張 峰，何新黨，南 華，姚會(huì)舉

(西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，飛行器可靠性工程研究所，西安 710129)

0 引言

吊掛是導(dǎo)彈與飛機(jī)的連接部件，主要承受導(dǎo)彈的重力作用，與導(dǎo)彈固連在一起。發(fā)射時(shí)，導(dǎo)彈與吊掛作為整體離開(kāi)滑軌，因此吊掛結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和壽命對(duì)導(dǎo)彈的順利發(fā)射和飛機(jī)的安全有著重要的影響，開(kāi)展吊掛結(jié)構(gòu)壽命可靠性分析，能有力地保證導(dǎo)彈完成任務(wù)的成功率［1］。影響吊掛結(jié)構(gòu)壽命可靠性的因素主要有2個(gè)方面:(1)導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)制造、裝配的誤差導(dǎo)致結(jié)構(gòu)尺寸具有隨機(jī)不確定性，這些因素的不確定性最終傳遞給結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，導(dǎo)致疲勞壽命也是隨機(jī)變量［2］;(2)結(jié)構(gòu)疲勞壽命失效的不確定性。在傳統(tǒng)的概率可靠性分析中，采用“一刀切”的方式來(lái)劃定結(jié)構(gòu)是否失效［3］;而在實(shí)際情況中，吊掛結(jié)構(gòu)的壽命失效是個(gè)漸變過(guò)程，“一刀切”的分析方式忽略了壽命失效的漸變特性［4－6］。因此，需考慮失效模式的模糊性對(duì)結(jié)構(gòu)疲勞壽命的影響，才能較合理地評(píng)估吊掛結(jié)構(gòu)的安全程度。失效模式的模糊性采用隸屬函數(shù)來(lái)描述，在較少信息下，可依據(jù)專家經(jīng)驗(yàn)給出失效模式隸屬函數(shù)的描述形式。

綜合上述因素，本文在導(dǎo)彈結(jié)構(gòu)可靠性分析時(shí)，同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)尺寸的隨機(jī)性和疲勞壽命失效模式的模糊性，建立疲勞壽命分析的廣義可靠性模型，來(lái)更合理地評(píng)估導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)的安全程度［5］。

在吊掛結(jié)構(gòu)廣義可靠性分析模型中，由于吊掛結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以直接建立其疲勞壽命與尺寸隨機(jī)變量的顯式表達(dá)關(guān)系式，需要通過(guò)有限元分析才能得到結(jié)構(gòu)疲勞壽命的響應(yīng)。對(duì)于這種通過(guò)隱式限狀態(tài)方程進(jìn)行描述的結(jié)構(gòu)，傳統(tǒng)的一次可靠性方法和二次可靠性方法估算誤差較大，直接使用Monte Carlo等數(shù)字模擬方法需要多次調(diào)用有限元而導(dǎo)致計(jì)算量過(guò)大，限制了數(shù)字模擬方法的直接使用。在此情況下，響應(yīng)面法被推薦使用，其采用響應(yīng)面函數(shù)來(lái)構(gòu)造隱式極限狀態(tài)方程的近似顯式表達(dá)式［7－9］。研究表明，如果響應(yīng)面函數(shù)能很好地近似實(shí)際的隱式極限狀態(tài)方程，它可得到精度相當(dāng)高的失效概率估計(jì)值［9］。綜上所述，本文在導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)靜力學(xué)和疲勞壽命分析的基礎(chǔ)上，采用二次響應(yīng)面法，建立結(jié)構(gòu)疲勞壽命的函數(shù)關(guān)系式，并結(jié)合重要抽樣法，來(lái)求解吊掛結(jié)構(gòu)的廣義可靠性。

1 吊掛結(jié)構(gòu)疲勞壽命分析

某型導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)的二維裝配模型如圖1所示，幾何模型見(jiàn)圖 2［2］。

