蔡白光，郭紀(jì)云

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，海南 ?？?570228)

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是很多初學(xué)者較難掌握的知識(shí)點(diǎn).一方面，函數(shù)本身的多變性和復(fù)雜性，特別是不少?gòu)?fù)合函數(shù)變量之間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系，使學(xué)生在解決這類問題的時(shí)候捉襟見肘;另一方面，學(xué)生單一地依據(jù)求導(dǎo)法則去求解隱函數(shù)，復(fù)合函數(shù)的(偏)導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，常會(huì)發(fā)現(xiàn)很難把握住函數(shù)變量間的關(guān)系，從而很容易造成問題的錯(cuò)解.為此，本文提出應(yīng)用全微分法去解決函數(shù)的(偏)導(dǎo)數(shù)問題.該方法的好處在于:不論函數(shù)的形式如何多樣，變量之間的關(guān)系有多么復(fù)雜，都可以利用一階微分形式的不變性對(duì)變量進(jìn)行同等處理，從而可使問題簡(jiǎn)單化，思路清晰化和方法規(guī)范化，大大提高了求解的效率，避免了繁雜的鏈?zhǔn)竭^程.

1 全微分法

所謂全微分法就是運(yùn)用函數(shù)的全微分形式不變性，在函數(shù)或隱函數(shù)組中的各方程兩端分別求全微分，必要時(shí)消去中間變量的微分，最終求得函數(shù)的微分，并由此解出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù).

一元函數(shù)及二元函數(shù)的全微分不變性可以概括為下列兩個(gè)定理.

定理1 設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，則無論x 是自變量還是中間變量，函數(shù)y=f(x)的微分形式總是dy=f'(x)dx，即一個(gè)一元可微函數(shù)的微分總是等于該函數(shù)對(duì)某個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)乘以該變量的微分.

一般地，定理1 和定理2 可以推廣到任意n 元可微函數(shù).

2 全微分法在微分中的應(yīng)用

2.1 全微分法在參數(shù)方程求導(dǎo)中的應(yīng)用

解 分別對(duì)x，y 用全微分形式不變性及微分性質(zhì)得

2.2 全微分法在多元復(fù)合函數(shù)及隱函數(shù)求導(dǎo)中的應(yīng)用

分析 該題目屬于復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)問題，z 與x，y 的關(guān)系非常明確，但是，仍會(huì)有同學(xué)糾結(jié)于x 與y 之間的關(guān)系，這會(huì)讓問題變得復(fù)雜，且不利于求解問題.而采用全微分法則不需要考慮它們之間的關(guān)系，從而可使問題變得簡(jiǎn)單.

即

整理可得

所以

證 利用全微分法，對(duì)函數(shù)y=f(x，t)和方程F(x，y，t)=0 兩邊分別求微分，得

聯(lián)立上面兩式消去dt，整理可得

運(yùn)用以上思路，同樣可以應(yīng)用全微分法到由多個(gè)方程所確定的隱函數(shù)組中的導(dǎo)數(shù)求解問題中去.通過對(duì)各個(gè)方程進(jìn)行微分，可從所得到的微分方程組中求解出待求解的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(偏導(dǎo)數(shù)).

3 結(jié)論

全微分法不僅是函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t的有利補(bǔ)充，同時(shí)更是求解復(fù)合函數(shù)、抽象函數(shù)、方程所確定的隱函數(shù)以及由方程組所確定的隱函數(shù)組的(偏)導(dǎo)數(shù)的非常簡(jiǎn)潔、便利、規(guī)范和高效的一種數(shù)學(xué)方法.該方法的引入使函數(shù)求導(dǎo)問題變得“有法可依”，“簡(jiǎn)單易解”，從而大大提高了解決這類問題的效率，讓函數(shù)求導(dǎo)問題不再成為我們學(xué)習(xí)微積分的難題.

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，1993.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京:高等教育出版社，2001.

［3］裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法［M］.北京:高等教育出版社，1993.