徐 益 趙向青

（浙江海洋學(xué)院 數(shù)學(xué)系，浙江 舟山 316000）

0 引言

Bonhoeffer等人建立了如下的基本病毒動力學(xué)模型：

其中，x，y，v分別代表未感染細(xì)胞，感染細(xì)胞和自由病毒。易感染細(xì)胞以常速率λ產(chǎn)生，以依賴密度的速率dx死亡和以速率βˉxv被感染，被感染的細(xì)胞以速率βˉxy產(chǎn)生，以依賴密度的速率ay死亡，自由病毒以速率cy從感染細(xì)胞釋放出來并以uv的速率死亡[1-2]。后來，Bartholdy，Wodarz等發(fā)現(xiàn)病毒細(xì)胞隨時(shí)間幾乎穩(wěn)定，即 v′（t）≈0，從而cy-γv=0[3-4]。 式（1）也相應(yīng)地轉(zhuǎn)化為：

然而，在研究過程中發(fā)現(xiàn)易感染細(xì)胞的感染率呈現(xiàn)明顯的非線性關(guān)系[5-6]，其中較為典型的是βˉ′（y）＝βy／（1＋py），這里 βy 表示病毒的感染能力，表示由于病毒的增加導(dǎo)致的機(jī)體中易感染細(xì)胞行為發(fā)生改變而對病毒感染產(chǎn)生的抑制效果。因而模型（2）變?yōu)?/p>

流行病學(xué)的數(shù)理研究揭示,流行病的流行與否由一個(gè)基本再生數(shù)的閥值所決定。具體地說，當(dāng)基本再生數(shù)的閥值大于1時(shí)，流行病將流行，否則不流行[7-9]。人們可以根據(jù)這個(gè)理論判據(jù)設(shè)計(jì)流行病防治方案，從而減少流行病的爆發(fā)和傳染。本文將通過平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析研究流行病模型（式2）的基本再生數(shù)的閥值。

1 無感染平衡點(diǎn)

從模型看出y=0表示流行病不發(fā)生，令

得到一個(gè)無感染平衡點(diǎn)E0=（λ／d，0）。人們關(guān)心的是什么條件下無感染平衡點(diǎn)E0能成為穩(wěn)定點(diǎn)，為此定義

實(shí)踐中，R0描述了在感染初期從一個(gè)被感染細(xì)胞生成的新感染細(xì)胞的平均數(shù)，我們稱之為基本再生數(shù)。

2 基本再生數(shù)閥值

定理 如果R0＜1，那么未感染穩(wěn)定平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的。

證明 分別將 F1（x，y）和 F2（x，y）在無感染平衡點(diǎn) E0=（λ／d，0）處泰勒展開：

其中于是得到系統(tǒng)（3）的一階近似系統(tǒng)：

（4）的系數(shù)矩陣為：

其特征方程為：

化簡得

其特征值分別為

因?yàn)?R0＜1，可得 ad－βλ＞0，在這里可得 ?1，?2均為負(fù)數(shù)。 根據(jù)一次近似系統(tǒng)穩(wěn)定性定理可得未感染平衡點(diǎn)E0是漸近穩(wěn)定的。

注：本文使用的方法為一階近似方法，較其他文獻(xiàn)例如[9]更為簡單。

3 結(jié)論

從定理的結(jié)論看出，只要控制R0＜1，未感染穩(wěn)定平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的，這意味著隨著時(shí)間的推移，流行病不會傳染開。而R0=βλ/ad，人們可以通過a，d，β，λ中人意一個(gè)或幾個(gè)量對流行病加以干預(yù)。

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