左衛(wèi)廣，王永學(xué)

（大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116024）

沉管法是當(dāng)前海底隧道建造施工的新方式，而沉管管段的安全沉放是沉管隧道施工的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。駁船吊掛沉放法作為一種常用的沉放方式，其沉管管段的運(yùn)動(dòng)特性是波浪直接引起的沉管管段運(yùn)動(dòng)與波浪作用下駁船施工裝備的運(yùn)動(dòng)間接引起的沉管管段運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)。駁船升沉運(yùn)動(dòng)和波浪聯(lián)合作用下的沉管管段的沉放運(yùn)動(dòng)特性是一個(gè)十分復(fù)雜的水動(dòng)力學(xué)問題。

目前國內(nèi)外關(guān)于沉管管段的沉放運(yùn)動(dòng)特性研究工作大都是忽略了駁船運(yùn)動(dòng)的影響。詹德新［1］試驗(yàn)研究了沉管沉放過程中的流體作用力和纜繩纜力，考慮了流速和波高等環(huán)境因素的影響，并分析了壓載水對(duì)沉管沉放穩(wěn)定性的影響。Jensen［2］等建立了施工海域的波浪模型，分析了沉管的沉放運(yùn)動(dòng)特性，研究了近海波況對(duì)沉管隧道施工沉放的影響。陳智杰［3］對(duì)沉管管段在固定深度下的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究，并采用邊界元方法對(duì)沉管管段沉放運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了時(shí)域數(shù)值模擬，數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較，吻合良好。

實(shí)際工程中，當(dāng)沉管管段進(jìn)行沉放施工時(shí)，沉管管段不僅受到波浪和水流的作用，還受到海上駁船運(yùn)動(dòng)的影響。駁船在波浪和水流作用下的運(yùn)動(dòng)，通過纜繩的傳遞將會(huì)對(duì)沉管運(yùn)動(dòng)有很大影響。本文主要研究駁船升沉運(yùn)動(dòng)和波浪聯(lián)合作用對(duì)沉管管段運(yùn)動(dòng)特性的影響。建立了駁船升沉運(yùn)動(dòng)和波浪聯(lián)合作用下沉管管段運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)值算例分析，探討了駁船做不同振幅與不同相位升沉運(yùn)動(dòng)情形下的沉管管段運(yùn)動(dòng)特性。

1 波浪作用下沉管運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

駁船吊掛沉放法進(jìn)行沉管管段沉放作業(yè)的示意圖見圖1。在圖1 中，引入2 個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)：參考坐標(biāo)系O0-x0y0z0和動(dòng)坐標(biāo)系O-xyz。坐標(biāo)平面O0-x0y0z0位于靜水面，x0軸為沿沉管的長度方向，z0軸為垂直水面向上；坐標(biāo)系O-xyz 與管段固結(jié)，隨管段一起搖蕩，x 軸為沿管段的長度方向。當(dāng)管段處于平衡位置時(shí)，動(dòng)坐標(biāo)系Oxyz 和參考坐標(biāo)系O0-x0y0z0是重合的。參考坐標(biāo)系是表征沉管管段搖蕩位移和姿態(tài)的基準(zhǔn)，當(dāng)管段由于外力的作用產(chǎn)生偏移時(shí)，偏移量由動(dòng)坐標(biāo)系相對(duì)于參考坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)來描述。

圖1 所示的沉管管段的運(yùn)動(dòng)可以看作是兩部分運(yùn)動(dòng)的合成，一部分是忽略駁船運(yùn)動(dòng)情形（假定吊纜上端點(diǎn)為固定情形）下波浪作用引起的沉管管段運(yùn)動(dòng)；另一部分是由駁船運(yùn)動(dòng)引起的沉管管段運(yùn)動(dòng)。

