☉江蘇省常熟市海虞中學(xué) 張文明

基于思維導(dǎo)圖的數(shù)學(xué)題解后反思及啟示

☉江蘇省常熟市海虞中學(xué) 張文明

*本文系江蘇省十二五重點立項課題“基于思維導(dǎo)圖的高效法的實踐研究”(課題編號：B-b/2 0 1 1/0 2/0 0 7；主持人：韓建光)及子課題“關(guān)于初中生運用思維導(dǎo)圖進行學(xué)后總結(jié)的實踐研究”(主持人：朱仁紅)的研究成果之一.

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，“理解”無疑是第一位的［1］.這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)后及時總結(jié)反思以減少被動性、滯后性、無序性、盲目性和低效性，提高自覺構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)的意識，從而使知識序列條理化、系統(tǒng)化.思維導(dǎo)圖正是幫助學(xué)生學(xué)后反思以理清思維秩序、增進程序性理解的有效工具.

一、思維導(dǎo)圖

思維導(dǎo)圖是英國“記憶之父”托尼·巴贊（Tony Buzan）開發(fā)出來的一種組織性思維工具，是從一個中心主題發(fā)散出來的自然結(jié)構(gòu)，通過符號、關(guān)鍵詞、圖像、線條和顏色，遵循一套基本、簡單、自然易被大腦接受的規(guī)則，逐步建立一個有序的發(fā)散的樹狀圖，它是對思維過程的導(dǎo)向和記錄［2］.這是一種將放射性思考具體化的方法，放射性思考是人類大腦的自然思考方式，以大腦中的某一個知識點為思維中心，從這個知識點出發(fā)引發(fā)出與之相關(guān)的其他知識點，這些知識點又可以成為另外的思維中心.這種發(fā)散性的結(jié)構(gòu)符合大腦工作的原理，體現(xiàn)了人們思維過程中的多向性和跳躍性，是一種能夠幫助人們分析問題、整理思路、快速學(xué)習(xí)的方法和工具.

思維導(dǎo)圖具有使“單調(diào)的知識形象化，抽象的知識具體化，零碎的知識系統(tǒng)化，復(fù)雜的知識簡單化，隱性的知識顯性化［3］”等特點，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，思維導(dǎo)圖有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的綜合理解.

二、解后反思案例

例題 如圖1，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ.試判斷△CPQ的形狀.

分析：由題設(shè)易求∠PCQ=60°，觀察圖形，感知猜測△CPQ是一個等邊三角形.現(xiàn)在有兩個思路可以選擇：一是推理出∠PQC=60°（或∠QPC=60°），從而得到∠PCQ=∠PQC=∠QPC，根據(jù)“三個角相等的三角形是等邊三角形”證得猜測成立；二是推理出CP=CQ（或CP=PQ或CQ=PQ），根據(jù)“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”證得猜測成立.

解：因為△ABC和△CDE都是正三角形，

圖1

所以△CPQ是等邊三角形.

1.解后反思

由于授課班級學(xué)生已經(jīng)有了使用思維導(dǎo)圖進行解后反思的基礎(chǔ)與實踐，因此不少學(xué)生都用思維導(dǎo)圖進行了解后反思.

2.反思解題過程

在解后反思環(huán)節(jié)的師生交流中，一些學(xué)生采取的思路是列示意圖，然后對解題思路進行甄別與整合，其實質(zhì)是分析法，解題思路如下.

所以這條思路不便推理出猜想.

所以這條思路是可行的.

薛同學(xué)所畫的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

圖2

3.反思問題涉及的基礎(chǔ)知識

問題中涉及的基礎(chǔ)知識有全等三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定等知識.學(xué)生需從復(fù)雜圖形中識別基本圖形，排除干擾，從而獲得有效信息，進行正確推理.同時，由于本題結(jié)論并未給出，需要學(xué)生先觀察、操作，猜想結(jié)論（甚至在這個環(huán)節(jié)還有幾位學(xué)生采用了度量邊或角來猜測△CPQ的形狀），再進一步演繹推理.學(xué)生在反思中基本能夠發(fā)現(xiàn)問題所涉及的基礎(chǔ)知識，圖3即是一份較好的對基礎(chǔ)知識進行反思的思維導(dǎo)圖.

