葉亮，梁海騰，阮一暉

(江蘇省特種設(shè)備安全監(jiān)督檢驗(yàn)研究院蘇州分院，江蘇蘇州215128)

橫梁是數(shù)控激光切割機(jī)［1-2］的重要部件，通常采用鋼板彎折或焊接而成，其主要部分包括橫梁主體、激光切割頭、傳動(dòng)系統(tǒng)和其他附屬機(jī)構(gòu)。橫梁作為激光切割機(jī)的執(zhí)行部件，要求質(zhì)量輕、強(qiáng)度高、頻響快。研究橫梁的固有頻率，對(duì)于改善其動(dòng)態(tài)特性、提高加工精度、延長使用壽命以及進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計(jì)都具有重要的工程意義。

1 瑞利法介紹［3－4］

利用瑞利能量法可以求解單自由度系統(tǒng)的固有頻率，對(duì)無阻尼的振動(dòng)系統(tǒng)而言，能量守恒定律可以表示為:

其中:下標(biāo)1和2代表兩個(gè)不同時(shí)刻，特別地，用下標(biāo)1代表質(zhì)量塊通過其靜平衡位置的時(shí)刻，并取此刻為零勢能位置，即U1=0;用下標(biāo)2代表質(zhì)量塊到達(dá)最大位移的時(shí)刻，此時(shí)動(dòng)能T2=0。因此式 (1)變?yōu)?

如果系統(tǒng)作的是簡諧運(yùn)動(dòng)，那么T1和U2分別代表了動(dòng)能T和勢能U的最大值。因此式 (2)變?yōu)?

此即瑞利能量法，應(yīng)用這種方法可以求解系統(tǒng)的固有頻率。

2 實(shí)例計(jì)算

以某公司生產(chǎn)的某型號(hào)數(shù)控激光切割機(jī)為例，應(yīng)用瑞利能量法計(jì)算橫梁的固有頻率。數(shù)控激光切割機(jī)橫梁截面簡圖如圖1所示。

圖1 橫梁橫截面簡圖

假設(shè)橫梁在振動(dòng)中的動(dòng)撓度曲線和在簡支梁中點(diǎn)處集中載荷mg作用下靜撓度曲線一致，由材料力學(xué)可知，簡支梁中點(diǎn)的撓度為

在任一截面y處的撓度表示為z0的函數(shù)

在振動(dòng)時(shí)，z、z0均是變量，則有

橫梁的動(dòng)能

式中:m0l為橫梁的質(zhì)量。因此橫梁的等效質(zhì)量為

如圖2(a)所示的系統(tǒng)可以簡化為圖2(b)所示的單自由度系統(tǒng)。其質(zhì)量為

圖2 橫梁在z方向振動(dòng)簡化示意圖

彈簧常數(shù)為

則系統(tǒng)的固有頻率為

已知橫截面對(duì)x軸慣性矩:Ix=0．587 6×10-4m4，對(duì)z軸慣性矩:Iz=0．984 5×10-4m4。此外，橫梁質(zhì)量m0=200 kg，激光切割頭及支架質(zhì)量m=50 kg，橫梁長度l=2 m，鋼材彈性模量E=210 GPa。

代入相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算得:

同理，可計(jì)算橫梁在x方向的固有頻率，振動(dòng)簡化示意圖如圖3。

圖3 橫梁在x方向振動(dòng)簡化示意圖

求得橫梁在x方向的一階振動(dòng)頻率為:fx1=142．3 Hz。

3 小結(jié)

(1)固有頻率是結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的一項(xiàng)重要指標(biāo)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振現(xiàn)象，此時(shí)系統(tǒng)最大限度地從外界吸收能量。獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率，可以避免共振現(xiàn)象的發(fā)生，實(shí)際算得某型號(hào)激光切割機(jī)的工作頻率為23 Hz，而橫梁在x方向和z方向的固有頻率均在100 Hz以上，不會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象。

(2)固有頻率為結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供目標(biāo)函數(shù)或約束條件，以動(dòng)態(tài)特性指標(biāo)作為設(shè)計(jì)原則，對(duì)橫梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。既可在常規(guī)靜力設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上運(yùn)用優(yōu)化技術(shù)，對(duì)橫梁結(jié)構(gòu)元件進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改，也可從滿足橫梁結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)出發(fā)，綜合考慮其他因素來確定橫梁結(jié)構(gòu)的形狀，乃至結(jié)構(gòu)的拓?fù)?局部設(shè)計(jì)、開孔、增刪元件等)。

(3)利用瑞利能量法可以簡便、準(zhǔn)確地求解系統(tǒng)的固有頻率，對(duì)于規(guī)則簡單結(jié)構(gòu)，其求解準(zhǔn)確度得到了試驗(yàn)驗(yàn)證。

(4)利用瑞利能量法可以求解結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的固有頻率，但若要進(jìn)一步了解結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模態(tài)和高階振動(dòng)頻率，則需借助于有限元軟件以及模態(tài)測試等方法。此外，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜和建模難度較大的系統(tǒng)，利用瑞利能量法求解其固有頻率存在較大難度。

【1】趙殿甲．激光切割技術(shù)的應(yīng)用與發(fā)展［J］．煤礦機(jī)械，2006，27(8):5-6．

【2】陳樹明．激光切割技術(shù)現(xiàn)狀與發(fā)展［J］．鍛壓機(jī)械，2002(2):3-5．

【3】RAO Singiresu S．機(jī)械振動(dòng)［M］．李欣業(yè)，張明路，譯．北京:清華大學(xué)出版社，2009．

【4】廖伯瑜，周新民，尹志宏．現(xiàn)代機(jī)械動(dòng)力學(xué)及其工程應(yīng)用［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2003．

【5】賀文海．刨床工作臺(tái)振動(dòng)特性分析［J］．機(jī)床與液壓，2011，39(1):38-39．

【6】胡正隆．多功能數(shù)控激光切割機(jī)控制系統(tǒng)［J］．機(jī)床與液壓，2003(2):127．