圖1 沉管管段示意圖Fig.1 Sketch of immersing tunnel element

本文采用直接時(shí)域法求解波浪作用引起的沉管管段運(yùn)動(dòng)?；趧萘骼碚摚鲌龅乃俣葎轁M足Laplace 方程的定解問題。應(yīng)用格林定理建立時(shí)域內(nèi)的積分方程，使用邊界元方法（Hess 和Smith［4］；Garrison［5］；Liu 等［6］；Teng 和Eatock Taylor［7］）數(shù)值求解時(shí)域內(nèi)的積分方程得到速度勢后，可計(jì)算出沉管管段所受到的波浪力，求解沉管管段的運(yùn)動(dòng)方程得到波浪作用引起的沉管管段運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。

1.1 流場控制方程

流場內(nèi)，速度勢φ 滿足Laplace 方程

式中：A 為波幅；β 為浪向角；g 為重力加速度；h 為水深；k 為波數(shù)；ω 為入射波的頻率；t 為時(shí)間；φm為φ，φI或φS中的任何一個(gè)；p 為流場中點(diǎn)的位置矢量；n 為物體表面的法向量，物面向外為正；Vn為物體表面上的法向速度。

1.2 速度勢求解

本文采用格林函數(shù)法來處理速度勢的求解問題。有限水深條件下時(shí)域格林函數(shù)可以表達(dá)成以下兩式之和的形式［8－9］

G0和Gf分別稱為瞬時(shí)項(xiàng)和記憶項(xiàng)，其定義為

式中：τ 為時(shí)間；p（x，y，z）和q（ξ，η，ζ）分別為場點(diǎn)和源點(diǎn)矢量；J0為零階貝塞爾函數(shù)；r 為場點(diǎn)和源點(diǎn)的距離；R 為場點(diǎn)和源點(diǎn)的水平距離；r2為場點(diǎn)和源點(diǎn)關(guān)于水底面鏡像的距離。

對(duì)速度勢的初邊值問題應(yīng)用格林定理，考慮線性問題，物面邊界用平均邊界SB代替SB（τ），經(jīng)過推導(dǎo)可得到在自由面SF（τ）、物面SB、海底邊界SD和無窮遠(yuǎn)邊界S∞組成的流體域Ω 內(nèi)的時(shí)域內(nèi)積分方程

應(yīng)用邊界元方法，數(shù)值求解時(shí)域內(nèi)積分方程（10），可得到流場速度勢φS。

1.3 荷載計(jì)算

沉管在沉放過程中，受到波浪力和纜繩纜力的共同作用。

波浪力可表示為

式中：ρ 為流體密度；速度勢φ 包括入射勢φI和散射勢φS。

纜繩纜力可表示為

式中：T 為纜繩張力；Ce 為纜繩彈性系數(shù)；d 為纜繩直徑；ΔS 為纜繩變形長度；S 為纜繩原始長度；n 為指數(shù)。

當(dāng)纜繩為鋼纜時(shí)，n＝3/2。

1.4 沉管運(yùn)動(dòng)方程

沉管運(yùn)動(dòng)方程可寫為如下形式

式中：Fk為總的廣義水動(dòng)力荷載分量；Gk為纜繩沉放系統(tǒng)對(duì)沉管施加的外部作用力和力矩；M 為質(zhì)量矩陣；B為系統(tǒng)阻尼矩陣；C 為恢復(fù)力矩陣，由于沉管位于水面以下，故靜恢復(fù)力為0；ξj為第j 個(gè)模態(tài)下沉管管段的響應(yīng)幅值，j=1～6 分別為沉管的縱蕩、橫蕩、升沉、橫搖、縱搖和回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