圖1 吊掛與滑軌結(jié)構(gòu)裝配圖Fig.1 Assembly drawing of missile suspension and rail

圖2 吊掛結(jié)構(gòu)幾何模型圖Fig.2 Diagram of missile suspension geometry model

圖2中，參數(shù) l1、l2、l3、l4分別為導(dǎo)彈吊掛的寬度、吊掛結(jié)構(gòu)與導(dǎo)軌接觸處的厚度、導(dǎo)彈吊掛的倒角尺寸和加載力臂長(zhǎng)度。吊掛結(jié)構(gòu)為鋁合金材料，參數(shù)如表1所示。

表1 導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)材料參數(shù)Table 1 Material property of suspension structure

在吊掛結(jié)構(gòu)的三維幾何模型的基礎(chǔ)上，采用Hex六面體單元對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分，可得到如圖3所示的有限元模型。在有限元模型中，通過(guò)多點(diǎn)約束MPC建立吊掛結(jié)構(gòu)與導(dǎo)彈之間的固連關(guān)系，將導(dǎo)彈施加給吊掛結(jié)構(gòu)的集中載荷均勻地分配到吊掛與導(dǎo)彈的接觸表面。

圖3 吊掛結(jié)構(gòu)的有限元分析模型Fig.3 FEM of missile suspension structure

通過(guò)有限元分析發(fā)現(xiàn)，吊掛結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力出現(xiàn)在耳片倒角處，最大應(yīng)力σmax=302 MPa，吊掛結(jié)構(gòu)材料的屈服強(qiáng)度為σs=460 MPa，滿足安全系數(shù)為1.5的靜強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求。

采用名義應(yīng)力法，對(duì)導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)進(jìn)行壽命分析，考慮應(yīng)力集中、尺寸效應(yīng)和吊掛表面質(zhì)量及加載方式等因素對(duì)結(jié)構(gòu)壽命的影響，并通過(guò)材料的S-N曲線建立吊掛結(jié)構(gòu)的S-N曲線。吊掛結(jié)構(gòu)S-N曲線的應(yīng)力Sa可表示為

式中 σa為材料的S-N曲線的應(yīng)力;Kf為疲勞缺口系數(shù);ε為尺寸系數(shù);β為表面質(zhì)量系數(shù);CL為加載方式。

由于外載荷的平均應(yīng)力，還須采用Goodman公式對(duì)平均應(yīng)力進(jìn)行修正，修正公式如式(2)所示:

采用名義應(yīng)力方法并結(jié)合有限元分析，得到吊掛結(jié)構(gòu)的壽命云圖，如圖4所示。

從圖4可看出，耳片倒角處是吊掛疲勞壽命的薄弱部位，最低的使用壽命為367 000次，結(jié)構(gòu)滿足壽命要求。

2 基于二次響應(yīng)面的吊掛結(jié)構(gòu)疲勞壽命分析

由于制造裝配等原因，吊掛寬度l1、吊掛結(jié)構(gòu)與導(dǎo)軌接觸處厚度l2、導(dǎo)彈吊掛倒角尺寸l3和加載力臂長(zhǎng)度l4等參數(shù)具有隨機(jī)不確定性，是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。結(jié)構(gòu)尺寸的不確定性最終傳遞給吊掛結(jié)構(gòu)的壽命，導(dǎo)致吊掛結(jié)構(gòu)的壽命 S(l1，l2，l3，l4)也是隨機(jī)變量。假設(shè)吊掛結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)壽命是S*，根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型，建立吊掛結(jié)構(gòu)基于疲勞壽命失效的功能函數(shù)，如式(3)所示:

圖4 吊掛結(jié)構(gòu)的疲勞壽命云圖Fig.4 Diagram of life distribution on missile suspension structure

結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程g=0，將變量空間劃分為兩個(gè)區(qū)域。當(dāng) g=S(l1，l2，l3，l4)－S*＞0，結(jié)構(gòu)安全;當(dāng) g=S(l1，l2，l3，l4)－S*＜0，結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞壽命的失效。

