●李建潮 (雙林中學 浙江湖州 313012)

1 相關問題

易知：問題2與問題3是同一個問題(由同一作者提供)，這是一個很經典的問題;問題1與問題2(即問題3)如出一轍、一脈相承，本文與讀者一起探究如下.

2 問題之見

美國著名數(shù)學家哈爾莫斯有言：“問題是數(shù)學的心臟”.楊之先生對問題解答的要求是“解決一個數(shù)學問題應是嚴謹?shù)摹⒑喚毜暮统醯鹊摹?對此我們深表贊同，對于經典問題的解答不但在于解決問題之本身，而且更在于“問題之外”之擴張;不僅是思想和方法的展示，更是思想和方法的雕塑和再創(chuàng)造;與美接軌，還應力求(而并非強求)解答的藝術性，集數(shù)學的學術、藝術與“魔術”于一體，使整個解答惟妙惟肖、似詩如畫.

3 問題新解

下面擬用純粹的代數(shù)方法，并巧施待定系數(shù)法構造柯西模型來展示3個相關問題的初等解法.先來解問題1：

解令正數(shù)α，β滿足α2+β2=1，則由二元柯西不等式

(a，b，c，d∈R，當且僅當 bc=ad 時等號成立)，得

用上述方法，可獲得以下一般情形：

再處理問題2(即問題3)，筆者直接處理下面的一般情形：

證明令正數(shù)α，β滿足α2+β2=1，則由二元柯西不等式(1)，得

4 一脈相承

細心的讀者不難發(fā)現(xiàn)：問題1的求解與定理2的證明不盡協(xié)調，前者連續(xù)2次應用了二元柯西不等式，而后者只用了1次;如果用求解問題1的方法來證明定理1，似乎很難完成證明.這種顧忌不無道理，其實，我們可以借定理2的證明之東風對問題1的求解方法進行再雕塑，從而使定理1與定理2的證明方法接軌.

下面展示定理1的這一創(chuàng)造性證明方法：

證明令正數(shù) α，β滿足 α2+β2=1，則

特別地，當

令1-β=km，1-α=kn(其中 k為正數(shù))，則

由此可見，不論是從內容看還是從證明方法看，定理1與定理2如出一轍、一脈相承(文首的3個問題只是它們的特例而已).

［1］ 侯典峰.問題征解3［J］.數(shù)學通訊：上半月，2010(1/2)：131.

［2］ 王勇.問題征解2［J］.數(shù)學通訊：上半月，2010(1/2)：131.

［3］ 王勇.2010 年3 月1845 號問題［J］.數(shù)學通報，2010(3)：66.