沉管運(yùn)動(dòng)方程式可表示為如下的二階微分方程形式

應(yīng)用四階Runge-Kutta 方法求解式（14），可得到沉管管段的位移和速度表達(dá)為

式中：M1、M2、M3和M4分別為

2 考慮駁船升沉運(yùn)動(dòng)情形下沉管運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

假定駁船在升沉方向做強(qiáng)迫簡諧運(yùn)動(dòng)，其升沉運(yùn)動(dòng)方程采用如下表達(dá)式

式中：b 為駁船做升沉運(yùn)動(dòng)的振幅；ω 為入射波頻率；θ 為駁船運(yùn)動(dòng)與波浪之間的相位差；tm為緩沖周期。

在t 時(shí)刻，駁船的位置為z（t），同時(shí)考慮波浪作用與駁船升沉運(yùn)動(dòng)影響的沉管位置為ξj（t）（j=1，2，3，4，5，6）。在t+Δt 時(shí)刻，首先考慮駁船升沉運(yùn)動(dòng)對(duì)沉管位置的改變。駁船在t+Δt 時(shí)刻的位置z（t+Δt），相對(duì)于t 時(shí)刻的瞬時(shí)位置變化為

在僅考慮駁船升沉運(yùn)動(dòng)對(duì)沉管運(yùn)動(dòng)的影響時(shí)，認(rèn)為駁船做升沉運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)纜繩長度不發(fā)生變化，即沉管升沉方向與駁船具有相同的位移變化。在t+Δt 時(shí)刻，僅考慮駁船升沉運(yùn)動(dòng)影響時(shí)沉管瞬時(shí)位置ξzj（t+Δt）為

駁船的升沉運(yùn)動(dòng)使得沉管位置由ξj（t）變成ξzj（t+Δt），沉管受到的波浪力也發(fā)生變化。數(shù)值求解對(duì)應(yīng)于沉管位置ξzj（t+Δt）的速度勢φS，帶入波浪力公式（12），可得到沉管在位置ξzj（t+Δt）所受到的波浪力Fk′。然后分別用ξzj（t+Δt）和Fk′代替公式（16）中的ξj（t）和Fk（t），即可得到t+Δt 時(shí)刻考慮波浪作用與駁船升沉運(yùn)動(dòng)共同影響的沉管位置ξj（t+Δt）。

3 算例計(jì)算及分析

數(shù)值計(jì)算中取沉管尺寸的長×寬×高為100 m×15 m×10 m，沉放深度h 為8 m，水深H 為40 m。入射波為正向規(guī)則波，周期T 為5 s，波高為1.0 m。纜繩為鋼纜，直徑為0.3 m，纜繩彈性系數(shù)為2.75×106kg/cm2。駁船升沉運(yùn)動(dòng)的振幅與相位取值見表1。

表1 計(jì)算工況Tab.1 Calculated condition

首先對(duì)忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了計(jì)算。圖2 給出了忽略駁船升沉運(yùn)動(dòng)情形下沉管升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)間過程線與入射波浪的時(shí)間過程線的比較，時(shí)間段取100～110 s（20～22 T）。圖中實(shí)線為忽略駁船運(yùn)動(dòng)情形下沉管升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)間過程線，虛線為波浪的時(shí)間過程線。由圖2 可見，忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管升沉運(yùn)動(dòng)幅值約為0.1 m，沉管升沉運(yùn)動(dòng)過程線與入射波浪過程線相比，兩者之間存在較大的相位差，相位差約為π/2。

圖2 忽略駁船運(yùn)動(dòng)情形的沉管升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)間過程線（H=1.0 m，T=5 s）Fig.2 Time history of waves and heave motion of tunnel element without barge motion（H=1.0 m，T=5 s）

圖3 不同相位情形下駁船升沉運(yùn)動(dòng)過程線（b=0.3 m）Fig.3 Time history of barge heave motion under different phases（b=0.3 m）

參照表1 給出的計(jì)算工況，對(duì)同時(shí)考慮波浪作用與駁船升沉運(yùn)動(dòng)影響的沉管運(yùn)動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算與分析。圖3 是駁船升沉運(yùn)動(dòng)振幅為0.3 m、駁船運(yùn)動(dòng)與波浪相位差分別取-π/2，-π/5，0，+π/5 和+π/2 情形的駁船升沉運(yùn)動(dòng)歷時(shí)過程線，時(shí)間段為100～110 s（20～22 T））。由圖3 與圖2 可見，當(dāng)駁船升沉運(yùn)動(dòng)與入射波浪之間的相位θ=-π/2 時(shí)，駁船升沉運(yùn)動(dòng)與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管升沉運(yùn)動(dòng)之間的相位差為0；當(dāng)駁船升沉運(yùn)動(dòng)與入射波浪之間的相位θ=π/2 時(shí)，駁船升沉運(yùn)動(dòng)與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管升沉運(yùn)動(dòng)之間的相位差為π。