在式(3)中，響應(yīng)量 g 是(l1，l2，l3，l4)的隱函數(shù)，是有限元模型在輸入?yún)?shù)為(l1，l2，l3，l4)進(jìn)行疲勞壽命分析的結(jié)果。在吊掛結(jié)構(gòu)可靠性分析中，采用響應(yīng)面法模擬響應(yīng)量g與吊掛結(jié)構(gòu)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，即選取不含交叉項(xiàng)的二次響應(yīng)面(l)來(lái)擬合功能函數(shù)g(l)的形式如式(4)所示。

式中 a0、(b1，b2，b3，b4)、(c1，c2，c3，c4)為 9 個(gè)待定系數(shù)。

求解二次響應(yīng)面的系數(shù)是構(gòu)造可靠性模型功能函數(shù)的關(guān)鍵，其計(jì)算流程如下:

(1)采用Bucher設(shè)計(jì)方法選取實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。在第k次迭代中，以為取樣中心，選取9個(gè)實(shí)驗(yàn)點(diǎn)。獲得的試驗(yàn)點(diǎn)為4)。第1次迭代的實(shí)驗(yàn)中心l*(1)選為均值點(diǎn)處，即l*(1)=μl={μ1，μ2，…，μ4}。其中，μi(i=1，2，3，4)為基本隨機(jī)變量li的均值，σi為基本隨機(jī)變量li的標(biāo)準(zhǔn)差，fi為插值系數(shù)，取為1～3之間的常數(shù)，上標(biāo)(k)表示響應(yīng)面法的第k次迭代。

(2)通過(guò)最小二乘法求解得到第k次迭代時(shí)的二次響應(yīng)面的系數(shù)，記為，得到極限狀態(tài)方程，再通過(guò)改進(jìn)一次二階矩法，求解近似極限狀態(tài)方程g—(k)(l)的可靠性指標(biāo)β(k)和設(shè)計(jì)點(diǎn)

(3)利用樣本點(diǎn)(μl，g(μl))及進(jìn)行線性插值求解g(l*(k+1))=0的解l*(k+1))，l*(k+1))即為下一次迭代的抽樣中心，l*(k+1))的求解如下:

(4)反復(fù)執(zhí)行(1)～(3)步，直到2次求得的可靠度指標(biāo)滿足精度要求結(jié)束迭代過(guò)程，最終獲得滿足精度要求的近似功能函數(shù)

3 吊掛結(jié)構(gòu)疲勞壽命廣義可靠性分析

3.1 疲勞壽命廣義可靠性分析模型

影響吊掛結(jié)構(gòu)壽命可靠性的因素包括2個(gè)方面，第2章僅考慮了尺寸的隨機(jī)不確定性，還需要考慮結(jié)構(gòu)壽命失效模式的影響，通過(guò)引入隸屬函數(shù)u來(lái)刻畫(huà)失效模式的模糊性。對(duì)于通過(guò)二次響應(yīng)面擬合得到的近似功能函數(shù)，設(shè)其隸屬函數(shù)為，則吊掛結(jié)構(gòu)疲勞壽命廣義可靠性的失效概率Pf可寫(xiě)為

式中 fl(l)為尺寸參數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

其中，b1、b2為隸屬函數(shù)參數(shù)，可通過(guò)專家經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得出。

(1)半線性型隸屬函數(shù)

(2)半正態(tài)型隸屬函數(shù)

(3)半柯西型隸屬函數(shù)

圖5 模糊失效域的隸屬函數(shù)示意圖Fig.5 Diagram of fuzzy failure membership function

3.2 基于Monte Carlo法的廣義可靠性分析

采用蒙特卡洛法來(lái)計(jì)算式(6)所示的廣義失效概率是通過(guò)聯(lián)合概率密度函數(shù)fl(l)來(lái)抽取樣本，并利用樣本來(lái)估算廣義失效概率的估計(jì)值，估算公式如式(10)所示:

