9)，求出推進劑在任意溫度和拉伸速度下的強度值。

(5)以強度對數(shù)值為縱坐標(biāo)，頻率對數(shù)值為橫坐標(biāo)，作出主曲線圖。

算例:已知某高能固體推進劑20℃、100 mm/min的拉速下強度為0.82 MPa，根據(jù)公式估算出其在各個不同溫度不同拉伸速率下強度值(限于篇幅，只列出0℃不同拉速下的擬合值，主曲線要求的應(yīng)力乘以溫度折算量的結(jié)果也同時列出，見表1)，最終主曲線結(jié)果見圖6。

表1 利用推進劑動態(tài)模量主曲線擬合0℃不同拉伸速度下應(yīng)力值Table 1 Unitilize dynamic modulus master curves simulate static master curves of different pull speeds under 0℃

圖6 利用動態(tài)模量主曲線擬合抗拉強度主曲線Fig.6 Utilize dynamic modulus master curves simulate tensile strength master curves

本例中動態(tài)主曲線測試頻率最低為0.2 rad/s，測試溫度范圍也小于抗拉強度主曲線的測試。因此，利用動態(tài)模量擬合得出的抗拉強度主曲線值域范圍小于實測值，但在測試范圍內(nèi)擬合值和實測值基本相同。

3.3 抗拉強度主曲線的應(yīng)用

由動態(tài)模量主曲線估算出的抗拉強度主曲線，不僅可用于常規(guī)力學(xué)結(jié)構(gòu)完整性分析，還可用于發(fā)動機點火階段完整性評估。眾所周知，發(fā)動機在點火過程中內(nèi)部壓強迅速升高，推進劑藥柱將受到較大沖擊力，相當(dāng)于受極快速拉伸載荷(一般大于10 000 mm/min)。在該條件下，推進劑的準(zhǔn)靜態(tài)快速拉伸試驗?zāi)壳笆菬o法完成的，此時即可借助于動態(tài)測試法。因為動態(tài)主曲線是一條頻率譜，因此可得到寬頻率范圍的動態(tài)性能。

根據(jù)動態(tài)性能與靜態(tài)抗拉強度主曲線的對應(yīng)關(guān)系，即可確定出藥柱是否具備承受點火高頻沖擊的力學(xué)性能。例如，某固體推進劑在低溫－40℃下點火，點火時間為0.1 s，則相當(dāng)于點火瞬間應(yīng)變頻率為10 Hz。根據(jù)該頻率值，由圖6可得此時推進劑抗拉強度對數(shù)值為0.58 MPa(去掉對數(shù)為3.8 MPa)，若發(fā)動機藥柱完整性理論計算結(jié)果低于該值，則推進劑藥柱滿足結(jié)構(gòu)完整性要求;反之，發(fā)生破壞。

另外，從服役發(fā)動機中僅取少許樣品測試動態(tài)模量主曲線，根據(jù)動態(tài)模量主曲線估算出抗拉強度主曲線，還可用于考察推進劑藥柱綜合老化性能。

4 結(jié)論

(1)通過理論分析，動態(tài)和應(yīng)力松弛模量主曲線應(yīng)存在一定的關(guān)系，通過實驗驗證，得出動態(tài)儲能模量與應(yīng)力松弛模量相差一個關(guān)于時間的函數(shù)。對于不同的推進劑，函數(shù)的表現(xiàn)形式和取值不同。

(2)依據(jù)某高能固體推進劑動、靜模量主曲線關(guān)系，由動態(tài)模量主曲線擬合出靜態(tài)模量主曲線，并與實測值比較，結(jié)果較接近，說明所建函數(shù)關(guān)系有效。

(4)利用動態(tài)模量主曲線計算出的抗拉強度主曲線，可方便確定出推進劑藥柱是否具備承受點火沖擊的力學(xué)性能，以滿足結(jié)構(gòu)完整性要求。

［1］趙伯華，沈庭芳，沈月萍.動態(tài)力學(xué)實驗診斷應(yīng)力松弛模量的研究［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報，1995，15(3):339-343.

［2］Husband D M.Use of dynamic mechanical measurements to determine the aging behavior of solid propellant［J］.Propellants，Explosives，Pyrotechnics，1992，17:196-201.

［3］Villeneuve S，Lessard P.Correlation of tensile and dynamic mechanical analysis results in ageing studies of rocket propellants［C］//25 th ICT，Karlsruhe，1994.

［4］張昊，龐愛民，彭松.固體推進劑貯存壽命非破壞性評估方法(II)——動態(tài)力學(xué)性能主曲線監(jiān)測法［J］.固體火箭技術(shù)，2006，29(3):190-194.

［5］沈庭芳，高鳴，趙伯華.應(yīng)力松弛模量與復(fù)模量轉(zhuǎn)換計算的工程方法［J］.兵工學(xué)報，1995(3):40-44.

［6］楊根，彭松，張峰濤，等.固體推進劑動態(tài)儲能模量主曲線計算應(yīng)力松弛模量研究.推進技術(shù)，2010，31(5):581-586.

［7］楊挺青，羅文波，徐平，等.黏彈性理論與應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.

［8］焦劍，雷渭媛.高聚物結(jié)構(gòu)、性能與測試［M］.化學(xué)工業(yè)出版社，2003.