圖3

4.反思解題思想

本題結(jié)論未直接明確告知，且難以一步達成結(jié)論（△CPQ是等邊三角形），所以既要先猜測，又要進行證明，故采用分析法較為合理.當思維比較順暢時，解題適宜按照由因?qū)Ч捻樞蚴褂镁C合法；當思維遇阻時，則解題適宜執(zhí)果索因，分析法就會大顯身手.而對于一般的數(shù)學(xué)問題，我們可以從一般解題步驟、常用解題方法、基本數(shù)學(xué)思想、解題元認知策略等方面進行反思（如圖4）.

圖4

5.反思問題的拓展與歸類

對于本問題，如果能夠有“腳手架”，學(xué)生更容易順利完成，因此學(xué)生對此進行了思維導(dǎo)圖式反思.該生還提出了一些拓展性問題，并對問題的架構(gòu)進行了解構(gòu)與重組（如圖5）.

圖5

由上述典型的思維導(dǎo)圖可觀察出學(xué)生的“圖式”思路，學(xué)生的反思基本是圍繞基礎(chǔ)知識、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想方法、基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗等方面進行的，這正是《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》與《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標準（實驗版）》的較大區(qū)別之一.具體反思內(nèi)容可綜合為如圖6所示的思維導(dǎo)圖.

圖6

三、思考與啟示

1.基于思維導(dǎo)圖的解后反思調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性

課程標準實施后，學(xué)生的主體性地位得到明確，但是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中仍然存在為數(shù)不少的學(xué)生對教師具有極強的依賴性.這部分學(xué)生等著教師總結(jié)知識模塊、總結(jié)規(guī)律，然后記筆記.這種被動的學(xué)習(xí)方式既抑制了學(xué)生的主體創(chuàng)造性，又降低了學(xué)習(xí)效率.歸根到底，是由于學(xué)生的積極性不夠造成.而思維導(dǎo)圖的圖式化表示既有規(guī)則要求，又允許有個性化發(fā)揮，這擴大了學(xué)生的自我發(fā)揮空間，學(xué)生的積極性大有提高，從而切實提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效性.

2.基于思維導(dǎo)圖的解后反思呈現(xiàn)了知識系統(tǒng)的直觀化

學(xué)生的思維過程是抽象的，思維導(dǎo)圖的圖式化直觀地表現(xiàn)了學(xué)生的思維過程，從而使得隱性知識顯性化.這樣的直觀化、可視化的思維過程有助于學(xué)生對問題表征、問題變式進行思考和理解，從而達到舉一反三的功效.從某種意義上說，思維導(dǎo)圖式的解后反思與“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想具有異曲同工之妙.

3.基于思維導(dǎo)圖的解后反思建構(gòu)了知識系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)化

由于課堂時間的限制，每一次數(shù)學(xué)活動中學(xué)生所收獲的知識點總是相對孤立和分散的，學(xué)生難以從整本書甚至整個學(xué)段（比如初中三年或者中學(xué)六年）上把握整個知識脈絡(luò)，從而難以建構(gòu)出相對完整的知識網(wǎng)絡(luò).這也是有些學(xué)生每節(jié)課的練習(xí)都做的不錯，但是一遇到綜合問題就不知所措的原因之一.基于思維導(dǎo)圖的解后反思恰好有效彌補了這個空缺，使得整個知識體系在多次的圖式化表示中得以趨近系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化.

四、結(jié)束語

反思是數(shù)學(xué)思維的核心和動力［4］，而基于思維導(dǎo)圖的解后反思順應(yīng)了大腦的自然思維模式，引領(lǐng)學(xué)生從題目的分析與架構(gòu)、解題方法、相關(guān)變式等方面進行發(fā)散性思考，使得學(xué)生的知識建構(gòu)具有“隨風(fēng)潛入夜”的自然與平適.這種反思方式不僅提升了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，使得學(xué)生在思考和表達中深化了對數(shù)學(xué)知識體系的表征與理解.

1.馬復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型——從R.斯根普的工作談起［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001（3）.

2.［英］托尼·巴贊.思維導(dǎo)圖：大腦使用說明書［M］.張鼎昆，徐克茹，譯.北京：外語教學(xué)與研究出版社，2005.

3.吳丹，丁青.思維導(dǎo)圖在英語聽說教學(xué)中的應(yīng)用與探索［J］.外語周刊，2012（81）.

4.楊紹平.反芻數(shù)學(xué)中考，思索數(shù)學(xué)教學(xué)——一道中考試題引發(fā)的思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（11）.