式中 lj為以聯(lián)合概率密度函數(shù)fl(l)抽取的第j個(gè)樣本;N為抽取樣本數(shù)。

3.3 基于重要抽樣法的廣義可靠性分析

針對(duì)直接蒙特卡洛法計(jì)算工作量巨大的這一問(wèn)題，研究人員提出了許多縮減方差、加快收斂速度的改進(jìn)方法［10－13］。在這些改進(jìn)方法中，以重要抽樣法研究最為廣泛［10］。在式(6)中引入重要抽樣函數(shù)hl(l)，則廣義失效概率Pf的計(jì)算公式改寫(xiě)為

其中，重要抽樣函數(shù)hl(l)滿足

設(shè)lj(j=1，2，…，N)為來(lái)源于重要抽樣函數(shù)hl(l)的樣本，則失效概率Pf的無(wú)偏估計(jì)值、估計(jì)值的樣本方差和變異系數(shù)可分別表示為式(14)～式(16)。

3.4 吊掛結(jié)構(gòu)疲勞壽命廣義可靠性分析與討論

對(duì)導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞壽命廣義可靠性分析，選取導(dǎo)彈疲勞壽命失效的如式(9)所示的半正態(tài)型隸屬函數(shù)。參數(shù)m1=0，m2=45，分別采用Monte Carlo法和重要抽樣法，求解吊掛結(jié)構(gòu)疲勞壽命廣義可靠性，失效概率的估算結(jié)果如表2所示。

表2 2種計(jì)算方法結(jié)果比較Table 2 The compare of two method analysis results

從表2可看出，以Monte Carlo法取樣106個(gè)樣本的計(jì)算結(jié)果為精確值，重要抽樣法抽取104量級(jí)的樣本數(shù)就可估算得到失效概率，估計(jì)值的相對(duì)誤差小于1%，滿足精度要求，計(jì)算量不到 Monte Carlo法的1/30。這說(shuō)明重要抽樣法適用于吊掛結(jié)構(gòu)疲勞壽命的廣義可靠性分析。

再采用重要抽樣法分析吊掛結(jié)構(gòu)疲勞壽命失效“一刀切”和“漸變”2種方式下的可靠性?？紤]失效形式的模糊性，仍選擇半正態(tài)型的隸屬函數(shù)來(lái)刻畫(huà)失效模式的不確定性，參數(shù)m1=0，參數(shù)m2取8組不同值，結(jié)構(gòu)失效概率估算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 吊掛結(jié)構(gòu)疲勞可靠性分析結(jié)果Table 3 The results of reliability analysis for missile suspension structure

從表3可看出，隨著m2的增加廣義失效概率逐漸增大。m2=80時(shí)的評(píng)估結(jié)果與不考慮結(jié)構(gòu)失效的模糊性的分析結(jié)果相比，失效概率的相對(duì)變化達(dá)到31.772 8%。因此，采用模糊理論考慮壽命失效的漸變過(guò)程，才能更合理地評(píng)估吊掛結(jié)構(gòu)的可靠性。

4 結(jié)論

通過(guò)有限元分析發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)彈吊掛結(jié)構(gòu)最危險(xiǎn)部位是倒角部位，在靜力學(xué)和疲勞壽命分析的基礎(chǔ)上，建立考慮壽命失效漸變過(guò)程的廣義可靠性模型，通過(guò)二次響應(yīng)面法模擬其功能函數(shù)，采用半正態(tài)隸屬函數(shù)來(lái)描述結(jié)構(gòu)狀態(tài)失效的漸變過(guò)程，再結(jié)合重要抽樣法來(lái)求解吊掛結(jié)構(gòu)的廣義可靠性。算例分析顯示，基于響應(yīng)面法的重要抽樣法能很好地解決結(jié)構(gòu)疲勞壽命可靠性問(wèn)題。同時(shí)，本文采用模糊隸屬函數(shù)考慮結(jié)構(gòu)失效的漸變過(guò)程，可更合理地評(píng)估結(jié)構(gòu)的安全程度。

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