圖4 是駁船升沉運(yùn)動(dòng)振幅為0.3 m、相位分別為-π/2，0 和+π/2 情形，考慮波浪作用和駁船升沉運(yùn)動(dòng)共同影響的沉管運(yùn)動(dòng)響應(yīng)分量與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管運(yùn)動(dòng)響應(yīng)分量的比較。圖中heave 表示沉管升沉方向運(yùn)動(dòng)，sway 表示沉管橫蕩方向運(yùn)動(dòng)，roll 表示沉管縱搖方向運(yùn)動(dòng)。

由圖4 可見，當(dāng)駁船做升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管運(yùn)動(dòng)過程線與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管運(yùn)動(dòng)過程線（圖中實(shí)線）相比，考慮駁船升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管運(yùn)動(dòng)響應(yīng)與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管運(yùn)動(dòng)響應(yīng)相比，在運(yùn)動(dòng)幅值與相位上都發(fā)生較大的變化。在sway 方向和roll 方向，考慮駁船升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的歷時(shí)過程線沒有變化，表明駁船升沉運(yùn)動(dòng)對(duì)沉管在sway 和roll 方向的運(yùn)動(dòng)影響很小。

圖4 駁船做升沉運(yùn)動(dòng)與忽略駁船運(yùn)動(dòng)情形的沉管運(yùn)動(dòng)響應(yīng)（b=0.3 m）Fig.4 Motion response of tunnel element with and without barge heave motion（b=0.3 m）

為進(jìn)一步考察駁船升沉運(yùn)動(dòng)相位差的影響，圖5 給出了駁船升沉運(yùn)動(dòng)幅值為0.3 m、駁船運(yùn)動(dòng)與波浪之間的相位差分別取-π/2，-π/5，+π/5 和+π/2 情形的沉管升沉運(yùn)動(dòng)過程線。圖中實(shí)線為考慮波浪作用與駁船升沉運(yùn)動(dòng)共同影響的沉管升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)間過程線，虛線為忽略駁船升沉運(yùn)動(dòng)僅受波浪影響的沉管升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)間過程線。為便于討論，駁船升沉運(yùn)動(dòng)的時(shí)間過程線也在圖5 中給出（圖中的點(diǎn)劃線）。由圖5 可見，當(dāng)駁船升沉運(yùn)動(dòng)的相位為(-π/2)時(shí)，沉管升沉方向的運(yùn)動(dòng)幅值最大約為0.4 m，此情形下駁船升沉方向運(yùn)動(dòng)的相位與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管升沉方向運(yùn)動(dòng)的相位一致，沉管升沉方向的運(yùn)動(dòng)幅值為駁船升沉運(yùn)動(dòng)幅值（0.3 m）與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管升沉方向運(yùn)動(dòng)幅值（0.1 m）之和；當(dāng)駁船升沉運(yùn)動(dòng)的相位為π/2 時(shí)，沉管運(yùn)動(dòng)幅值最小約為0.2 m，此情形下駁船升沉方向運(yùn)動(dòng)的相位與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管升沉方向運(yùn)動(dòng)相位剛好相反，沉管升沉方向的運(yùn)動(dòng)幅值為駁船升沉幅值與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管升沉方向運(yùn)動(dòng)幅值之差。

圖5 駁船升沉運(yùn)動(dòng)相位不同情況下沉管升沉運(yùn)動(dòng)過程線（b=0.3 m）Fig.5 Time history of tunnel element in heave motion under barge heave motion with different phases（b=0.3 m）

圖6 是駁船升沉運(yùn)動(dòng)振幅b=0.1～0.5 m、相位θ=-π/2～π/2 情形對(duì)應(yīng)的沉管升沉運(yùn)動(dòng)幅值（H=1.0 m，T=5 s）。

由圖6 可見，當(dāng)駁船升沉運(yùn)動(dòng)的相位θ 一定時(shí)，沉管運(yùn)動(dòng)幅值隨著駁船升沉運(yùn)動(dòng)的振幅增加而相應(yīng)增加。駁船升沉運(yùn)動(dòng)的相位θ=-π/2 時(shí)，對(duì)不同振幅的駁船升沉運(yùn)動(dòng)，沉管升沉方向的運(yùn)動(dòng)幅值最大值為駁船升沉運(yùn)動(dòng)幅值與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)沉管升沉運(yùn)動(dòng)幅值之和，發(fā)生在駁船升沉運(yùn)動(dòng)相位與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)沉管升沉方向運(yùn)動(dòng)的相位一致的情形。駁船升沉運(yùn)動(dòng)的相位θ=π/2 時(shí)，對(duì)不同振幅的駁船升沉運(yùn)動(dòng)，沉管升沉方向的運(yùn)動(dòng)幅值最小值為駁船升沉運(yùn)動(dòng)幅值與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)沉管升沉運(yùn)動(dòng)幅值之差，發(fā)生在駁船升沉運(yùn)動(dòng)相位與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)沉管升沉方向運(yùn)動(dòng)的相位剛好相反的情形。

圖6 駁船做不同升沉運(yùn)動(dòng)情況下的沉管升沉運(yùn)動(dòng)幅值（H=1.0 m，T=5 s）Fig.6 Movement amplitude of tunnel element in heave motion under barge with heave motion（H=1.0 m，T=5 s）

4 結(jié)論

本文考慮駁船升沉運(yùn)動(dòng)與波浪的共同作用，建立了時(shí)域求解沉管運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，分析駁船做不同振幅與不同相位的升沉運(yùn)動(dòng)對(duì)沉管運(yùn)動(dòng)特性的影響規(guī)律，得到如下主要結(jié)論：

（1）與忽略駁船升沉運(yùn)動(dòng)時(shí)的沉管運(yùn)動(dòng)相比，駁船升沉運(yùn)動(dòng)振幅與相位對(duì)沉管升沉運(yùn)動(dòng)有較大的影響。當(dāng)駁船升沉運(yùn)動(dòng)的相位θ 一定時(shí)，沉管運(yùn)動(dòng)幅值隨著駁船升沉運(yùn)動(dòng)的振幅增加而相應(yīng)增加。

（2）沉管升沉方向的運(yùn)動(dòng)幅值最大值為駁船升沉運(yùn)動(dòng)幅值與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)沉管升沉運(yùn)動(dòng)幅值之和，發(fā)生在駁船升沉運(yùn)動(dòng)相位與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)沉管升沉方向運(yùn)動(dòng)的相位一致的情形。沉管升沉方向的運(yùn)動(dòng)幅值最小值為駁船升沉運(yùn)動(dòng)幅值與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)沉管升沉運(yùn)動(dòng)幅值之差，發(fā)生在駁船升沉運(yùn)動(dòng)相位與忽略駁船運(yùn)動(dòng)時(shí)沉管升沉方向運(yùn)動(dòng)的相位剛好相反的情形。

（3）在實(shí)際工程中采用駁船沉放法進(jìn)行沉管管段沉放施工作業(yè)中，可通過改變駁船升沉運(yùn)動(dòng)的相位來減小沉管管段升沉運(yùn)動(dòng)。本文的研究工作是在假定駁船做已知的升沉運(yùn)動(dòng)的情形下進(jìn)行的，實(shí)際上駁船運(yùn)動(dòng)和沉管運(yùn)動(dòng)需要在波浪場內(nèi)耦合求解，該問題有待于進(jìn)一步的研究。

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